几何法求空间距离问题、几何法求空间角度问题、立体几何最值与范围问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

几何法求空间距离问题、几何法求空间角度问题、立体几何最值与范围问题专项训练 几何法求空间距离问题、几何法求空间角度问题、立体几何最值与范围问题专项训练 考点目录 几何法求空间距离问题 几何法求空间角度问题 立体几何最值与范围问题 考点一 几何法求空间距离问题 例1．（25-26高二上·上海普陀·期中）如图，已知圆锥的底面圆的半径，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，点是母线的中点，，垂足为上的点，点在底面圆上，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，则，， 又，则. 又为中点，则为中点，，又， 由余弦定理，， 由，可得, 又，平面， 所以平面； （2）因为平面，，所以平面， 因为圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，设母线长为， 则, 又，则， 所以, 又, 在中，，故, 所以， 设点到平面的距离为， 则，解得. 例2．（25-26高二上·上海·期中）在如图所示的圆柱中，是底面直径，是圆柱的母线，且．设是底面圆周上的动点． (1)求圆柱的表面积； (2)当二面角的大小为时，求点到平面的距离． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2， 则该圆柱的表面积为． （2）因为平面平面，则， 因为是底面直径，是底面圆周上的动点， 由题意可知，与、不重合， 所以，，因为，、平面， 所以，平面，因为平面，则， 所以二面角的平面角为，即， 因为平面，平面，则， 所以，，则， 由，设点到平面的距离为， 则，解得． 因此，点到平面的距离为． 例3．（25-26高二上·河北张家口·期中）如图，在正四棱柱中，，E为的中点，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面BDE的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，,如图： 在中，，， 因为，所以. 在中，，，， 因为，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）连接， 在中，，，， 因为，所以. 又，平面，， 所以平面. 所以即为点到平面的距离为. 例4．（25-26高二上·河北秦皇岛·月考）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，四棱锥的体积为. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【详解】（1）证明：∵底面是正方形，∴， ∵平面，且平面，∴， ∵，平面，∴平面， ∵ 平面，∴平面平面． （2）∵棱锥的体积为， ∴，解得， 由勾股定理知，， ∵ 平面，平面， ∴平面平面，且平面平面， ∵ 平面，，∴ 平面， ∴ 是直线与平面所成的角， 中，. （3）∵ ，，∴是等边三角形， ∴ ， 设点到平面的距离为， ∵ ，∴， 解得， ∴点到平面的距离为． 变式1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面，，，，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，，所以， 因为平面平面，平面平面，，所以平面， 又因为平面，所以，， 在中，且， 在中，， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又因为平面，， 所以平面. （2）在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理可得， 所以， ， . 设点到平面的距离为， 由体积转化法可知，即， 所以. 变式2．（25-26高三上·江苏南通·月考）如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为． (1)求证：且； (2)若，，与底面所成角的正切值为，求直线到平面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）连接并延长交于点，连接， 因为在底面内的射影为， 所以平面，则， 又因为侧面为矩形， 所以，而，所以， 由于平面， 所以平面， 又因为平面，所以，即， 因为，，所以D为中点， 则为的垂直平分线， 所以， 因此，且得证； （2）由（1）知平面，已知，， 则就是与底面所成角，其正切值为，余弦值为， ，解得， 则， ， ， 设点到平面的距离为， ， 解得， 又易得平面， 所以到平面的距离为． 变式3．（25-26高二上·云南·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积及到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【详解】（1）如图1，连接交于，连接，    ∵四边形为菱形，则的中点为，且为的中点， ∴是的中位线. ∴且不在平面内，平面， ∴平面. （2）∵平面， ∴是三棱锥的高，又底面为菱形且， ∴三角形为等边三角形， ∴，， ∴. 由等体积法，， 设到平面的距离为， 又平面且底面为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴. 变式4．（25-26高二上·福建三明·月考）已知点P是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点O，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点D到平面的距离； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴； （2）由题意，得、与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 即，解得， 故点到平面的距离为. 考点二 几何法求空间角度问题 例1．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）如图，在三棱台中，平面平面，，． (1)证明； (2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【详解】（1）过点作⊥于点，连接， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，所以， 又，所以， 又，在中， 由余弦定理得， 故，由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 又三棱台中，，所以；    （2）过点作⊥于点，连接， 三棱台中，， 所以直线DF与平面DBC所成的角等于直线与平面DBC所成的角， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 所以为直线与平面DBC所成的角， 由（1）知，，， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 由勾股定理得， 所以， 所以 直线DF与平面DBC所成的角的正弦值为 例2．（25-26高二上·四川自贡·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴，∵，∴平面， ∵平面，∴，又是的中点，，∴， ∵，所以平面． （2）∵底面是矩形，∴，∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形，又是的中点，，∴，∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为． （3）取中点为，连接，再过作的垂线交于点， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面，∵平面，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴，∴二面角的平面角是， ∵平面，平面，∴， ∴是直角三角形，∴二面角的正弦值， ∵，∴，由（1）得平面且平面，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴二面角的正弦值． 例3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，， 满足， 则是直角三角形， 所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 例4．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 变式1．（24-25高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成的角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）因为点，分别为棱，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）设正方体棱长为，由勾股定理可得， 所以三角形是边长为的等边三角形， 所以直线与直线所成的角的大小为， 因为， 所以直线与直线所成的角的大小为. 变式2．（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 变式3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）在上取一点，使得，连接， 因为，所以且， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接. 因为是正三角形，所以⊥ 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面. 因为平面，所以⊥. 设，则，， 又，由勾股定理得， ，故， 因为，所以，. 在三角形中，由余弦定理得 ， 故，故，则， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 所以即为二面角的平面角， 其中，， 由勾股定理得， 所以，即二面角的余弦值为. 变式4．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，． (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）如图，连接，因底面为平行四边形，则， ， 因，则，因平面， 平面，故平面. （2）取中点，连接，因为等边三角形，则， 又平面平面，平面平面， 平面， 则平面，又平面，故， 因，平面，故平面. （3）由（2）已得平面，连接，则即直线与平面所成角， 因为等边三角形，，则， 又，在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为. 考点三 立体几何最值与范围问题 例1．（25-26高二上·河南·月考）如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点，D是的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面和平面的夹角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【详解】（1）连接，如图所示；   为的中位线，则， 而平面，平面，得平面， 由是圆锥底面圆的直径， T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点， 得，得， 而平面，平面，得平面， 又平面， 得平面平面， 而平面，得平面． （2）若，则, 因为圆锥底面，在圆锥底面内，所以， 以O为原点，分别以所在直线为轴，过O垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    不妨设，则， 得， 设平面的法向量为， 得，令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）以O为原点，分别以所在直线为轴，过O垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 　   不妨设，则点在圆上运动， 设，且且， 而， 则， 设平面的法向量为， 得， 令，得， 设平面的法向量为， 得， 令，得， 因为平面和平面的夹角为， 则 ， 令，则，则，即， 则， 由，得， 则当时，即时，取得最大值为． 例2．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足． (1)求证：不论取何值，总有； (2)设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)时， 【详解】（1）如图，以为原点， 以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，由，得， 所以，则， 而， 则， 所以，即不论取何值，总有. （2）由（1）知，， 易得平面的一个法向量为， 由直线与平面所成的角为， 则， 而，所以， 所以的取值范围为． （3）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， 令，则，则， 函数，当时，， 所以， 即当，，时，． 例3．（25-26高二上·河北·月考）如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)当是的中点时，求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）设．建立如图所示的空间直角坐标系， . ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． （2）当是的中点时，，则， 设平面的法向量为，， 令， 设与平面所成角为，则． 与平面所成角的正弦值为． （3）设， 当时，平面与平面重合， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则可求得平面的一个法向量为， ， 令，则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 此时， 平面与平面夹角的最大值为． 例4．（25-26高二上·云南怒江·期中）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，是棱的中点. (1)已知. ①证明：平面平面. ②求平面与平面夹角的余弦值. (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【详解】（1）①取棱的中点，连接，. 因为，分别是棱，的中点，所以，. 因为，，所以，.         因为是边长为2的等边三角形，所以. 因为，所以，所以.         因为平面，平面，且，所以平面.     因为平面，所以平面平面.         ②以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1所示的空间直角坐标系. 由题中数据可得，，，则，. 设平面的法向量为， 则令，得.         取棱的中点，连接，易证平面， 则是平面的一个法向量，       故， 即平面与平面夹角的余弦值是. （2）以为原点，，所在直线分别为轴、轴建立如图2所示的空间直角坐标系. 设，易证平面，则，所以. 因为平面的一个法向量为，             所以.         设，则，     所以.         因为，当且仅当时，有最小值，         所以，即与平面所成角的正弦值的最大值为. 变式1．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知三棱锥（如图1所示）的平面展开图（如图2所示）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： (1)证明：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 设的中点为，连接，，因四边形为边长为的正方形， 则，且 在中，为的中点，， 在中，，， 因为，平面，所以平面 因为平面 ，所以平面平面 （2）因平面，，故可以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则，，，， 平面，故平面的法向量可取为 又， 设平面的法向量为， 则，. 设平面和平面的夹角为， 则 故平面和平面夹角的余弦值为 （3）设，， 则， 因，则，可得 即，易得μ是关于λ的单调递增函数， 故当时，，所以. 变式2．（25-26高二上·天津·期中）如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且. (1)当时，证明； (2)当时，求点到平面的距离； (3)设平面与平面的夹角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）因为平行四边形中，，，， 所以,在中， ， 则， 所以，. 因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 当时，，所以. 所以，， 所以， 所以； （2）由上可知， 设平面的一个法向量为， 则，取，即， 则点到平面的距离； （3）由上知平面的一个法向量， 设，由， 得即， 所以，. 设平面的法向量，因为，即， 取，则，， 所以平面的一个法向量， 因为，所以. 因为，所以. 变式3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，，且． (1)若点E满足，求证：平面BDE； (2)点M在线段AB上，且，动点Q在平面ABCD内，且满足． （i）求三棱锥的体积的最大值； （ii）求直线PQ与平面PBD所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 因，则， 则， 则，则共面， 又平面，则平面BDE； （2）（i）因，则， 设，由得， 整理得，， 则当位于轴上时，的面积最大，最大值为， 则三棱锥的体积的最大值为； （ii）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则， 令，则，即， 因该关于的一元二次方程有解，则， 得， 则，则， 故直线PQ与平面PBD所成角的正弦值的取值范围为    变式4．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：平面; (2)若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【详解】（1）证明：在四棱锥中，由，且，可得， 所以，，因为，且平面， 所以平面，即平面， （2）解：因为，以为原点，以所在的直线分别为轴和轴， 以过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由，可得，则是二面角的平面角， 又由，即，又，且平面，所以平面，所以， 由，得分别是中点， 又由，可得， 令，则， 可得， 设平面的法向量，则， 取，可得，所以， 又由平面的法向量为， 因此，解得或（舍去）， 所以在线段上存在一点满足题意，此时.              （3）解：由（2）中空间直角坐标系，知， 设，其中， 则，由，得， 解得，即，则，                                       点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，又由且，即， 由平面的法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 则， 令，因函数在上递减，， 因此，而，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $几何法求空间距离问题、几何法求空间角度问题、立体几何最值与范围问题专项训练 几何法求空间距离问题、几何法求空间角度问题、立体几何最值与范围问题专项训练 考点目录 几何法求空间距离问题 几何法求空间角度问题 立体几何最值与范围问题 考点一 几何法求空间距离问题 例1．（25-26高二上·上海普陀·期中）如图，已知圆锥的底面圆的半径，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，点是母线的中点，，垂足为上的点，点在底面圆上，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 例2．（25-26高二上·上海·期中）在如图所示的圆柱中，是底面直径，是圆柱的母线，且．设是底面圆周上的动点． (1)求圆柱的表面积； (2)当二面角的大小为时，求点到平面的距离． 例3．（25-26高二上·河北张家口·期中）如图，在正四棱柱中，，E为的中点，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面BDE的距离． 例4．（25-26高二上·河北秦皇岛·月考）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，四棱锥的体积为. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 变式1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面，，，，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； 变式2．（25-26高三上·江苏南通·月考）如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为． (1)求证：且； (2)若，，与底面所成角的正切值为，求直线到平面的距离． 变式3．（25-26高二上·云南·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积及到平面的距离. 变式4．（25-26高二上·福建三明·月考）已知点P是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点O，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点D到平面的距离； 考点二 几何法求空间角度问题 例1．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）如图，在三棱台中，平面平面，，． (1)证明； (2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值． 例2．（25-26高二上·四川自贡·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求二面角的正弦值． 例3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 例4．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 变式1．（24-25高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成的角的大小. 变式2．（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 变式3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 变式4．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，． (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 考点三 立体几何最值与范围问题 例1．（25-26高二上·河南·月考）如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点，D是的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面和平面的夹角为，求的最大值. 例2．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足． (1)求证：不论取何值，总有； (2)设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值． 例3．（25-26高二上·河北·月考）如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)当是的中点时，求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的最大值. 例4．（25-26高二上·云南怒江·期中）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，是棱的中点. (1)已知. ①证明：平面平面. ②求平面与平面夹角的余弦值. (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 变式1．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知三棱锥（如图1所示）的平面展开图（如图2所示）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： (1)证明：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围. 变式2．（25-26高二上·天津·期中）如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且. (1)当时，证明； (2)当时，求点到平面的距离； (3)设平面与平面的夹角为，求的取值范围. 变式3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，，且． (1)若点E满足，求证：平面BDE； (2)点M在线段AB上，且，动点Q在平面ABCD内，且满足． （i）求三棱锥的体积的最大值； （ii）求直线PQ与平面PBD所成角的正弦值的取值范围． 变式4．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：平面; (2)若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $