福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期期末数学复习练习7（等差等比数列）

厦门外国语学校期末复习练习作业7：等差等比数列 班级： 姓名： 座号： 考试题型 一、等差等比数列的定义 1. 已知数列中，， ，数列满足． （1）求证：数列为等差数列．（2）求数列的通项公式． 2. 已知数列的前项和为，且，.求证：为等比数列，并求的通项公式； 二、等差等比中项 3. 已知，并且，，成等差数列，则的最小值为_____. 4. 已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则_______ 三、等差等比数列的性质 5. 已知数列为正项等比数列，且，则________ 6. 已知等差数列的前项和为，且，，则 ； 7. 若数列是等差数列，首项，，则使前项和成立的最大自然数是_____． 8. 是等差数列的前项和，，则时的最大值是_____ 9. 设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为_ 10. 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的最小值为___． 11. 设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比__. 四、数学文化 12. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问前三天走了______里. 13. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还__________升粟. 14. 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为___________ 15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___. 课后练习 一、单选题 1．在等差数列中，，则（ ）． A．10 B．12 C．11 D．-4 2．在和3之间插入n个数，使这个数组成和为的等差数列，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．在等差数列中，若，且，则（ ） A． B． C．2 D． 4．数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（） A． B． C． D． 5．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ） A． B． C． D． 6．在等比数列中，，.记，则数列（ ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 7．已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C．当时， D．当时， 8．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题 9．数列满足，则下列说法正确的是（ ） A．数列是等差数列 B．数列有最小项 C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列 10．下列说法中正确的是（ ） A．数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有 B．数列成等比数列的充要条件是对于任意的正整数，都有 C．若数列是等差数列，则、、也是等差数列 D．若数列是等比数列，则、、也是等比数列 11．数列对任意满足，则下列关于数列的命题正确是（ ） A．可以是等差数列 B．可以是等比数列 C．可以既是等差又是等比数列 D．可以既不是等差又不是等比数列 12．提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维斯，提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A.U.为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4得数列，可以发现从第3项起，每一项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ） A．数列的通项公式为 B．数列的第2021项为 C．数列的前n项和 D．数列的前n项和 三、填空题 13．设为等差数列的前项和，，，则________. 14．设等差数列的前项和为，且，，，则正整数______． 15．等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________. 16．如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，则________. 四、解答题 17．某学校给家庭贫困学生提供勤工俭学，有三种付酬方案：第一种，第一天付元，以后每一天是前一天的倍；第二种，第一天付元，以后每一天比前一天都多付元；第三种，每天支付元． （1）设工作天，三种付酬方式的前天的收入和分别记为、、，请求出、、． （2）哪一种领取报酬方式更划算？为什么？ 18．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，2021年投入资金1000万元，以后每年投入比上年减少.预测显示，2021年当地旅游业收入为300万元，以后每年旅游业收入比上年增加20万元.根据预测，解答以下问题： （1）从2021年至2030年，该地十年的旅游业收入共计多少万元？ （2）从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入？ 19．设各项均为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的公差； （2）数列满足，且，求数列的通项公式． 20．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元. （1）判断是否为等比数列？并说明理由； （2）若企业每年年底上缴资金，第年年底企业的剩余资金超过21000万元，求的最小值.； 厦门外国语学校期末复习练习作业7：等差等比数列 考试题型答案 1．【详解】（1）证明：由题意知，，又，故，又易知，故数列是首项为，公差为1的等差数列． （2）由（1）知，所以由，可得，故数列的通项公式为． 2．【详解】证明：由得：，两式相减得：，即，∴，由，令得，而，故，所以为首项是2，公比是2的等比数列，故，. 3．详解：因为，，成等差数列，所以，所以，当且仅当，即时等号成立， 4．【详解】解：因为四个实数成等差数列，所以， 因为五个实数成等比数列，所以，因为等比数列中的第三项和第一项同号，所以所以. 5．【详解】∵数列为等比数列，且∴，即， 又，∴.故答案为：2. 6．【详解】若数列{an}为等差数列则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍然成等差数列．所以S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差数列．因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=60．故答案为60． 7．【详解】由于等差数列首项，而，故公差，且，所以，，故使前项和成立的最大自然数是.故填：. 8．【详解】由，所以，所以 可知等差数列是单调递增的，且前2017项均是负数，又 ，即故当时，的最大值是4034. 9.【详解】由，利用等差数列的性质可得：，又<0，>0， ∴>0，<0.∴， 则满足Sn>0的最大自然数n的值为12. 10．【详解】解：∵，且，∴，∴公比，∴，，∴， 当且仅当， 即时等号成立， 11.【详解】由，得.又根据等比数列的等长片段和仍然是等比数列得到：，，成等比数列，∴.又为正项等比数列，∴. 12.【详解】由题意得等比数列，公比，，∴，解得， ∴.故答案为： 13.【详解】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且则，解得，所以马主人要偿还的量为：， 故答案为： 14.【详解】设每个月的收入为等差数列，公差为，则，∴，，解得：，.故答案为：70 15．【详解】设此等差数列为{an}，公差为d，则 （a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，故答案为． 课后练习答案 1．B【详解】由等差数列的性质，可得可知，解得． 又由，则. 2．B【详解】设构成的等差数列为，则，，项数为，．由，解得． 3．A【详解】由得，整理得，即． 4．A【详解】设数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列，若，则，， 即为，，即，，则． 5．A【详解】设数列和的前项和分别为，则 （）， 若，则，则，显然没有出现，所以， 所以，由两边的对应项相等可得， 解得，所以. 6．A【详解】设等比数列为q，则等比数列的公比，所以， 则其通项公式为：，所以，令，所以当或5时，t有最大值，无最小值结合前面的，当为偶数时，为正数；当为奇数时，为负数 故时，取得最大值，当时，取得最小值所以有最大项，有最小项. 7．D【详解】因为是等差数列，前项和为，由得： ，即，即，对于选项A：由得，可得，故选项A正确；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C：，若，则，故选项C正确； 对于选项D：当时，，则，因为，所以，， 所以，故选项D不正确， 8．A【详解】由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，其中，且， 所以乌龟爬行的总距离为. 9．AD【详解】对选项A，因为，，所以，即 所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.对选项B，由A知： 则，所以数列为递减数列，故D正确，B错误对选项C，因为，所以，故C错误. 10．AC【详解】对于A选项，充分性：若数列成等差数列，则对任意的正整数，、、成等差数列，则，即，充分性成立；必要性：对任意的正整数，都有，则，可得出，所以，数列成等差数列，必要性成立.所以，数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有，A选项正确；对于B选项，当数列满足时，有，但数列不是等比数列，B选项错误；对于C选项，设等差数列的公差为，则，，，所以，， ， 所以，， 所以，、、是等差数列，C选项正确；对于D选项，当公比，且是偶数时，、、都为0，故、、不是等比数列，所以D选项错误. 11．ABD【详解】因为，故可得或； 若，则数列是等差数列；若，且，则数列是等比数列； 若，且，则数列是等差数列；故正确；由，得不出数列是非零常数列，故不可以既是等差又是等比数列，故错误；数列可以既不是等差数列又不是等比数列，例如：，满足题意，但既不是等差数列也不是等比数列，故正确. 12．CD【详解】数列各项乘10再减4得到数列：0，3，6，12，24，48，96，192，， 故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以，故选项A错误；所以，所以，故选项B错误；当时，， 当时，， 当时，也适合上式，所以，故选项C正确；因为， 所以当时，，当时，①， 则②，所以①②可得， ，所以，又当时，也适合上式， 所以，故选项D正确． 13．54解：为等差数列的前项和，，，① ，②解得，. 14．4因为是等差数列的前项和，所以数列是等差数列，所以， 即，解得． 15．9【详解】由题意可得a2a8＝＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2…a9)＝9log2a5＝9. 16．3【详解】从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，，第行的项数为，从第1行到第行的项数总和为，又，是第行第个数， ，整理得，∴. 17．（1），，（2）答案不唯一，具体见解析 （1）解：设第一、二、三种付酬方案第天支付的金额分别为元、元、元， 由题意可知，数列是等比数列，且首项为，公比为，则， 数列是等差数列，且首项和公差均为，则， 数列为常数列，且，则. （2）解：，当时，；当时，；当时，.令，则，当时，，此时数列单调递减，则；当时，，此时数列单调递增，即. ，则，又因为，，故当时，，即， 当时，，即.令，其中， 则， 令，则， 当时，，此时数列单调递增，则，则， 所以，当时，数列单调递增，则，即. 综上所述，当时，，应选第三种方案； 当时，，应选第一种方案. 18．（1）万元（2）2039年 （1）以2021年为第1年，设第年旅游业收入万元，则，，故． ， 因此从2021年至2030年，该地十年旅游业收入共计万元． （2）以2021年为第1年，设第年投入资金万元，则，，故， 设数列、的前项和分别为、，则，，题目即求最小的正整数，使得， 设，则，令， 则关于递增，且，，故，， 又，，， 因此该地在2039年的旅游业总收入将首次超过总投入． 19．（1）；（2）. （1）设等差数列的公差为，，，成等比数列，，即，又，解得：或； 当时，，与矛盾，， 即等差数列的公差； （2）由（1）得：，，即，，又，解得：，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，整理可得：. 20．（1）不是等比数列，理由见解析（2）6 （1）解：由题意得：，，，，不是同一个常数， 数列不是等比数列. （2）解：由（1）得 ，整理得：，由题意可知，， ，，的最小值为6 学科网（北京）股份有限公司 $