精品解析：广东省清远市清城区飞来湖中学2025-2026学年上学期九年级 开学考试数学试题

2025-2026学年第一学期学前教育九年级数学科练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 科克曲线 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 2. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列变形中，从左到右不是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为7，则阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 28 D. 24 6. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成7个三角形，则此多边形的边数为（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7. 如图，小明从O点出发，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（ ） A. 72米 B. 108米 C. 144米 D. 120米 8. 如图，在中，，．按下列步骤作图：以点A为圆心，适当长为半径画圆弧分别交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于一半的长为半径画圆弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法不正确的是（　　） A. 是的平分线 B. C. 点D在的中垂线上 D. 9. 如图，函数和的图像交于点P，根据图像可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________________． 12. 关于x的方程的解为正整数，其中m是正整数，则m的值为__________． 13. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB =5，则BE的长度为__________. 14. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为_____． 15. 如图，在中，，把绕边的中点O旋转后得，若直角顶点E恰好落在边上，且边交边于点G，则的面积为____________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 解不等式组：’并求它的非正整数解． 18. 先化简，再求值：，请从、、中选取一个合适的数作为的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 20. 如图，中，点D在边上，E是的中点、连接并延长到F，使得．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若为等边三角形，，求的长． 21. 第二十届文博会在深圳举行.南头古城某商铺购进A、B两种文创饰品，采购A 种饰品花了1400元，采购B 种饰品花了630元，其中A 种数量是B种数量的2倍，A种的进价比B 种的进价每件多1元． （1）A、B两种饰品每件的进价分别为多少元? （2）该商铺计划购进A、B 两种饰品共600件，购进B 种的件数不低于390件，且不超过A 种件数的4倍，现采购A 种饰品有优惠政策，若一次性采购A种超过150件，A 种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进A种饰品m件，那么m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： （1）若 为可分解分式方程，则： = ， （2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． （3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 23. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中， ，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考： （1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当 时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学前教育九年级数学科练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 科克曲线 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键． 3. 若，则下列式子中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴，故选项A不正确； ∵ ， ∴，故选项B正确； ∵ ， ∴，故选项C正确； ∵ ， ∴，故选项D正确； 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以或 同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向变． 4. 下列变形中，从左到右不是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义即可求解． 【详解】解：把一个多项式在实数范围内化为几个整式的积的形式， ∴选项是提取公因式，属于因式分解，不符合题意； 选项是完全平方公式，属于因式分解，不符合题意； 选项是平方差公式，属于因式分解，不符合题意； 选项不是因式分解，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查因式分解的定义，掌握因式分解的方法是解题的关键． 5. 如图，沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为7，则阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 28 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质，梯形面积公式，是解题的关键． 先根据平移的性质可得，，，，，再根据线段和差可得，然后根据阴影部分的面积为，即得． 【详解】由平移的性质得：，，，， ∵， ∴， 则阴影部分的面积为： ． 故选C． 6. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成7个三角形，则此多边形的边数为（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，依此可得n的值． 【详解】由题意得，n﹣2＝7， 解得：n＝9， 即这个多边形是九边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 7. 如图，小明从O点出发，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（ ） A. 72米 B. 108米 C. 144米 D. 120米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和，根据题意得到走过的轨迹为一正多边形，根据正多边形的外角和为360度，求出边数，即可． 【详解】解：按照题意可知小明走一圈回到O点，他走过的轨迹为一正多边形，设此多边形为正n边形， ∵此正n边形的一个外角为， ∴， ∴． 即他走过的正多边形为正18边形． ∵正多边形的边长为6米， ∴正多边形的周长为（米）． 即他第一次回到出发点时一共走了米． 故选B． 8. 如图，在中，，．按下列步骤作图：以点A为圆心，适当长为半径画圆弧分别交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于一半的长为半径画圆弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法不正确的是（　　） A. 是的平分线 B. C. 点D在的中垂线上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作角平分线、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定，先求得，先根据作图痕迹得到是的平分线，再根据等腰三角形的判定和含30度角的直角三角形的性质得到，，进而根据线段垂直平分线的判定可得点D在的中垂线上，进而可逐项判定可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得是的平分线，故A正确，不符合题意； 则， ∴，，即点D在的中垂线上， ∴选项B、C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 9. 如图，函数和的图像交于点P，根据图像可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知不等式的解集即为的图像在的图像上方的部分． 【详解】解：∵函数和的图像交于点， ∴不等式的解集即为的图像在的图像上方的部分， ∴不等式的解集是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，根据图像解不等式是解本题的关键． 10. 对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先求出、、、、、、，得出规律每次一循环，结合即可得解，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， …， 由此可得，每次一循环， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式5，再利用平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 关于x的方程的解为正整数，其中m是正整数，则m的值为__________． 【答案】2或4##4或2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．解关于x的方程得到：，然后根据x是正整数来求m的值． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得， ∵m是正整数，方程有正整数解， ∴或4． 故答案为：2或4． 13. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB =5，则BE的长度为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解决问题. 【详解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED， ∴∠BAE=60°，AB=AE， ∴△BAE是等边三角形， ∴BE=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题关键是明确旋转前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变.要注意旋转的三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度. 14. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻折的性质，及已知的角度，可得△AEB’为等边三角形，再由四边形ABCD为平行四边形，且∠B=60°，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由AC是对称轴，所以AC垂直且平分， ，求AE边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵△CDE恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形ABCD为平行四边形，且∠B=60°， ∴∠BAD=120°，所以，CD=AB=3 ∴，A，B三点在同一条直线上， ∵AC是对折线， ∴AC垂直且平分， ∴， 过点C作CF⊥AD， 则有∠DCF=30°， ∴DF=， ∴CF=， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题，解答本题的关键重叠部分是等腰三角形． 15. 如图，在中，，把绕边的中点O旋转后得，若直角顶点E恰好落在边上，且边交边于点G，则的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BE，首先证明GF＝GE＝GD，求出GE，然后根据OB＝OE＝OC＝BC可得点B、E、C在以O为圆心，BC为直径的圆上，求出∠BEC＝90°，进而可求BE、CE、CG的长，再利用面积法求出点F到直线AC的距离，进而可求的面积． 【详解】解：连接BE， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝5， ∵点O是BC边的中点， ∴BO＝CO＝BC＝2， ∵把绕边的中点O旋转后得，直角顶点E恰好落在边上， ∴BO＝EO＝2，∠DFE＝∠ACB，∠CBA＝∠FED，AC＝DF， ∴CO＝EO， ∴∠OCE＝∠OEC， ∴∠DFE＝∠OEC， ∴GF＝GE， ∵∠D＋∠DFE＝∠DEG＋∠GEF＝90°， ∴∠D＝∠DEG， ∴GE＝GD， ∴GE＝DF＝AC＝， ∵OB＝OE＝OC＝BC， ∴点B、E、C在以O为圆心，BC为直径的圆上， ∴∠BEC＝90°， ∴BE＝， ∴CE＝， ∴CG＝CE−GE＝， ∵GF＝GE＝GD， ∴S△GFE＝S△GDE＝S△DEF＝， 设点F到直线AC的距离为h，则，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质以及圆周角定理等知识，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 17. 解不等式组：’并求它的非正整数解． 【答案】；，0 【解析】 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后写出非正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的非正整数解为，0． 18. 先化简，再求值：，请从、、中选取一个合适的数作为的值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，正确求解是解答的关键．先根据分式的加减乘除运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件选择一个数代入化简式子中求值即可． 【详解】解：原式 ， ，0，3，故取． 当时， 原式． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 【答案】（1） ①如图，即为所求． ②如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可． ②根据平移的性质作图即可． （2）分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，进而可得答案． 【小问1详解】 解：①略 ②略 【小问2详解】 解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到， ∴旋转中心M的坐标为． 20. 如图，中，点D在边上，E是的中点、连接并延长到F，使得．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若为等边三角形，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的中点，得出，再根据，得出，证明，得出，即可证明； （2）根据为等边三角形，，得出，即可得，根据勾股定理得出，即可求解； 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵为等边三角形，， ， ， ， ， ∴的长是． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、平行线的判定、平行四边形的判定、勾股定理、等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 第二十届文博会在深圳举行.南头古城某商铺购进A、B两种文创饰品，采购A 种饰品花了1400元，采购B 种饰品花了630元，其中A 种数量是B种数量的2倍，A种的进价比B 种的进价每件多1元． （1）A、B两种饰品每件的进价分别为多少元? （2）该商铺计划购进A、B 两种饰品共600件，购进B 种的件数不低于390件，且不超过A 种件数的4倍，现采购A 种饰品有优惠政策，若一次性采购A种超过150件，A 种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进A种饰品m件，那么m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元 （2）当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用： （1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为元，再根据采购A 种饰品花了1400元，采购B 种饰品花了630元，其中A 种数量是B种数量的2倍，列出方程求解即可； （2）根据题意，确定不等关系，列一元一次不等式组求解，确定变量取值范围；根据题意，分情况讨论，列出相应的解析式，根据一次函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元； 【小问2详解】 解：设购进A种饰品m件，则购进B种饰品件 由题意得：， 解得：， 购进A种饰品件数m的取值范围为：，且m为整数； 设采购A种饰品m件时的总利润为w元， 当时，， ， 随m的增大而减小， 当时，w有最大值，最大值为， 当时，， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最大值是：， ， w有最大值是3630，此时， 即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： （1）若 为可分解分式方程，则： = ， （2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． （3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 【答案】（1）6，（或，6） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程等知识．理解题意，熟练掌握完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）由方程 是可分解分式方程，可得 进而可求； （2）由可分解分式方程 的两个解分别为 可得 ，根据代值求解即可； （3）由方程 是可分解分式方程，可得 不妨设 ，则，由可得，可求，由，可得，，进而可得k的值为． 【小问1详解】 解： ∵方程 是可分解分式方程， ∴ 故答案为： 6，． 【小问2详解】 解：∵可分解分式方程 的两个解分别为 ∴， ∴的值为． 【小问3详解】 解：方程 是可分解分式方程， ∴ ∵k为实数，不妨设 ， ， ， ∴， 解得，， ∵， ∴，， ∴k的值为． 23. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中， ，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考： （1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当 时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 【答案】 （1）解：， 理由：如图1，连接，由旋转的性质知，， ， ， ， ． （2）①，② 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可． （2）①延长，交 于点，设，则，解答即可． ②根据旋转的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2） ① 解：如图2，延长，交于点， ， ， ， ，． 由（1）知，， 设，则， ， ， ， 故答案为； ② 解：如图3， ，，， ． 由旋转的性质知，，，， ，当 时， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $