5.2.1 代入消元法-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的代入消元法，通过篮球联赛胜负场数、红山公园门票等实际问题导入，先复习一元一次方程解法，再引出二元一次方程组，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解消元思想的转化过程。 其亮点在于以实际问题驱动，培养学生用数学眼光观察现实世界，如从篮球比赛得分抽象出方程组。通过对比一元一次方程与方程组解法，引导学生探究代入消元步骤，发展运算能力和推理意识，体现数学思维。例题涵盖直接代入、需变形代入等类型，结合中考题和变式训练，强化模型意识，学生能掌握方法，教师可直接用于教学提升效率。

5.2.1代入消元法 第五章 二元一次方程组 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 5.2.1 代入消元法 教案 一、教学目标 知识与技能目标 学生能够透彻理解代入消元法的基本思想，熟练掌握运用代入消元法解二元一次方程组的具体步骤和方法，准确求出二元一次方程组的解。 学会根据方程组的特点，灵活选择合适的方程进行变形，将二元一次方程组转化为一元一次方程，提升解方程的运算能力。 过程与方法目标 通过经历将二元一次方程组转化为一元一次方程的探究过程，培养学生的转化思想和逻辑推理能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。 在运用代入消元法解题的过程中，体会数学中的化归思想，增强学生的知识迁移能力和数学思维能力。 情感态度与价值观目标 让学生感受代入消元法在解方程组中的简洁性和有效性，体会数学方法的巧妙，激发学生学习数学的兴趣和探索欲望。 在解决问题的过程中，培养学生严谨认真的学习态度和勇于克服困难的精神，增强学生学习数学的自信心和成就感。 二、教学重难点 教学重点 深入理解代入消元法的基本思想和解题步骤。 熟练运用代入消元法解二元一次方程组。 教学难点 理解代入消元法将 “二元” 转化为 “一元” 的转化过程和原理。 针对不同形式的二元一次方程组，合理选择消元的方法和变形的方式。 三、教学方法 讲授法、探究法、讨论法、练习法 四、教学过程 （一）复习导入（5 分钟） 回顾二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，提问学生：“什么样的方程是二元一次方程？如何判断一组数值是否为二元一次方程组的解？” 展示二元一次方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}\)，引导学生思考：“我们已经认识了二元一次方程组，那如何求解这个方程组呢？之前学习一元一次方程时积累了很多经验，能不能把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解呢？” 由此引出本节课的课题 —— 代入消元法。 （二）探究新知（20 分钟） 代入消元法的思想和步骤讲解（10 分钟） 以方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}\)为例，引导学生观察方程\(x + y = 5\)，可以将其变形为\(y = 5 - x\)。 提问学生：“既然\(y\)和\(5 - x\)是相等的，那么在方程\(2x - y = 1\)中，我们可以用什么来代替\(y\)呢？” 引导学生发现可以把\(y = 5 - x\)代入方程\(2x - y = 1\)中，得到\(2x - (5 - x) = 1\)，这样就把含有两个未知数的方程组转化成了只含有一个未知数\(x\)的一元一次方程。 讲解求解过程： 解一元一次方程\(2x - (5 - x) = 1\)，去括号得\(2x - 5 + x = 1\)，移项合并同类项得\(3x = 6\)，解得\(x = 2\)。 把\(x = 2\)代入\(y = 5 - x\)，求出\(y = 5 - 2 = 3\)。 所以原方程组的解为\(\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}\)。 总结代入消元法的步骤： 变形：从方程组中选取一个系数较简单的方程，将其变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式。 代入：把变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 回代：把求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。 写解：用大括号将两个未知数的值联立起来，写成方程组的解的形式。 代入消元法的应用练习与巩固（10 分钟） 给出方程组\(\begin{cases}y = 2x - 3\\3x + 2y = 8\end{cases}\)，让学生尝试运用代入消元法求解，教师巡视指导，及时发现学生在解题过程中出现的问题，如代入错误、计算错误等。 选取学生的解题过程进行展示和讲解，强调在代入时要注意符号的变化，以及计算的准确性。 再给出方程组\(\begin{cases}3x - y = 7\\x + 3y = -1\end{cases}\)，引导学生先将方程\(3x - y = 7\)变形为\(y = 3x - 7\)，然后代入方程\(x + 3y = -1\)进行求解，进一步巩固代入消元法的步骤和方法。 组织学生进行小组讨论：“在运用代入消元法时，如何选择合适的方程进行变形？” 引导学生总结出一般原则：选择系数为\(1\)或\(-1\)的未知数所在的方程进行变形，这样可以使计算更简便；如果没有系数为\(1\)或\(-1\)的未知数，则选择系数较简单的方程进行变形。 （三）巩固练习（15 分钟） 基础练习： 用代入消元法解下列方程组： \(\begin{cases}x = 1 - y\\2x + y = -4\end{cases}\)； \(\begin{cases}2x - y = 3\\3x + 4y = 10\end{cases}\)。 提高练习： 已知方程组\(\begin{cases}ax + by = 7\\bx + ay = 8\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\)，求\(a + b\)的值。 若\(\vert x - 2y + 1\vert + (2x + y - 8)^2 = 0\)，求\(x\)、\(y\)的值。（提示：利用绝对值和平方数的非负性，得到关于\(x\)、\(y\)的方程组，再用代入消元法求解） 拓展练习： 甲、乙两人同求方程\(ax - by = 7\)的整数解，甲正确地求出一组解为\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)，乙把\(ax - by = 7\)看成\(ax - by = 1\)，求得一组解为\(\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}\)，试求\(a\)、\(b\)的值。 （四）课堂小结（5 分钟） 请学生回顾本节课所学内容，说一说代入消元法的基本思想、解题步骤以及在应用过程中的注意事项。 教师进行补充和完善，强调代入消元法的核心是将二元一次方程组转化为一元一次方程，关键在于合理选择方程进行变形和准确代入计算。再次突出转化思想在数学学习中的重要性，帮助学生构建完整的知识体系。 （五）布置作业（课后完成） 必做题：完成课本上相关练习题，巩固代入消元法解二元一次方程组的方法。 选做题：解方程组\(\begin{cases}\frac{x + 1}{3} = 2y\\2(x + 1) - y = 11\end{cases}\)（提示：可先对第一个方程进行变形，再用代入消元法求解）。 实践题：尝试用代入消元法解决生活中的一个实际问题，如根据两种商品的总价和单价关系列出方程组并求解，下节课进行分享。 五、教学反思 在教学过程中，关注学生对代入消元法的理解和掌握程度，分析学生在变形、代入、计算等环节出现的错误和困难。思考教学方法是否有效引导学生掌握代入消元法的步骤和原理，教学活动的设计是否符合学生的认知水平。针对学生反馈，及时调整教学策略，加强对易错点和难点的讲解和练习，提高学生运用代入消元法解二元一次方程组的能力。 这份教案围绕代入消元法的教学，注重知识讲解与实践结合。若你对教学环节时长、练习题难度等方面有新想法，欢迎随时和我说，我会进一步优化。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过自主探究和合作学习，学生会应用代入消元法解二元一次方程组，通过解二元一次方程组，培养学生的运算能力． 2．通过教师讲评，学生理解“消元”思想，体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 旧识回顾 解一元一次方程的步骤是什么？ 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 视频导入 新知导入 一级标题：黑体， 5 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ (1)如果设胜的场数是x ，则负的场数是10-x, 可得一元一次方程 ； (2)如果设胜的场数是x ,负的场数是y, 可得二元一次方程组 那么怎样解这个二元一次方程组呢？ 导入新知 6 怎么求x、y的值呢？ 昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元. 每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢? 还记得下面这一问题吗? 设他们中有x个成人，y个儿童. 探究新知 知识点 代入消元法解二元一次方程组 回顾思考 7 5x+3(8-x)=34 x+y=8， 5x+3y=34 解：设去了x个成人，则去了(8-x)个儿童，根据题意，得： 解得：x=5. 将x=5代入 8-x=8-5=3. 答：去了5个成人，3个儿童. 用一元一次方程求解 解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得： 用二元一次方程组求解 观察:二元一次方程组和一元一次方程有何联系？这对你解二元一次方程组有何启示？ y=8-x 探究新知 8 用二元一次方程组求解 由①得：y = 8－x. ③ 将③代入②得： 5x+3(8－x)=34. 解得：x = 5. 把x = 5代入③得：y = 3. x+y=8① 5x+3y=34② 探究新知 所以原方程组的解为： x+y=8 5x+3y=34 5x+3(8-x)=34 第一个方程x+y=8 说明y=8-x 将第二个方程5x+3y=34的y换成8-x 解得x=5 代入y=8-x 得y=3 y= 3 x=5 思考 从 到 达到了什么目的?怎样达到的? x+y=8 5x+3y=34 5x+3(8-x)=34 探究新知 把二元一次方程转化为一元一次方程.通过减少未知数个数. 一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g？ 探究新知 问题探究 11 + ＝200 x y ＝ + 10 x y +10 + ＝200 x x 探究新知 x + y = 200 y = x + 10 (x+10) x +( x +10) = 200 ① ② x = 95 y = 105 故方程组 的解是 y = x + 10 x + y = 200 x = 95， y =105. 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想. 转化 探究新知 求方程组解的过程叫做解方程组. 解二元一次方程组的基本思路“消元” 二元一次方程组 一元一次方程 消元 转化 用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法. 代入法是解二元一次方程组常用的方法之一. 探究新知 14 将y=1代入② ，得x=4. 经检验， x=4，y=1适合原方程组 所以原方程组的解是 x=4， y=1. 解：将②代入①，得 3(y+3)+2y=14， 3y +9+2y =14， 5y=5， y=1. 解方程组 3x+2y=14 ① x=y+3 ② 探究新知 检验可以口算或在草稿纸上验算，以后可以不必写出. 素养考点 1 代入消元法解能直接代入的二元一次方程组 例1 用代入法解下列方程组： 解：把①代入②，得 3x+2（ ）=_ 解这个方程，得x＝ . 把x＝ 代入①，得y= __， 所以原方程组的解是 . 2x-3 8 2 2 2 1 1 巩固练习 ① ② 变式训练 解方程组： 代入求解 再代求解 写解 （检 验） 变形 还能直接代入吗？ 探究新知 素养考点 2 代入消元法解需要变形的二元一次方程组 例2 2x+3y=16 ① x+4y=13 ② 解：由② ，得 x=13 - 4y ③ 将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16 26 –8y +3y =16, -5y= -10, y=2. 将y=2代入③ ，得x=5. 所以原方程组的解是 x=5 y=2 2 -1 巩固练习 2x-5 2 2x-5 -1 解：由①，得y= … ③ 把③代入②，得3x+4（ ）= 解这个方程，得x＝ 把x＝ 代入③，得y= 所以原方程组的解是 2 2 用代入法解下列方程组： 变式训练 ① ② 例3 解方程组： ③ ① 由 得： 解得：x=20000 把x=20000代入 得：y=50000 ③ 解： ① ② î í ì = + = 22500000 250 500 2 5 y x y x 探究新知 把 代入 得： ③ ② 所以 探究新知 方法点拨 用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形. 巩固练习 解方程组： 把 代入 得：2（y-2-1)=y+1 ② ① 解得：x=5 把x=5代入①得：y=7 解： 变式训练 ① ② 所以原方程组的解是： 探究新知 归纳总结 用代入法解二元一次方程组的步骤： （1）变形：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来. （2）代入：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程. （3）解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. （4）回代：回代求出另一个未知数的值. （5）写出解：把方程组的解表示出来. （6）检验：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立. 解： ， 由①得，x＝y+1 ③ ， 把③代入②得，y+1+3y＝9，解得y＝2， 把y=2代入x=y+1得x=3. 故原方程组的解为 ． ① ② 解方程组： 连接中考 1. 用代入消元法解方程组 时，消去 ，得到关 于 的方程是( ) A A. B. C. D. 返回 24 2. 已知，满足方程组则， 恒有关系式是 ( ) A. B. C. D. C 返回 3. 剪纸艺术是最古老 的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体 现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是 一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐 7 标系中，若点的坐标为，其关于轴对称的点 的 坐标为，则 ___. 返回 26 4. 下面是小颖同学解方程组 的过程： 解：由①，得 ，③第一步 把③代入①，得 ，第二步 即 ，第三步 所以此方程组无解.第四步 其中，开始出现错误的是第____步. 二 返回 27 5. 下面是小明同学解方程组 的过程的框图表示，请你帮他补充完整： 其中，①为______，②为_______，③为_______. 代入 消去 解得 返回 28 6. 教材P117随堂练习 用代入消元法解下列方程组： （1） 【解】由①得 ,③ 将③代入②，得，解得 . 把代入①，得，解得 . 所以原方程组的解是 29 （2） 30 整理，得 由①得 ，③ 把③代入②，得，解得 . 把代入③，得.所以原方程组的解是 返回 7. ，那么与 的值分别 为( ) D A. B. C. D. 【点拨】因为 ，所以 解得 返回 32 8. 定义一种新运算“ ”，规定 ，其中，为常数，且 ， ，则 ( ) B A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【点拨】因为，且， ， 所以解得所以 .所以 . 返回 33 9. 符号 ，●各代表一个数字，且满足以下两个等 式： ， ，则满足等式 的 的值为( ) D A. 50.4 B. 40.4 C. 30.4 D. 20.4 34 解二元一次方程组 基本思路“消元” 代入法解二元一次方程组的一般步骤 课堂小结 变形 代入 解 回代 写出解 检验 谢谢观看！ Multimedia Cloud Transcode (cloud.baidu.com) $