精品解析：湖北省武汉二中广雅中学2025-2026学年 上学期九年级数学课堂作业一

2025-2026武汉二中广雅九（上）数学课堂作业一 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. －3 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可得． 【详解】一元二次方程的二次项系数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．其中是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是二次项系数，c是常数项． 2. 一元二次方程的根为（ ） A. 0或 B. C. 0或1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 可得或， 解得， 故选：C． 3. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】把代入， 得， 解得， 故选A． 【点睛】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 4. 如果函数是二次函数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. m为全体实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据判别式的值确定根的情况即可． 【详解】解：， ∴方程无实数根， 故选：． 【点睛】此题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6. 为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆872人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. 200(1＋x)2＝872 B. 200(1＋x)＋200(1＋x)2＝872 C. 200(1＋x＋x2)＝872 D. 200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝872 【答案】D 【解析】 【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于872，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题目中量之间的关系列出方程． 7. 将抛物线向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则，上“+”下“-”便可得到． 【详解】解：向下平移3个单位 故选B 【点睛】本题考查抛物线平移知识，掌握平移方法是关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 9. 已知抛物线（a、b、c为正数）经过、两点，则的值可能为（　　） A. 4 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a、b、c为正数）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先把A点和B点坐标代入得到关于a、b、c的方程组，再利用a分别表示b、c得到，，则，接着利用a表示，并进行配方得到，然后根据二次函数的性质由得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：把、代入解析式得： ， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∵a、b、c为正数， ∴且， 解得， ∵， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴． 故选：B． 10. 如图，在中，，．分别以为边在的同侧作正方形，点M刚好在上，点N刚好在的延长线上，四块阴影部分的面积，四边形的面积记为，四边形的面积记为的面积记为，的面积记为，则等于（ ） A. 18 B. C. 29 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过N作的垂线交于H，通过证明，，得出；证明，可得出；证明，得出，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：过N作的垂线交于H，则 ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∵四边形为正方形， ∴， 又，∴， ∴， 又 ∴， ∴， 同理可得， ∴． 由，∴， ∴，又， ∴， ∴， 又四边形为矩形，∴， ∴． 同理可证明， ∴， ∵，． ∴，， 设， ∵， ∴， 解得，即， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，利用转化思想将各个图形的面积转化为已知的面积． 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 11. 若方程 有实数根，则a的取值范围是 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据完全平方的非负性，即可得出结果． 【详解】解：∵ 有实数根，且， ∴； 故答案为：． 12. 若二次函数 过点， 则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟知函数图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键． 将点代入二次函数的解析式即可得出a的值． 【详解】解：将点代入二次函数得：， ∴， 故答案为：2． 13. 已知 ，，三点都在抛物线上，则，，的大小关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，根据抛物线得到对称轴，找到的对称点，根据性质判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，三点都在抛物线上， ∴对称轴为：， ∴的对称点为：， ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将绕顶点B顺时针旋转得到，且点C刚好落在线段上，若，则的度数是____________ 【答案】##38度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，即可得，进而利用三角形内角和定理可求出，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 15. 抛物线（，，是常数，）的对称轴是直线，图象与轴交于点，下列四个结论： 方程 的解为，； ； 对于任意实数，总有； 不等式 (为常数)的解集为或 ． 其中正确的结论是 ______________（填写序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）的应用，关键是弄清楚二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式解集的关系以及分类讨论思想．根据抛物线与轴的交点关于对称轴对称可以判断；将代入抛物线得：，根据抛物线的对称轴，得到，两式相加即可判断；由抛物线开口向上，抛物线在顶点处取得的最小值，再由抛物线的性质任意实数，，即，通过判断，即可判断；设，由得，，可得，当时，，由对称轴建立方程即可求出与轴的另一交点，然后分情况讨论即可判断． 【详解】解：抛物线（，，是常数，）的对称轴是直线，图象与轴交于点， 抛物线与轴的另一交点为， 方程的解即为抛物线与轴交点的横坐标：，， 故正确； 将代入抛物线得：， 又抛物线的对称轴， ， ， 故正确； 抛物线的对称轴，且， 抛物线开口向上， 当时，抛物线的最小值为， 对于任意实数，，即， ，， ， ∴对于任意实数，总有， 故正确； 由②可知：，， ， 对称轴为， 当时，， 设与轴另一交点横坐标为， 则， 解得， 当，即时， 的解集为或， 当，即时， 的解集为或， 故错误． 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，点为上一点，将沿着AE翻折得到，连结．若，且，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，设交于点，根据已知条件得出，进而得出，在，中勾股定理求得，进而证明，在中，得出，，进而在，中，求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，设交于点， ∵将沿着翻折得到， ∴， ∴， ∴ ∵，即， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵， 在中， 设，则 在中，， ∴， 解得： 即， ∵折叠， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∵ ∴在中， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质以及三角函数的定义是解题的关键． 三、解答题 17. 解方程x2﹣4x+1=0． 【答案】x1=2+，x2=2-. 【解析】 【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可． 【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， ∴（x﹣2）2=3， ∴x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2-. 18. 已知二次函数的图象与x轴交于． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求自变量x的值． 【答案】（1）； （2）当时，自变量的值为或6 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将与坐标代入二次函数解析式求出与的值，即可确定出二次函数解析式； （2）把代入解析式解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：将，代入解析式得： ， 解得：，． 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得：，， 当时，自变量的值为或6． 19. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？ 【答案】小路的宽应为1． 【解析】 【分析】设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x），（9-x）；那么根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】解：设小路的宽应为x米， 根据题意得：， 解得：，． ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． 答：小路的宽应为1米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 20. 已知：关于x的方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值． 【答案】 （1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根． （2）k=1或． 【解析】 【分析】（1）确定判别式的范围即可得出结论． （2）根据根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可． 【详解】解：（1）略 ②当k≠0时，方程是一元二次方程， ∵， ∴一元二次方程有两实数根． 综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根． （2）∵此方程有两个实数根x1，x2， ∴． ∵|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4． ∴，解得k=1或 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，E，F都是格点，N在上，M在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先以，为邻边作平行四边形，再在上画点H，使得； （2）在图（2）中，先画点F关于的对称点P，再过点M作的平行线l． 【答案】（1） 如图1中，四边形，点即为所求； （2） 如图2中，点，直线即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定画出图形，连接交于点，连接，延长交一点，点即为所求(证明，推出； （2）根据轴对称变化的性质求出点的对应点，取格点，连接交于点，连接，延长交于点，作直线即可． 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴是平行四边形， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：证明：∵， ， ； ∴， 即是的线段垂直平分线， 故点F关于的对称是点P； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 某零售商店，通过对市场行情的调查，了解到，两种水果销路比较好，种水果每箱进价元，种果每箱进价元． （1）该水果零售商店共购进了这两种水果箱，种水果以每箱元价格出售，种水果以每箱元的价格出售，获得的利润为元，设购进的种水果箱数为箱，求关于的函数关系式； （2）在（1）的销售情况下，每种水果进货箱数不少于箱，种水果的箱数不少于种水果箱数的倍，请你计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据利润等于每箱水果的利润乘以数量，列出关于的函数关系式； （2）根据题意，求得的范围，进而根据一次函数的性质求得最大利润，即可求解． 【小问1详解】 解：由题知，购买种水果的箱数为箱 故 【小问2详解】 由题有，且为整数 解得：，且为整数 又 ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时（元） 答：该水果零售上点能获得的最大利润是元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 23. 如图， 在正方形的边上分别有点E、F， 且，交于点O， 连接， 过点 F作 垂足为G， 连交于点 P，交于点Q． （1）与的数量关系是 ，与的位置关系是 ． （2）选择 （1）中的一个结论，进行证明； （3）若，求的长． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明：过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； 【小问1详解】 解：与的数量关系是相等，与的位置关系是垂直； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，抛物线 与x轴分别交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线上一点，且 ，求点的坐标； （3）点为抛物线第一象限上一点，连、，若 ，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则，利用中点坐标公式求出的坐标从而得到直线的表达式，再联立二次函数的解析式运算求解即可； （3）连接并延长交轴于点，连接，分析出点在的垂直平分线上，设点，求出的解析式，得到点的坐标，再利用列式运算即可． 【小问1详解】 解：把代入可得：， ∴， ∵， ∴,， ∴，， 把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则如图所示： ∵，，即点可由点向下平移个单位，向左平移个单位得到，故， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立与可得：， 解得：或， ∴把代入可得：， ∴； 【小问3详解】 解：当时，连接并延长交轴于点，连接， ∵， ∴， 点在的垂直平分线上， ∴， 设， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入可得：， 整理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴解得：或（第一象限舍去）， ∴把代入可得：， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，一次函数，垂直平分线的判定及性质，函数坐标点的特征，坐标中点坐标公式，合理添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026武汉二中广雅九（上）数学课堂作业一 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. －3 B. 2 C. D. 3 2. 一元二次方程的根为（ ） A. 0或 B. C. 0或1 D. 1 3. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4. 如果函数是二次函数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. m为全体实数 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 6. 为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆872人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. 200(1＋x)2＝872 B. 200(1＋x)＋200(1＋x)2＝872 C. 200(1＋x＋x2)＝872 D. 200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝872 7. 将抛物线向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线（a、b、c为正数）经过、两点，则的值可能为（　　） A. 4 B. 0 C. D. 10. 如图，在中，，．分别以为边在的同侧作正方形，点M刚好在上，点N刚好在的延长线上，四块阴影部分的面积，四边形的面积记为，四边形的面积记为的面积记为，的面积记为，则等于（ ） A. 18 B. C. 29 D. 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 11. 若方程 有实数根，则a的取值范围是 ____________． 12. 若二次函数 过点， 则_____________． 13. 已知 ，，三点都在抛物线上，则，，的大小关系是_____． 14. 如图，将绕顶点B顺时针旋转得到，且点C刚好落在线段上，若，则的度数是____________ 15. 抛物线（，，是常数，）的对称轴是直线，图象与轴交于点，下列四个结论： 方程 的解为，； ； 对于任意实数，总有； 不等式 (为常数)的解集为或 ． 其中正确的结论是 ______________（填写序号） 16. 如图，矩形中，，点为上一点，将沿着AE翻折得到，连结．若，且，则的长为______________． 三、解答题 17. 解方程x2﹣4x+1=0． 18. 已知二次函数的图象与x轴交于． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求自变量x的值． 19. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？ 20. 已知：关于x的方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，E，F都是格点，N在上，M在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先以，为邻边作平行四边形，再在上画点H，使得； （2）在图（2）中，先画点F关于的对称点P，再过点M作的平行线l． 22. 某零售商店，通过对市场行情的调查，了解到，两种水果销路比较好，种水果每箱进价元，种果每箱进价元． （1）该水果零售商店共购进了这两种水果箱，种水果以每箱元价格出售，种水果以每箱元的价格出售，获得的利润为元，设购进的种水果箱数为箱，求关于的函数关系式； （2）在（1）的销售情况下，每种水果进货箱数不少于箱，种水果的箱数不少于种水果箱数的倍，请你计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少？ 23. 如图， 在正方形的边上分别有点E、F， 且，交于点O， 连接， 过点 F作 垂足为G， 连交于点 P，交于点Q． （1）与的数量关系是 ，与的位置关系是 ． （2）选择 （1）中的一个结论，进行证明； （3）若，求的长． 24. 如图，抛物线 与x轴分别交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线上一点，且 ，求点的坐标； （3）点为抛物线第一象限上一点，连、，若 ，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $