3.2.2 平面直角坐标系中点的坐标特征-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系中点的坐标特征，通过神舟九号GPS定位情境导入，结合旧识回顾坐标系定义与象限划分，以“笑脸”图形探究活动衔接，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生掌握象限内、坐标轴上及特殊直线上点的坐标规律。 其亮点在于以情境与探究培养数学眼光和思维，GPS情境激发观察现实世界的兴趣，描点连线“房子”图形发展几何直观，表格归纳坐标特征体现数学语言简洁性。典例与中考题结合提升推理能力，助力学生数形结合意识养成，也为教师提供分层教学资源。

3.2.2平面直角坐标系中 点的坐标特征 第三章 位置与坐标 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 3.2.2 平面直角坐标系中点的坐标特征 教案 一、教学目标 知识与技能目标 学生能够准确理解并熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，即 x 轴上的点纵坐标为 0，y 轴上的点横坐标为 0。 清晰掌握各象限内点的坐标符号特征，能根据点的坐标判断其所在象限，也能根据象限确定点坐标的符号。 理解与坐标轴平行的直线上点的坐标特征，以及关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标变化规律，并能运用这些特征和规律解决相关问题。 过程与方法目标 通过观察、分析、归纳平面直角坐标系中不同位置点的坐标，经历探索点的坐标特征的过程，培养学生的观察能力、归纳总结能力和逻辑思维能力。 在探究点的坐标特征与图形性质关系的过程中，体会数形结合的数学思想，提高学生运用数学思想方法解决问题的能力。 情感态度与价值观目标 让学生感受数学知识的规律性和系统性，体会数学的简洁美和严谨性，激发学生学习数学的兴趣和热情。 通过小组合作探究活动，培养学生的团队合作精神和勇于探索创新的精神，增强学生学习数学的自信心。 二、教学重难点 教学重点 坐标轴上点的坐标特征、各象限内点的坐标符号特征。 关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标变化规律。 教学难点 理解并运用与坐标轴平行的直线上点的坐标特征解决问题。 灵活运用点的坐标特征和对称规律，综合解决坐标平面内的相关问题。 三、教学方法 讲授法、探究法、讨论法、练习法 四、教学过程 （一）复习导入（5 分钟） 回顾平面直角坐标系的相关概念，提问学生：“什么是平面直角坐标系？它由哪些要素组成？” 引导学生回答平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，包括横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）、原点以及四个象限。 随机在黑板上画出平面直角坐标系，并标出几个点，让学生说出这些点的坐标，回顾点的坐标的确定方法，为探究点的坐标特征做好铺垫。 提出问题：“这些点在坐标系中的位置不同，它们的坐标之间是否存在某种规律呢？” 引发学生的思考和探究欲望，从而引出本节课的课题 —— 平面直角坐标系中点的坐标特征。 （二）探究新知（20 分钟） 坐标轴上点的坐标特征（5 分钟） 在平面直角坐标系中，分别标出点 A（3，0）、B（-2，0）、C（0，4）、D（0，-3），让学生观察这些点的位置和坐标特点。 引导学生发现：点 A、B 在 x 轴上，它们的纵坐标都是 0；点 C、D 在 y 轴上，它们的横坐标都是 0。 总结得出坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，纵坐标为 0，可表示为（x，0）；y 轴上的点，横坐标为 0，可表示为（0，y）。 进行简单练习，如判断点（5，0）、（0，-7）分别在哪个坐标轴上，加深学生对该特征的理解。 各象限内点的坐标符号特征（7 分钟） 在平面直角坐标系中，分别在第一象限标出点 E（2，3）、第二象限标出点 F（-3，4）、第三象限标出点 G（-2，-3）、第四象限标出点 H（3，-2）。 组织学生分组讨论：这些点在不同象限，它们的横、纵坐标的符号有什么特点？ 每组选派代表发言，教师进行总结归纳：第一象限内的点，横坐标为正，纵坐标为正，符号特征是（+，+）；第二象限内的点，横坐标为负，纵坐标为正，符号特征是（-，+）；第三象限内的点，横坐标为负，纵坐标为负，符号特征是（-，-）；第四象限内的点，横坐标为正，纵坐标为负，符号特征是（+，-）。 给出一些点的坐标，如（-4，5）、（6，-1）、（2，2）、（-3，-3），让学生判断这些点分别在哪个象限，强化学生对各象限内点坐标符号特征的掌握。 与坐标轴平行的直线上点的坐标特征（4 分钟） 在平面直角坐标系中，画出经过点 M（2，1）和 N（5，1）的直线，以及经过点 P（-3，2）和 Q（-3，-4）的直线。 引导学生观察这两条直线上点的坐标特点，发现：经过 M、N 的直线与 x 轴平行，直线上所有点的纵坐标都相等；经过 P、Q 的直线与 y 轴平行，直线上所有点的横坐标都相等。 总结规律：与 x 轴平行的直线上的点，纵坐标相同；与 y 轴平行的直线上的点，横坐标相同。 举例应用，如已知直线 l 与 x 轴平行，且直线 l 上一点 A 的坐标为（-2，3），求直线 l 上另一点 B 的坐标（B 点横坐标为 5），让学生运用规律求解。 关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标变化规律（4 分钟） 在平面直角坐标系中标出点 A（2，3），分别作出点 A 关于 x 轴、y 轴、原点的对称点 A₁、A₂、A₃，并写出它们的坐标 A₁（2，-3）、A₂（-2，3）、A₃（-2，-3）。 引导学生观察点 A 与它的对称点坐标之间的关系，小组讨论后得出：关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数。 通过练习巩固，如求点（-4，5）关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标，加深学生对对称点坐标变化规律的理解。 （三）巩固练习（15 分钟） 基础练习： 已知点 P（a，b），若 a = 0，则点 P 在______轴上；若 b = 0，则点 P 在______轴上。 点 A（-3，-4）在第______象限，点 B（5，-2）在第______象限。 点 M（3，-2）关于 x 轴对称的点的坐标是______，关于 y 轴对称的点的坐标是______，关于原点对称的点的坐标是______。 提高练习： 若点 P（m，m - 1）在 x 轴上，则 m = ______；若点 Q（n + 3，2n - 1）在 y 轴上，则 n = ______。 已知点 A（2，y）与点 B（x，-3）关于 y 轴对称，则 x = ______，y = ______。 拓展练习： 在平面直角坐标系中，已知点 A（1，2），B（3，4），C（-1，-2），求以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标。（提示：分三种情况讨论，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合点的坐标特征求解） （四）课堂小结（5 分钟） 请学生回顾本节课所学内容，说一说坐标轴上点的坐标特征、各象限内点的坐标符号特征、与坐标轴平行的直线上点的坐标特征以及关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标变化规律。 教师进行补充和完善，强调这些坐标特征和规律在解决坐标平面内相关问题中的重要作用，帮助学生构建完整的知识体系。同时，再次突出数形结合思想在本节课学习中的应用。 （五）布置作业（课后完成） 必做题：完成课本上相关练习题，巩固本节课所学的点的坐标特征和规律。 选做题：在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（-2，3），B（-4，-1），C（2，0），将△ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，得到△A'B'C'，求△A'B'C' 各顶点的坐标，并观察平移前后对应点坐标的变化规律。 实践题：观察学校操场或校园内的布局，建立平面直角坐标系，用坐标表示不同地点（如教学楼、操场大门、篮球场等）的位置，并找出关于 x 轴、y 轴、原点对称的位置，思考这些对称位置在实际场景中的意义。 这份教案全面覆盖平面直角坐标系中点的坐标特征相关知识。你若对教学环节的时长分配、练习题的难度及类型有调整需求，欢迎随时和我说。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识和合作交流意识． 2．通过在平面直角坐标系中分析、观察点的坐标与图形的对应关系，发现点的坐标特征，体会平面直角坐标系是用代数方法研究几何问题的有效性工具． 3．通过“平面直角坐标系”知识的形成过程，逐步掌握观察、比较、操作、类比、归纳等思维方法，发展学生的探究意识． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 旧识回顾 1．你还记得什么是平面直角坐标系吗？ 2．两条坐标轴把平面分成了几部分？不包括坐标轴 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系 4部分 情境导入 神舟九号、七号、六号和五号的发射和回收都那么成功 ，圆了几代中国人的梦想，让全中国人为之骄傲和自豪!但是你们知道我们的科学家是怎样迅速地找到返回舱着陆的 位置的吗？这全依赖于GPS——卫星全球定位 系统”.大家一定觉得很神奇吧！学习了今天 的内容，你就会明白其中的奥妙. 新知导入 一级标题：黑体， 5 如图是一个笑脸. （1）在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点. （2）在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点. （3）不描出点，分别判断A(1, 2)， B(-1, -3), C(2, -1), D(-3, 4) 所在的象限. 探究新知 知识点 1 平面直角坐标系内点的坐标特征 做一做 （1）象限内点的特征： 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 象限内 的点 点M在第一象限 M(正，正) 点M在第二象限 M(负，正) 点M在第三象限 M(负，负) 点M在第四象限 M(正，负) 探究新知 解: （2）特殊位置的点的特征： 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上：M(正，0) 在x轴负半轴上：M(负，0) 点M在y轴上 在y轴正半轴上：M(0，正) 在y轴负半轴上：M(0，负) 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 x＝y，即横坐标 与纵坐标相等 点M在第二、四象限角平分线上 x＝-y，即横、纵坐 标互为相反数 探究新知 （3）点A在第一象限， 点B在第三象限， 点C在第四象限， 点D在第二象限. 在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接.（1）D(-3,5), E(-7, 3), C(l,3), D(-3,5)； （2）F(-6,3), G(-6,0), A(0,0), B(0,3)； 观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题： （1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？ （2）线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的坐标有什 么特点？线段EC上其他点的坐标呢？ （3）点F和点G的横坐标有什么共同特点？线段FG与y轴有 怎样的位置关系？ 在平面直角坐标系作图找出点的坐标特征 探究新知 例1 素养考点 1 解：连接起来的图形像“房子”（如图). （1）线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐 标都等于0；线段AB上的点、线段CD与y轴 的交点，它们都在y轴上，它们的横坐标都 等于0. （2）线段EC平行于x轴，点E和点C的纵坐标相同.线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3. （3）点F和点G的横坐标相同，线段FG与y轴平行. 探究新知 小组展示 我提问 我回答 我补充 我质疑 提疑惑：你有什么疑惑？ 越展越优秀 1.位于x轴上的点的坐标的特征是: ; 位于y轴上的点的坐标的特征是: . 2.与x轴平行的直线上点的坐标的特征 是： ； 与y轴平行的直线上点的坐标的特征 是： . 归纳 概括 纵坐标等于 0 横坐标等于 0 纵坐标相同 横坐标相同 探究新知 11 x y (1)在平面直角坐标系中，描出下列各点：A(-5,0)，B(1,4)，C(3,3)，D(1,0)，E(3,-3)，F(1,-4). A B C D E F o 3 1 5 4 2 -2 -1 -3 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 巩固练习 动手操作，完成下列题目 变式训练 x y (2)依次连接A，B，C，D，E，F，A，你得到什么图形？ A B C D E F 3 1 5 4 2 -2 -1 -3 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 0 答案不唯一（例如图形类似于一架飞机，类似于一个箭头等） 解： 巩固练习 例3 已知在平面直角坐标系中，点P(m，m-2)在第一象限内，则m的取值范围是________． 解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于m的一元一次不等式组 解得m＞2. m＞2 求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围． 探究新知 素养考点 2 利用平面直角坐标系内点的坐标确定字母的值 1. 在平面直角坐标系中，点 一定在( ) A A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平面直角坐标系中，已知点在 轴上， 则点 所在的象限为( ) A A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知点在第四象限，坐标为，且点 到两 坐标轴的距离相等，则点 的坐标是__________. 返回 15 （第4题） 4. 数学家笛卡尔最早发明坐 标系，在《几何》一书中阐述了坐标几何 的思想，用代数方法研究几何图形.如图， 在平面直角坐标系中，正方形 的边长 为3，轴，点的坐标为 ，则 点 的坐标为________. 返回 16 （第5题） 5.如图，在平面直角坐标系中，以点 为圆心， 适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交 轴 正半轴于点，再分别以点， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点 ， 画射线，若，则 ___. 2 【点拨】由作图过程可知，为 的平分线，所以 ，所以易得，解得 . 返回 17 6.［2025平顶山期中］已知点 ，解答下列各题. （1）若点在轴上，求点 的坐标； 【解】因为在轴上，所以 ,所以 ，所以，所以点的坐标为 . 18 （2）若点的坐标为，直线轴，求点 的坐标； 因为，点的坐标为，直线 轴， 所以，所以，所以 ， 所以点的坐标为 . 19 （3）若点到轴、轴的距离相等，求点 的坐标. 因为到轴、 轴的距离相等，所以 ，所以或 ， 解得或 ， 当时，，，则 . 当时，，，则 . 综上所述，点的坐标为或 . 返回 20 7. 如果是任意实数，那么点 一定不在( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【点拨】因为，所以点 的横坐 标一定小于纵坐标.又因为在第一、二、三象限内总有点满足 横坐标小于纵坐标，但是在第四象限，所有点的横坐标一定 大于纵坐标，所以点 一定不在第四象限. 返回 21 8. 在平面直角坐标系中，已知点 ， ，在坐标轴上有一点，且点到点和到 点的距离相 等，则点 的坐标为( ) A A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 22 【点拨】若点在轴上，设,因为， ，所 以，.因为 ， 即，所以 ，所以 ，所以.若点在轴上，设，因为 ， 点，所以， . 因为，即 ，所以 ，所以 ，所以 .综上，点的坐标为或 ，故选A. 返回 23 9. 已知点， ， 在同一个坐标平面内，且所在的直线平行于 轴，所在的直线平行于轴，则 的算术平方根为____. 【点拨】由题意，得,，解得 , ,所以，所以的算术平方根为 . 返回 24 10.在平面直角坐标系中,点,,经过点 的直线 轴,若点为直线上的一个动点,则当线段 的长度最小 时,点 的坐标为_________. 【点拨】由垂线段最短，知当时，线段 的长度最小. 因为轴，所以当时，轴，所以点 的纵坐标 和点的纵坐标相同，即为.因为点和点都在直线 上， 所以点的横坐标和点的横坐标相同，即为，所以点 的 坐标为 . 返回 25 平面直角坐标系内点的坐标特征 各象限内点的坐标特征 特殊点的坐标特征 平行于x轴的点坐标特征 平行于y轴的点坐标特征 y轴、x轴上点的坐标特征 课堂小结 谢谢观看！ $