3.2.1 基本不等式的证明 课件-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的证明及应用，以金店天平称重的现实情境导入，通过物理杠杆原理推导实际重量得到几何平均数，对比算术平均数引出大小关系，再从几何（圆中半径与半弦长）和代数（比较法、分析法等）多角度搭建证明支架，衔接自然。 其亮点在于用生活情境激发探究欲，体现用数学眼光观察现实世界，通过几何直观与代数推理结合培养数学思维，例题强调“一正二定三相等”规范数学语言表达。学生能提升抽象与推理能力，教师可借助结构化流程高效开展教学。

3.2.1 基本不等式的证明 作者编号：32100 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 学习目标 作者编号：32100 某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的平均数 作为项链的重量来计算． 项链放到天平的左边，测出它的质量为 a 项链放到天平的右边，测出它的质量为b b 实际重量 情景导入 作者编号：32100 想一想：结合物理知识，你能想办法得到项链的实际重量吗？ 实际重量 项链放到天平的左边，测出它的质量为 a 项链放到天平的右边，测出它的质量为b b 作者编号：32100 l2 l1 活动1：探究项链的实际重量 设天平的两臂长分别为 ，，物体实际质量为 ，根据力学原理有 ，. 将上述两个等式的两边分别相乘，得， 所以 . （几何平均数） （算术平均数） 它们大小关系如何？ 新知探究 作者编号：32100 当时，我们可以尝试作出长度为 和 的两条线段，再比较这两条线段的长. 活动2： 和 的大小比较 从图形角度： 新知探究 作者编号：32100 如图，是圆的直径，点是上一点， 过点作垂直于的弦，连接 半径，则 与大小关系怎么样？ 当且仅当点与圆心重合时取等. 几何意义： 半径不小于半弦长 △ACD ∽△DCB 试一试1：结合图形，完成 和 的大小比较. CD小于或等于圆的半径OD 作者编号：32100 试一试2：你能证明 吗？说说你的方法. 从代数角度： 作者编号：32100 试一试2：你能证明 吗？说说你的方法. 作者编号：32100 试一试2：你能证明 吗？说说你的方法. 作者编号：32100 基本不等式：对，，都有 当且仅当时，等号成立. 几何平均数 算术平均数 知识归纳 代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 几何意义：半径不小于半弦. 作者编号：32100 推论：两个重要不等式 重要不等式2： 当且仅当时取等号. 重要不等式1： （） 当且仅当时取等号. 知识归纳 作者编号：32100 证明：（1）因为 为正数，所以 ， 也为正数. 由基本不等式，得 ＋ ≥2 ＝2， 当且仅当 ＝ ，即 时，取得等号. 所以原不等式成立. 例1：设为正数，证明下列不等式成立： （1）＋ ≥； （2） 一正 二定 三相等 下结论 典型例题 作者编号：32100 例1：设为正数，证明下列不等式成立： （1）＋ ≥； （2） 证明：（2）因为 为正数，所以 ， 也为正数. 由基本不等式，得 所以 ， 当且仅当 时，即时，取得等号. 因此，原不等式成立. 作者编号：32100 例2：设 ，求的最小值. 解：因为，所以 . 由基本不等式，得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立. 因此，当 时，的最小值为. 作者编号：32100 2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形，配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 方法归纳 作者编号：32100 回顾本节课所学，回答下列问题： 1.基本不等式和基本不等式的变形. 2.利用基本不等式求最值的步骤. 课堂小结 作者编号：32100 1.下列不等式中正确的是( ) D 随堂练习 作者编号：32100 2.已知x<0，则x＋ －2有( ) A.最大值0 B.最小值0 C.最大值－4 D.最小值－4 C 随堂练习 作者编号：32100 ≤ 方法1 (比较法) 因为≥0，所以≥0，即≤. 当且仅当，即时，等号成立. 方法2 (分析法) 要证：≤ 只要证：≤ 只要证：0≤ 只要证 ：0≤ 因为最后一个不等式成立，所以≤成立，当且仅当时，等号成立. ≤ 方法3 (综合法)对于正数，有 ≥0 ≥0 ≥ ≥ 当且仅当时，等号成立. ≤ A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.x2＋≥2 $