1空间向量的线性运算同步练-福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期数学练习

厦门外国语学校2025届高二数学练习1: 线性运算 班级： 姓名： 座号： 一、单选题 1．给出下列命题①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；③若满足，且同向，则；④零向量没有方向；⑤对于任意向量，必有．其中正确命题的序号为（ ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 2．在平行六面体中，与向量相等（不含）的向量有（ ） A．0个 B．3个 C．6个 D．9个 3．点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，则满足的实数的值分别为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且.用表示向量的结果是（ ） A． B． C． D． 6．已知空间四边形ABCD中，，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则= A． B． C． D． 7．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（ ） A． B． C． D．以上都不对 8．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ） A．在平面内 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 二、多选题 9．下列命题中为假命题的是（ ） A．任意两个空间向量的模能比较大小 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 10．如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有 A． B． C． D． 11．如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且：，设，则下列选项正确的为（ ） A． B． C． D． 12．下列说法正确的是（ ） A．若为空间的一组基底，则三点共线 B．若为四棱柱，则 C．若则四点共面 D．若为正四面体为的重心，则 三、填空题 13．已知为不共面的三个向量，，，若，则α，β，λ的值分别为________． 14．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________. 15．在图四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝3GD，＝a，＝b，＝c，=_________.（用基底{a，b，c}表示向量） 16．在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用表示)． 四、解答题 17．如图，在空间四边形OABC中，其对角线为OB，AC，M是边OA的中点，点G为的重心，用基向量表示向量． 18．如图，已知正四棱锥，点是正方形的中心，是的中点． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 19．为四棱锥的棱的三等分点，且.点在上，，四边形为平行四边形．若四点共面，求实数的值． 20．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面. 厦门外国语学校2025届高二数学练习1: 线性运算答案 1．B【详解】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误；对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确． 综上，正确的命题只有⑤， 2．B【详解】由图形可知，. 3．D【详解】取的中点，连接，则 ， 又因为，由空间向量基本定理可得： 4．A.【详解】解: , 5．D【详解】如图所示:因为 . 6．A【详解】画出图形如图所示，∵， ∴，∵E为AC的中点，∴， 同理，，∴， ∴． 7．B【详解】设且，则，，则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面.对于A选项，，，、、、四点不共面； 对于B选项，，，、、、四点共面； 对于C选项，，，、、、四点不共面. 8．C【详解】因为，所以，，，四点共面 9．BCD【详解】对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等． 10．BCD【详解】A．，故错误；B．，故正确；C．，故正确；D．，故正确. 11．AD【详解】因为是的中点，所以， 因为点在上，且：，所以 , 12．CD【详解】A：若为空间的一组基底，则向量不共面，知三点不共线，故错误；B：若为四棱柱且底面为平行四边形，即时，才满足，故错误；C：已知，若向量与共线，则也与共线，即四点共面；若向量与不共线，则点在面内，即四点共面，故正确；D：设为的重心，若为的中点，则， 所以，即，故正确. 13．【详解】∵ 且不共面∴，∴ 故答案为： 14．2【详解】解：因为 ，又，所以，， 则. 15．【详解】如图， .故答案为． 16．【详解】因为在四面体中，为的中点，为的中点， ，故答案为. 17． 【详解】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，则D为BC的中点．所以．因为点G为的重心，所以．又因为，所以．因为M是边OA的中点，所以． 所以． 18．（1）；（2）. 【详解】(1)因为==，所以. (2)因为O为AC中点，Q为CD中点，所以 所以，所以所以. 19．．解：如图:因为为棱的三等分点，且，∴，∴；又∵点在上，，∴. ∴ , 又因为四点共面，且不共面， 所以，解得． 20．证明见解析【详解】因为在上，且，所以. 同理.所以=++=.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面. 学科网（北京）股份有限公司 $