3.2.1 基本不等式的证明课件-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件围绕基本不等式展开，通过“天平称重”生活情境导入，从实际问题抽象出物体实际质量√ab与两次称重平均数(a+b)/2的关系，再结合几何图形（圆的直径与垂线段）和代数证明（作差法、分析法等）构建知识脉络，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境化设计与多元推理融合，以天平问题引导学生用数学眼光观察现实世界，通过圆的几何直观和三种代数证法培养数学思维，例题（如求y=x+1/(x+2)的最值）强化模型应用，助力学生提升抽象与推理能力，教师可借此高效开展素养导向教学。

3.2.1 基本不等式的证明 作者编号：32100 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 学习目标 作者编号：32100 虫草放到天平的左边，测出它的质量为 a 虫草放到天平的右边，测出它的质量为b b （算术平均数） 冬虫夏草是名贵的滋补药材.某虫草店有一架天平，由于操作不当，现在两臂长度不等.虫草店老板说：“我的天平有毛病，现在我把虫草放到左托盘上称一次，再放到右托盘上称一次，虫草的重量就是两次的平均数。”请问这样称得的虫草重量是多了，还是少了？ 情境引入 作者编号：32100 设天平的两臂长分别为 l1，l2，物体实际质量为 M，根据力学原理有 l1M ＝ l2a， l2M ＝ l1b. 将上述两个等式的两边分别相乘，得 l1l2M2＝l1l2ab， 所以 M＝. 算术平均数与几何平均数 由此可知，物体的实际质量是. 对于正数 a，b，我们把 称为 a，b 的算术平均数， 称为 a，b 的几何平均数. 思考：两个正数 a，b 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系? l2 l1 新课讲授 作者编号：32100 当a＞0，b＞0时，我们可以尝试作出长度为 和 的两条线段，再比较这两条线段的长. 如图，AB是⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C作CD⊥AB 交⊙O 的半圆于点 D，连接 AD，BD，易知 △ACD∽△DCB，故 ＝，得CD＝. 新课讲授 作者编号：32100 而OD＝，且CD≤OD， 所以 ≤ 当且仅当点 C与点O 重合，即 a＝b 时，等号成立. 也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等. 新课讲授 作者编号：32100 下面证明上述猜想，你能想到哪些方法？ － ＝ (a＋b－2) ＝ [()2＋()2－2] ＝ (－)2. 因为(－)2 ≥ 0，所以≥0 ， 即≤ . 当且仅当 ＝ ，即a＝b时，等号成立. 只要证 2≤ a＋b， 只要证 0≤a－2＋b， 只要证 0≤(－)2. 因为最后一个不等式成立， 所以 ≤ 成立， 当且仅当 a＝b 时，等号成立. 对于正数 a，b，有 证法1 ： ≤ 对于正数 a，b，要证 ≤ . 证法2： 作者编号：32100 对于正数 a，b，有 (－)2≥0， ⇒ a＋b－2≥0， ⇒ a＋b≥2， ⇒ ≥a＋b. 当且仅当 a＝b 时，等号成立. 证法3： 新课讲授 作者编号：32100 (1) 公式： ① 条件：a，b是正数； ② 结论：____________； ③ 等号成立：当且仅当 a＝b 时. 一、基本不等式 ≤ 当 a，b≥0时，这个 不等式仍然成立. 我们把不等式≤ (a，b≥0) 称为基本不等式. (2) 本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数 . 归纳总结 作者编号：32100 (3) 变形式： 当 a，b∈R 时，由(a－b)2≥0可得a2＋b2≥2ab，a2＋b2＋2ab≥4ab， 即 ≥ab，()2≥ab， 当且仅当 a＝b时，其中的等号成立. 从而得到：当 a，b∈R 时， ab≤ (当且仅当 a＝b 时，等号成立)； ab≤()2 (当且仅当 a＝b 时，等号成立). 这两个不等式通常可以直接使用. 当 a＞0，b＞0 时，请用基本不等式证明这两个不等式. 作者编号：32100 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立： (1) ＋ ≥2； (2) a＋b＋＋ ≥4； 证明：（1） 因为 a，b 为正数，所以 ， 也为正数. 由基本不等式，得＋ ≥2 ＝2， 当且仅当 ＝ ，即 a＝b 时，取得等号. 所以原不等式成立. 例1 ： 新课讲授 作者编号：32100 证明：（2） 因为 a，b 为正数，所以 ， 也为正数. 由基本不等式，得 a＋≥2 ＝2， b＋≥2 ＝2 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立： (1) ＋ ≥2； (2) a＋b＋＋ ≥4； 所以a＋b＋＋ ≥4， 当且仅当 a＝，b＝ 时，即a＝b＝1时，取得等号. 因此，原不等式成立. 例1 ： 新课讲授 作者编号：32100 设 y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值. 解：因为 x＞－2，所以 x＋2＞0. 由基本不等式，得 x＋ ＝ (x＋2)＋－2≥2＝6， 当且仅当 x＋2＝ ，即 x＝2时，等号成立. 因此，当 x＝2 时，y的最小值为6. 例2 ： 新课讲授 作者编号：32100 1. 计算下列两个数的算术平均数与几何平均数 (其中p＞0)： (1) 2，8； (2) 3，12； (3) p，9p； (4) 2，2p2. 解：(1) 2，8 的算术平均数为5，几何平均数为4； (2) 3，12 的算术平均数为，几何平均数为6； (3) p，9p的算术平均数为5p，几何平均数为3p； (4) 2，2p2的算术平均数为1＋p2，几何平均数为2p； 当堂练习 作者编号：32100 2. 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的. 设直角三角形的直角边长为 a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用 a，b 表示这种关系. 解：由题意，直角三角形的斜边长为， 则大正方形面积 S1＝a2＋b2 四个直角三角形的面积为 S2 ＝ 4×ab ＝2ab， 则 a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 当堂练习 作者编号：32100 3. 证明： (1) a＋ ≥3(a＞1)； 证明：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋ ＋1≥2 ＋1 ＝3， 当且仅当a－1＝，即a＝2 (a＞1)时等号成立； (2) x＋ ≤－2 (x＜0). 证明：∵ x＜0，∴ x＋＝－(－x＋)≤－2 ＝－2， 当且仅当－x＝，即x＝－1 (x＜1)时等号成立； 当堂练习 作者编号：32100 4. 求 4x2＋ 的最小值. 解：由4x2， 均大于0， ∴ 4x2＋ ≥2 ＝2 ＝12， 当且仅当 4x2＝ 时取得最小值，故x＝， 即 4x2＋ 是的最小值为12，此时x为. 当堂练习 作者编号：32100 5. 设 0° ＜ α ＜ 90°利用直角三角形三边关系，证明 1 ＜ sinα ＋ cosα ≤ . 证明：∵ 0°＜α＜90°， ∴ 0°＜2α＜180°， ∴ sin2α∈(0，1]， ∴ 1＋sin2α∈ (1，2]， ∴ (sinα＋cosα)2∈ (1，2]， ∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2， ∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2，得证. 当堂练习 作者编号：32100 问题情境 (生活情境) 数学抽象 直观想象 数学问题 (不等关系) 数学模型 (基本不等式) 逻辑推理 数学运算 模型应用 解决问题 其他问题 (数学应用) 本节课你学到了哪些知识？ 课堂总结 作者编号：32100 $