专题：（几何法）求空间角、距离 课后练习-2026届高三数学一轮复习

课后训—几何法求空间角、空间距离- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 异面直线所成角】 1．（2025·青海玉树·模拟预测）如图，在正方体中，是的中点，则异面直线和所成角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】连接、、，设正方体的棱长为，推导出，则异面直线和所成角为或其补角，求出各边边长，利用余弦定理可求得角的大小，即为所求. 【解析】如下图所示，连接、、，设正方体的棱长为， 因为且，则四边形为平行四边形，故， 所以，异面直线和所成角为或其补角， 因为，同理可得，， 由勾股定理可得， 由余弦定理可得， 所以，，故异面直线和所成角的大小为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面． (2)若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点O，靠近C的四等分点H，利用平行线分线段成比例判定线线平行即可证明线面平行； （2）取的中点E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可. 【详解】（1）如图所示，取中点O，且P是中点， ∴ ， 取的四等分点H，使，且， ∴ ， ∴， ∴ 四边形为平行四边形， ∴ ，在平面外，且平面， ∴ 平面． （2）取的中点E，连接，易知， 则或其补角为异面直线和所成的角， 因为平面，平面， 所以，即， 显然，所以为直角三角形， 通过解三角形可得， 即异面直线和所成角的余弦值为． 3．（2025高三·湖南益阳·期末）已知长方体中，，点为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】延长，构造一个与全等的长方体，取点为棱的中点，可得（或其补角）为异面直线所成角，在中由余弦定理可得答案. 【解析】如图所示，在长方体中，延长，构造一个与全等的长方体， 且点为棱的中点，所以，所以（或其补角）为异面直线所成角， 由题意得，所以由余弦定理得， 所以. 故答案为：. 【题组二 点面距离】 4．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如图，直三棱柱 中，，为的中点. (1)求证：平面 ； (2)求 到平面 的距离. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线定理证明，由线面平行的判定定理证明即可； （2）设点到平面的距离为，利用等体积法，结合锥体的体积公式求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则点为的中点， 又因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面. （2）设点到平面的距离为， 在直三棱柱中，平面， 则为三棱锥的高， 所以, 又因为， 所以, , 所以，即. 所以， 即， 由解得. 所以点到平面的距离为. 【题组三 线面角】 （垂线法） 5．（2025高一·全国月考）如图，平面，在直角三角形中，，，，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】 【分析】依题意可得即为与平面所成的角，利用锐角三角函数计算可得. 【解析】因为平面，所以即为与平面所成的角， 又因为，，，所以， 所以，即与平面所成角的正弦值为. 6．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且． (1)点E为BC的中点，证明：平面PAB； (2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）运用垂直条件找出二面角的平面角，得到，借助中位线证明平行，进而得到四边形PQEF为平行四边形，再运用线面平行的判定定理即可； （2）过B作于点M，得到平面，得到平面平面ABC，运用面面垂直性质得到平面PACQ， 得到即为所求线面角.再结合勾股定理和余弦定理求线段长度，借助锐角三角函数求解角的正弦值即可. 【详解】（1）证明：∵平面PAB，平面PAB∴， ∵∴， ∵，∴平面ABC，∵平面ABC，∴． ∵，，∴二面角的平面角即为，∴， ∵平面PAB，平面PAB，∴， ∵，∴， 取AB中点F，连接EF，则， 又，∴， ∴四边形PQEF为平行四边形， ∴，又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB； （2）解：过B作于点M，∵平面PACQ，平面， ∴平面平面ABC，交线为AC，则平面PACQ，连接QM， ∴即为所求线面角， ，而， 由勾股定理可得：， 在中，过点Q作于点N，则， 因为，则，是等腰直角三角形，所以，， 由余弦定理得：， 由勾股定理得：， ∴，即BQ与平面PACQ所成角正弦值为． （等体积法） 7．（2025高一·河南商丘·期末）在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，E为PD的中点，F为PC的中点，PA=AD=2，AB=BC=1，. (1)求证：平面平面AEF； (2)求直线PA与平面AEF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由勾股定理计算出，再由勾股定理逆定理得出 ，由已知线面垂直证得线线垂直，又为中位线证得 ，由线面垂直的判定定理证得线面垂直，由面面垂直的判定定理得出面面垂直. (2)用等体积法计算出点到平面的距离，从而求出直线与平面所成角的正弦值 . 【解析】（1）证明：因为AB=BC=1，AD=2，，， AD=2，所以CD⊥AC. 又因为PA⊥平面ABCD，且直线CD在平面ABCD内，所以CD⊥PA.又因为E为PD的中点，F为PC的中点，所以，所以EF⊥AC且EF⊥PA 又因为，所以EF⊥平面PAC. 又因为EF在平面AEF内，所以平面PAC⊥平面AEF. （2）由（1）可知，EF⊥平面PAC，所以EF⊥AF. 又因为，， 所以. 在直角三角形PAC中，PA=2，，. 设点P到平面AEF的距离为d，可由，得. 所以，故. 又因为PA=2，故直线PA与平面AEF所成角的正弦值为 【题组四 二面角的求解】 （定义法） 8．（2025高一·全国月考）假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取BC的中点O，连接OA，OP，则为二面角的平面角，在△POA中，即可求解得到答案. 【解析】取的中点，连接， ∵和都是边长为2的正三角形，则， 所以为二面角的平面角， 又因为，则， 所以，即二面角的大小为. 故选：D. 9．（2025高三·全国月考）如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】证明出线面垂直，得到是平面与平面的二面角，设，求出其他边长，得到，得到，二面角的大小为. 【解析】∵，又点为的中点， ∴， ∵垂直平分，，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴⊥， ∵⊥平面，平面 ∴⊥， ∵，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴⊥，⊥， 故是平面与平面的二面角， 设，则，故， ∵⊥， ∴， 故， 故， ∴. 故答案为：. （三垂线法） 10．（2025高一·云南曲靖·期末）正四棱柱中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于，连接，可得为二面角的平面角，在中求出的余弦值，从而可求出的余弦值. 【解析】连接交于，连接， 因为四棱柱为正四棱柱， 所以平面，， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以， 所以， 因为，所以. 故选：D （垂面法） 11．（2025高一·四川宜宾·期末）如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H． (1)求证：AB⊥平面PCD； (2)若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)120° 【分析】（1）先证得PC⊥AB．同理PD⊥AB，利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）先证得∠CHD是二面角的平面角，然后在四边形PCHD中求得结果. 【解析】（1）证明：因为，，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB． 又，故AB⊥平面PCD． （2）∵P，C，D，H四点共面，所以由（1）可得AB⊥平面CDH，AB⊥DH，AB⊥CH， ∴∠CHD是二面角的平面角； ∴在四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝90°，又根据已知条件∠CPD＝60°； ∴∠CHD＝120°； 即二面角的大小是120°． （射影面积法） 12．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面，若，，，求二面角的余弦值 . 【答案】 【解析】连接，∵平面 ∴为的射影， 设二面角的平面角为 ∵侧面为菱形，且， ∴， 又∵的中点为， ∴， ∵，∴， ∴. 在中，由余弦定理可得，∴， ∴ ∴. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—几何法求空间角、空间距离- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 异面直线所成角】 1．如图，在正方体中，是的中点，则异面直线和所成角的大小为 ． 2．如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面． (2)若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ． 3．已知长方体中，，点为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为 . 【题组二 点面距离】 4．如图，直三棱柱 中，，为的中点. (1)求证：平面 ； (2)求 到平面 的距离. 【题组三 线面角】 （垂线法） 5．如图，平面，在直角三角形中，，，，，求与平面所成角的正弦值 . 6．如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且． (1)点E为BC的中点，证明：平面PAB； (2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值． （等体积法） 7．在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，E为PD的中点，F为PC的中点，PA=AD=2，AB=BC=1，. (1)求证：平面平面AEF； (2)求直线PA与平面AEF所成角的正弦值. 【题组四 二面角的求解】 （定义法） 8．假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 9．如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为 ． （三垂线法） 10．正四棱柱中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． （垂面法） 11．如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H． (1)求证：AB⊥平面PCD； (2)若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小． （射影面积法） 12．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面，若，，，求二面角的余弦值 . 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$