2026届高三数学一轮复习优生加练63：几何法求空间角

第63练　几何法求空间角 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.如图，在正四面体A-BCD中，取BC的中点M，连接AM，则直线AM与直线CD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　取N为BD的中点，连接MN，AN. 因为M是BC的中点，所以MN∥CD，MN=CD， 在正四面体A-BCD中，△ABD，△ABC，△BCD是等边三角形，AM=AN=CD， 则直线AM与直线CD所成的角为∠AMN(或其补角)， 在△AMN中，cos∠AMN===. 因此直线AM与直线CD夹角的余弦值为. 2.(2024·福州模拟)已知二面角C-AB-C'的大小为45°，且CC'⊥平面ABC，△ABC的面积为4，则△ABC'的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 答案　C 解析　如图，过点C作CO⊥AB于点O，连接C'O， 因为C'C⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，则AB⊥C'C， 而C'C∩CO=C，C'C，CO⊂平面C'OC，所以AB⊥平面C'OC， 又C'O⊂平面C'OC，所以AB⊥C'O， 因此，∠C'OC是二面角C-AB-C'的平面角，即∠C'OC=45°， 在△C'CO中，C'C⊥CO，则有C'O=CO， 所以S△ABC'=AB·C'O=AB·CO=S△ABC=4， 所以△ABC'的面积是4. 3.(2024·安康模拟)在四棱锥P-ABCD中，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，且AB=BC，平面PAD⊥平面ABCD，则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D.1 答案　A 解析　平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD， CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，则CD⊥平面PAD， 又CD⊂平面PCD，故平面PCD⊥平面PAD， 取PD的中点M，连接AM，CM，如图所示， 平面PCD∩平面PAD=PD，AM⊂平面PAD， △PAD为等边三角形，则AM⊥PD，故AM⊥平面PCD， 则直线AC与平面PCD所成的角即为∠ACM， 令BC=a，则AB=a，AC=a，AM=a， 故sin∠ACM==. 4.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，AC=AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点.记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F-BC-A的平面角为γ，则(　　) A.α≤β≤γ B.β≤α≤γ C.β≤γ≤α D.α≤γ≤β 答案　A 解析　如图所示，过点F作FP⊥AC于P，过P作PM⊥BC于M，连接PE，FM， 则α=∠EFP，β=∠FEP，γ=∠FMP， tan α==≤1，tan β==≥1，tan γ=≥=tan β， 所以α≤β≤γ. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2024·安徽模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题中正确的是(　　) A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于 B.四棱锥C-ABC1D1的体积为 C.异面直线D1C和BC1所成的角为 D.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为 答案　ABC 解析　如图， 取BC1的中点H，连接CH，则CH⊥BC1， 而AB⊥平面BCC1B1，CH⊂平面BCC1B1， 得CH⊥AB，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1D1， 则CH⊥平面ABC1D1， 所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角，为，故A正确； 点C到平面ABC1D1的距离为CH的长度，为， 则=×AB×BC1×CH=×1××=，故B正确； 易证BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角， 因为△ACD1为等边三角形，所以异面直线D1C和BC1所成的角为，故C正确； 连接DH，由BD=DC1，所以DH⊥BC1， 又CH⊥BC1，所以∠CHD为二面角C-BC1-D的平面角，易求得DH=， 又CD=1，CH=， 由余弦定理可得cos∠CHD==，故D错误. 6.如图，圆锥SO的底面圆O的直径AC=4，母线长为2，点B是圆O上异于A，C的动点，则下列结论正确的是(　　) A.SC与底面所成的角为45° B.圆锥SO的表面积为4π C.∠SAB的取值范围是 D.若点B为弧AC的中点，则二面角S-BC-O的平面角大小为45° 答案　AC 解析　对于A，因为SO⊥平面ABC，所以∠SCO是SC与底面所成的角， 在Rt△SOC中，圆锥的母线长是2，半径r=OC=2， 则cos∠SCO===，所以∠SCO=45°，则A正确； 对于B，圆锥SO的侧面积为πrl=4π，表面积为4π+4π，则B错误； 对于C，当点B与点A重合时，∠ASB=0为最小角， 当点B与点C重合时，∠ASB=为最大角， 又因为B与A，C不重合，则∠ASB∈， 又在等腰△SAB中，2∠SAB+∠ASB=π，可得∠SAB的取值范围是，则C正确； 对于D，如图所示， 取BC的中点D，连接OD，SD，又O为AC的中点，则OD∥AB， 因为AB⊥BC，所以BC⊥OD，又SO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥SO， 又SO∩OD=O，SO，OD⊂平面SOD，所以BC⊥平面SOD，故BC⊥SD， 所以∠SDO为二面角S-BC-O的平面角， 因为点B为弧AC的中点，所以AB=2，OD=AB=，则tan∠SDO==，则D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD∶AB=1∶2，△PAB为等边三角形，则直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为　　　　　　　.  答案　 解析　取AB的中点O，连接PO，DO， 由于△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABCD，其交线为AB，PO⊂平面PAB， 所以PO⊥平面ABCD，∠PDO是直线PD与平面ABCD所成的角. 不妨设AD=1，AB=2， 在等边△PAB中，PO=，又四边形ABCD为矩形，所以DO===，所以DP==， 故sin∠PDO===， 故直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为. 8.如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB=2，AD=AF=1，且二面角C-AB-F为60°，则异面直线AC与BF所成角的正弦值为　　　　　　.  答案　 解析　连接CE，AE，AE∩BF=O，取CE的中点M，连接OM，BM， ∵四边形ABCD，ABEF为矩形，∴AB⊥BC，AB⊥BE， 平面ABC∩平面ABF=AB，BC⊂平面ABC，BE⊂平面ABF， ∴∠CBE即为二面角C-AB-F的平面角， ∴∠CBE=60°， 又BC=AD，BE=AF，∴BC=BE=1， ∴△BCE为等边三角形， ∴BM=. ∵O，M分别为AE，CE的中点，∴OM∥AC，OM=AC， ∴∠MOB(或其补角)即为异面直线AC与BF所成的角， ∵AC=BF==， ∴OM=OB=， ∴cos∠MOB= ==，则sin∠MOB==， ∴异面直线AC与BF所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第63练　几何法求空间角 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.如图，在正四面体A-BCD中，取BC的中点M，连接AM，则直线AM与直线CD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2.(2024·福州模拟)已知二面角C-AB-C'的大小为45°，且CC'⊥平面ABC，△ABC的面积为4，则△ABC'的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 3.(2024·安康模拟)在四棱锥P-ABCD中，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，且AB=BC，平面PAD⊥平面ABCD，则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D.1 4.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，AC=AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点.记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F-BC-A的平面角为γ，则(　　) A.α≤β≤γ B.β≤α≤γ C.β≤γ≤α D.α≤γ≤β 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2024·安徽模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题中正确的是(　　) A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于 B.四棱锥C-ABC1D1的体积为 C.异面直线D1C和BC1所成的角为 D.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为 6.如图，圆锥SO的底面圆O的直径AC=4，母线长为2，点B是圆O上异于A，C的动点，则下列结论正确的是(　　) A.SC与底面所成的角为45° B.圆锥SO的表面积为4π C.∠SAB的取值范围是 D.若点B为弧AC的中点，则二面角S-BC-O的平面角大小为45° 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD∶AB=1∶2，△PAB为等边三角形，则直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为　　　　　　　.  8.如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB=2，AD=AF=1，且二面角C-AB-F为60°，则异面直线AC与BF所成角的正弦值为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $