4.2.1 认识一次函数-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦一次函数与正比例函数的概念、判断及应用，通过钟表时间、弹簧长度、汽车耗油量等生活情境导入，引导学生从实际问题中抽象数量关系，经例题辨析与变式训练巩固，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以生活实例为载体，通过观察分析培养数学眼光，如从弹簧长度与物重关系抽象函数式。结合例题辨析和劳务报酬计算等应用，发展推理意识与模型意识，帮助学生理解概念本质，也为教师提供梯度化资源，提升教学效率。

4.2.1 认识一次函数 第四章 一次函数 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 认识一次函数 教案 一、教学目标 知识与技能目标 学生能够精准理解一次函数的概念，准确区分一次函数与正比例函数，清晰掌握一次函数的表达式\(y = kx + b\)（\(k\)，\(b\)为常数，\(kâ� 0\)）及其构成要素。 熟练掌握根据实际问题中的数量关系建立一次函数模型，能通过给定的条件求出一次函数的表达式，并且能够运用一次函数解决简单的实际问题。 过程与方法目标 通过分析大量实际问题中的变量关系，经历从具体情境中抽象出一次函数概念的过程，培养学生的抽象概括能力和数学建模能力。 在探究一次函数性质的过程中，运用观察、比较、归纳等方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生的逻辑思维能力和知识迁移能力。 情感态度与价值观目标 让学生深刻感受一次函数在现实生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和热情。 在小组合作与交流中，培养学生的团队合作精神和勇于探索创新的精神，增强学生学习数学的自信心和成就感。 二、教学重难点 教学重点 一次函数的概念及其表达式的理解与运用。 根据实际问题建立一次函数模型，求出一次函数的表达式。 教学难点 理解一次函数概念中\(k\)和\(b\)的实际意义以及它们对函数图象和性质的影响。 从实际问题中准确分析变量之间的关系，建立合适的一次函数模型并解决问题。 三、教学方法 讲授法、探究法、讨论法、情境教学法、直观演示法 四、教学过程 （一）情境导入（5 分钟） 展示生活中的几个情境： 情境一：一辆汽车以\(60\)千米 / 小时的速度匀速行驶，行驶的路程\(s\)（千米）与行驶时间\(t\)（小时）之间的关系。 情境二：某电信公司推出一种手机话费套餐，月租费\(20\)元，每分钟通话费用\(0.1\)元，每月话费\(y\)（元）与通话时间\(x\)（分钟）的关系。 提问学生：“在这些情境中，变量之间存在怎样的关系？能否用数学式子表示出来？” 引导学生列出式子\(s = 60t\)，\(y = 0.1x + 20\)，然后提出问题：“这些式子有什么共同特点？它们与我们之前学过的函数有什么联系和区别？” 从而引出本节课的课题 —— 认识一次函数。 （二）探究新知（20 分钟） 一次函数的概念（10 分钟） 给出更多类似的函数表达式，如\(y = 2x + 3\)，\(y = -3x - 1\)，\(y = \frac{1}{2}x + 5\)等，引导学生观察这些式子的共同特征：式子都是用自变量\(x\)的一次整式表示因变量\(y\)。 组织学生进行小组讨论，分析这些式子中自变量\(x\)的次数、系数以及常数项的特点。 小组代表发言后，教师进行总结归纳，给出一次函数的定义：形如\(y = kx + b\)（\(k\)，\(b\)为常数，\(kâ� 0\)）的函数叫做一次函数。当\(b = 0\)时，\(y = kx\)（\(k\)为常数，\(kâ� 0\)），此时\(y\)叫做\(x\)的正比例函数，强调正比例函数是特殊的一次函数。 通过举例，如判断\(y = 3x\)，\(y = x^2 + 1\)，\(y = \frac{1}{x} + 2\)，\(y = 4x - 5\)哪些是一次函数，哪些是正比例函数，加深学生对一次函数和正比例函数概念的理解。 根据实际问题建立一次函数模型（10 分钟） 以 “租车费用问题” 为例：某租车公司的收费标准是每天固定收取\(100\)元的租车费，另外每行驶\(1\)千米加收\(2\)元。设行驶的路程为\(x\)千米，租车总费用为\(y\)元，引导学生分析变量之间的关系，列出函数表达式\(y = 2x + 100\)，并解释式子中\(k = 2\)，\(b = 100\)的实际意义，即\(k = 2\)表示每行驶\(1\)千米增加的费用，\(b = 100\)表示固定的租车费用。 再给出其他实际问题，如 “销售利润问题”：某商店销售一种商品，每件商品的进价为\(10\)元，售价为\(15\)元，设销售量为\(x\)件，销售利润为\(y\)元，让学生独立思考，建立一次函数模型\(y = (15 - 10)x = 5x\)，并分析函数中\(k\)和\(b\)的值及意义（这里\(b = 0\)，\(k = 5\)表示每件商品的利润） 。 总结建立一次函数模型的一般步骤：①分析实际问题中的变量关系，确定自变量和因变量；②找出变量之间的等量关系；③根据等量关系列出函数表达式；④确定自变量的取值范围。 （三）巩固练习（15 分钟） 基础练习： 判断下列函数哪些是一次函数，哪些是正比例函数： \(y = -8x\)； \(y = \frac{5}{x}\)； \(y = 6x^2 + 3\)； \(y = 9 - x\)。 已知一个一次函数的表达式为\(y = 3x - 2\)，当\(x = 4\)时，求函数值\(y\)；当\(y = 7\)时，求自变量\(x\)的值。 提高练习： 某商场文具部的某种毛笔每支售价\(25\)元，书法练习本每本售价\(5\)元。该商场为促销制定了两种优惠办法：甲种办法是购买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙种办法是按购买金额打九折付款。某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔\(10\)支，书法练习本\(x\)（\(xâ�¥10\)）本。分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额\(y_1\)（元）、\(y_2\)（元）与\(x\)（本）之间的函数关系式。 已知一次函数\(y = kx + b\)的图象经过点\((2, 5)\)和\(( - 1, - 1)\)，求该一次函数的表达式。 拓展练习： 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的。该市自来水收费价格见价目表。 | 每月用水量 | 单价 | |---|---| | 不超出\(6\)立方米的部分 | \(2\)元 / 立方米 | | 超出\(6\)立方米不超出\(10\)立方米的部分 | \(4\)元 / 立方米 | | 超出\(10\)立方米的部分 | \(8\)元 / 立方米 | 若某户居民\(1\)月份用水\(x\)立方米（\(x > 10\)），请写出该用户应交水费\(y\)（元）与用水量\(x\)（立方米）之间的函数关系式，并计算当\(x = 15\)时，该用户应交的水费。 （四）课堂小结（5 分钟） 请学生回顾本节课所学内容，说一说一次函数的概念、一次函数与正比例函数的关系，以及如何根据实际问题建立一次函数模型。 教师进行补充和完善，强调一次函数表达式中\(k\)和\(b\)的重要性，以及建立函数模型时分析变量关系的关键步骤，帮助学生构建完整的知识体系。 （五）布置作业（课后完成） 必做题：完成课本上相关练习题，巩固一次函数的概念和建立函数模型的方法。 选做题：查阅资料，了解一次函数在其他领域（如工程、经济预测等）的应用案例，并尝试分析其中的一次函数关系，写一篇简短的报告。 实践题：调查家庭每月的用电量与电费之间的关系，建立一次函数模型，并根据模型计算不同用电量下的电费，与实际电费进行对比分析。 此教案围绕一次函数核心知识展开，注重理论与实践结合。若你对教学环节设置、例题难度等有调整需求，欢迎随时告诉我进一步优化。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过阅读课本，理解一次函数和正比例函数的概念以及它们的联系；能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，培养学生的归纳总结能力． 2．通过对问题的研究，体会建立数学模型的思想；经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力． 3．通过一次函数和正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数学是由于人们的需要而产生的，与实际生活密切相关． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 情境导入 生活中，我们经常见到各种各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min；旋转两圈，表示时间过了2min,而分针每旋转一圈，表示时间过去了一小时。那么，秒针走过的圈数或分针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？ 新知导入 一级标题：黑体， 4 x/kg 1 2 3 4 5 … y/cm … （1）计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表： 3.5 4 4.5 5 5.5 复习引入 （2）你能写出y与x之间的关系式吗？ 知识点 1 一次函数与正比例函数的概念 探究新知 某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm. 问题1 解：y与x之间的关系式为：y=3+0.5x. 分析： 它们之间的数量关系是: 弹簧长度=原长+增加的长度 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L. （1）完成下表： 0 6 12 18 24 36 （2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ （3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ y=0.12x z = 60-0.12x 探究新知 问题2 研讨以下两个函数关系式: (1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60. 它们的结构有什么特点？ 解析:1．都是含有两个变量x，y的等式. 2．x和y的指数都是一次. 3．自变量x的系数都不为0. 探究新知 若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b (k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数. 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 函数是一次函数 关系式为：y=kx+b (k,b为常数，k≠0） 函数是正比例函数 关系式为：y=kx (k为常数，k≠0） 定义： 探究新知 思考 一次函数的结构特征有哪些？ （1）k≠0 . （2）x 的次数是1. （3）常数项b可以为一切实数. 一次函数 正比例函数 探究新知 答：一次函数的结构特征： 例1 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y=-x-4; (2)y＝5x2-6； (3)y=2πx; (6)y=8x2+x(1-8x); 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数； (7)不是一次函数，也不是正比例函数. （7）y=kx+b. 探究新知 素养考点 1 一次函数与正比例函数的判断 探究新知 方法点拨 1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1） ； （2） ； （3） ； （4） 答：（1）是一次函数，又是正比例函数； （4）是一次函数. 巩固练习 变式训练 例2 已知函数y=(m-2)x+4-m2 （1）当m为何值时，这个函数是一次函数? 解：（1）由题意可得m-2≠0， 解得m≠2. 即m≠2时，这个函数是一次函数. 探究新知 素养考点 2 利用一次函数的概念求字母的值 注意：利用定义求一次函数 解析式时，必须保证： （1）k ≠ 0； （2）自变量x的指数是“1” （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数? （2）由题意可得m-2≠0，4-m2=0， 解得m=-2. 即m=-2时，这个函数是正比例函数. 已知函数y=2x|m|+(m+1). （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是正比例函数，求m的值. 解：（1）由题意得： 因此 m=±1. （2）由题意得：m+1=0 , 解得m= -1. 巩固练习 变式训练 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系; 解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的一次函数,也是x的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得y=πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数. （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系. 探究新知 知识点 2 一次函数与正比例函数的应用 例1 解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水， 因而y=15+5x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. （3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3. 探究新知 某种大米的单价是2.2元/kg，当购买x kg大米时，花费为y元，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？ 探究新知 解： y=2.2x，y是x的一次函数,是正比例函数. 巩固练习 自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款=（每次收入-800）×20%……如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20%=240（元）. （1）当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入x （元）之间的关系式； 解：当每次收入超过800元但不超过4 000元时， y=(x-800)×20%， 即y=0.2x-160; 探究新知 例2 （2）某人某次取得劳务报酬3 500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？ 解：当x=3500时，y=0.2×3500-160=540（元）； 探究新知 （3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？ 解： 因为(4 000-800)×20%=640（元），600<640，所以此人这次取得的劳务报酬不超过4 000元. 设此人这次取得的劳务报酬是x元，则 600=0.2x-160， 所以此人这次取得的劳务报酬是3800元. 解得x=3800. 1. 变量， 的一些对应值如下表，根据表 格中的数据规律推测，当时， 的值是( ) … 0 1 2 3 … … 6 13 20 27 … A A. B. C. 41 D. 75 返回 20 2.观察下图,回答问题: （1）设图形的周长为,梯形的个数为,试写出与 的函数关 系式___________; （2）当 时,图形的周长是____. 35 返回 21 3. 节约用水是我们 的美德，水龙头关闭不严会造成滴水. 容器内盛水量（单位： ）与滴水时 间（单位： ）的函数关系可以用显 示水量的容器做如图①的试验，并根据试验数据绘制出如图 ②的函数图象，结合图象解答下列问题. 22 （1）容器内原有水多少升？ 【解】根据题图可知，当时， ，即容器内原有 水 . 23 （2）上午有4个小时水龙头关闭不严，请你计算容器内会显 示水量多少升？ ， ， ，故容器内会显示水量 . 返回 24 4. 弹簧挂重物后会伸长，弹簧长度最长为（单位： ） 与所挂物体质量（单位： ）的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 … 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是( ) D A. 与都是变量，是自变量， 是因变量 B. 所挂物体为时，弹簧长度为 C. 物体每增加，弹簧长度就增加 D. 挂物体时，弹簧长度一定比原长增加 返回 25 5.已知用于爆破工程的炸药包的导火线长 ，正常情况下，导火线每秒燃烧 . （1）导火线燃烧时剩余的长度（单位：）与燃烧时间 （单位： ）之间的函数关系式是____________; （2）点燃导火线____后爆炸，自变量 的取值范围是______ _____； 25 26 （3）填表（注意首尾两点的选取）： 0 5 10 15 20 25 _____ ____ ____ ____ ____ ___ 100 80 60 40 20 0 27 （4）根据上表中的对应值在如图所示的坐标系中画出这个 函数的图象； 根据表格中的对应值画出函数图象如图. 28 （5）由图象可知：点燃导火线时，导火线还剩____ . 50 返回 29 一次函数与正比例函数 一次函数形式：y=kx+b（k≠0） 特别地，当b=0时，y=kx(k≠0)是正比例函数 一次函数的简单应用 课堂小结 谢谢观看！ $