3.2.1 平面直角坐标系-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系的概念、点的坐标确定及性质，通过旅游景点位置描述、图书馆方位提示等生活情境导入，结合旧识回顾（平面内确定位置的方法及两个数据需求）搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以情境探究驱动学习，通过“做一做”“思考”等活动引导学生用数学眼光抽象现实问题，借助典例变式训练发展数学思维（推理能力、转化意识），表格归纳象限特征培养数学语言（模型意识）。结构化小结系统梳理知识，中考链接强化应用，助力学生发展空间观念与数形结合能力，教师可直接用于高效教学。

3.2.1平面直角坐标系 第三章 位置与坐标 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 2.1 平面直角坐标系 教案 一、教学目标 知识与技能目标 学生能够准确理解平面直角坐标系的相关概念，包括横轴、纵轴、原点、象限等。 熟练掌握在平面直角坐标系中确定点的坐标的方法，以及根据坐标在坐标系中找到对应点的位置。 学会根据实际问题建立平面直角坐标系，并能用坐标表示物体的位置。 过程与方法目标 通过观察、操作、探究等活动，经历平面直角坐标系的构建过程，培养学生的抽象思维能力和空间想象能力。 在运用平面直角坐标系解决实际问题的过程中，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强知识迁移能力。 情感态度与价值观目标 让学生感受平面直角坐标系在数学和生活中的广泛应用，体会数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。 在小组合作与交流中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。 二、教学重难点 教学重点 平面直角坐标系的概念及相关要素。 点的坐标的表示方法以及在平面直角坐标系中确定点的位置。 教学难点 理解平面直角坐标系中坐标的意义，特别是坐标中两个数的顺序和含义。 在实际问题中灵活建立平面直角坐标系，并准确用坐标表示物体位置。 三、教学方法 讲授法、演示法、小组合作法、探究法 四、教学过程 （一）情境导入（5 分钟） 展示地图，提问学生：“当我们想要在地图上找到某个地点时，常常会用到什么来描述它的位置？” 引导学生回答经纬度，接着追问：“经纬度是如何确定一个地点在地球上的位置的呢？” 引发学生思考。 展示象棋棋盘，提出问题：“在象棋对弈中，棋手是怎样准确描述棋子位置的？” 通过这些生活中常见的情境，引出本节课的主题 —— 平面直角坐标系，让学生初步感受确定位置的重要性和方法。 （二）探究新知（20 分钟） 平面直角坐标系的概念（8 分钟） 教师在黑板上画出两条互相垂直且有公共原点的数轴，水平的数轴称为 x 轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为 y 轴（纵轴），取向上为正方向，两轴交点 O 为原点，由此构建出平面直角坐标系。 详细讲解平面直角坐标系的相关概念，强调两条数轴的位置关系（互相垂直）、原点的作用（作为基准点）以及正方向的规定（便于确定位置的方向）。 介绍平面直角坐标系被 x 轴和 y 轴分成的四个部分，分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，说明坐标轴上的点不属于任何象限。 让学生观察教室环境，尝试想象在教室空间中构建平面直角坐标系，加深对概念的理解。 点的坐标（12 分钟） 在平面直角坐标系中任意标出一点 A，讲解如何确定点 A 的坐标。过点 A 作 x 轴的垂线，垂足在 x 轴上对应的数 a 叫做点 A 的横坐标；过点 A 作 y 轴的垂线，垂足在 y 轴上对应的数 b 叫做点 A 的纵坐标，有序数对（a，b）就叫做点 A 的坐标。强调坐标中两个数的顺序不能颠倒，横坐标在前，纵坐标在后。 给出多个不同位置的点，让学生在练习本上画出平面直角坐标系并确定这些点的坐标，然后同桌之间相互交流、检查，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。 反过来，给出一些坐标，如（3，2）、（-2，-1）等，让学生在平面直角坐标系中找出对应的点，进一步强化学生对坐标与点的对应关系的理解。 （三）巩固练习（15 分钟） 基础练习：在平面直角坐标系中，写出下列各点的坐标：点 B 在 x 轴正半轴上，距离原点 3 个单位长度；点 C 在 y 轴负半轴上，距离原点 2 个单位长度；点 D 在第二象限，到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 1。 提高练习：已知点 P 的坐标为（x，y），根据下列条件，确定点 P 的位置： xy＞0； x + y = 0； x = 0。 实际应用练习：以学校为原点建立平面直角坐标系，正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向，1 个单位长度表示 100 米。已知图书馆在学校正东 300 米，正北 200 米处，体育馆在学校正西 100 米，正南 400 米处，请在坐标系中标出图书馆和体育馆的位置，并写出它们的坐标。 （四）课堂小结（5 分钟） 请学生回顾本节课所学内容，说一说平面直角坐标系的概念、点的坐标的确定方法以及坐标与点的对应关系。 教师进行补充和完善，强调平面直角坐标系中各要素的重要性，以及在确定坐标和找对应点时需要注意的事项，帮助学生梳理知识体系。 （五）布置作业（课后完成） 必做题：完成课本上相关练习题，如在平面直角坐标系中描出给定坐标的点，并写出图中各点的坐标。 选做题：观察自己家所在的小区或街道，尝试建立平面直角坐标系，用坐标表示小区内主要建筑（如大门、花园、健身区等）或街道上重要场所（如超市、学校、公交站等）的位置，并绘制简单的示意图。 实践题：和同学一起玩 “坐标寻宝” 游戏，一人在操场或教室等空间内藏好 “宝物”，然后用坐标的形式给出线索，其他同学根据线索寻找 “宝物”。 这份教案通过多种教学活动帮助学生掌握平面直角坐标系知识。若你对教学环节、练习难度等方面有调整需求，欢迎随时和我说。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过在给定的平面直角坐标系中，根据坐标指出点的位置，由已知点的位置写出它对应的坐标，发展学生的空间观念和数形结合意识． 2．通过让学生经历画、描、连、看、找等探究过程，发展学生的数形结合能力．通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程，进一步培养学生的转化意识． 3．通过生动有趣的教学活动，发展学生的推理能力和丰富的情感、态度，提高学生学习数学的兴趣． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 旧识回顾 1．生活中，在平面内确定物体位置的方法都有哪些？ 2．在平面内，确定一个物体的位置一般需要几个数据？ 行列定位法、方位角及距离定位法、经纬定位法、区域定位法 两个 情境导入 同学们，你们喜欢旅游吗？ 假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？下面给出一张某市旅游景点的示意图（如图3-4,）在科技大学的小亮 如何向来访的朋友介绍该市的几个风景 点的位置呢？ 新知导入 一级标题：黑体， 5 问题 如何确定直线上点的位置？ 在直线上规定了原点、正方向、单位长度就构成了数轴. 数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫做这个点在数轴上的坐标． 例如点A在数轴上的坐标为-3，点B在数轴上的坐标为2.反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了. · 单位长度 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 原点 • • A B 探究新知 知识点 1 平面直角坐标系及相关概念 小红 小明 小强 问题 如何确定平面上点的位置？ 探究新知 如何确定平面上点的位置？ 0 -3 -2 -1 -4 1 2 4 3 小红 小强 小明 0 -2 -1 1 2 4 3 （-2,3） （0,0） （3,2） 探究新知 你能帮在科技大学的小亮给来访的朋友介绍该市几个风景点的位置吗？ ↑ 北 你认为用哪种方法能比较准确又简单的表示各种景点的位置呢？ ↑ 北 探究新知 做一做 小红的方法: (0，0)表示科技大学的位置， 钟 楼: ； : ； 　　　 : . 　　　 (3, 5) (5, 2) (3, 8) 影月湖 大成殿 1 2 0 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ↑ 北 (5，7)表示中心广 场的位置. 探究新知 (1) 你是怎样确定各个景点位置的？ （3，1） （－2，1） （－2，－1） （－1，－3） （－4，－4） 1.你是怎样确定各个旅游景点的位置的？ 2.“大成殿”在“中心广场”的西南各多少个小格？“碑林”在广场的东北各多少格？ 3.如果中心广场为（0,0）你能表示出其他景点的位置吗？ 探究新知 11 问题 小丽能根据小明的提示从左图中找出图书馆的位置吗？ 周末小明和小丽约好一起去图书馆学习.小明告诉小丽，图书馆在中山北路西边50米，人民西路北边30米的位置. 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 探究新知 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 4.如果小明只说在“中山北路西边50米”，或只说在“人民西路北边30米”，你能找到吗？ 1.小明是怎样描述图书馆的位置的？ 2.小明可以省去“西边”和“北边”这几个字吗？ 3.如果小明说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”，你能找到吗？ 探究新知 思考 x y o 30 20 10 20 10 -10 -20 -30 -40 -20 -50 -10 -70 -60 -50 -40 -30 -80 （-50, 北 西 30） 人民路 中山路 探究新知 若将中山路与人民路看成两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系. 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 O y 在平面内画两条互相垂直的数轴,构成平面直角坐标系. 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x 竖直的叫y轴或纵轴； y轴取向上为正方向 水平的叫x轴或横轴；x轴取向右为正方向 x轴与y轴的交点叫平面直角坐标系的原点. 探究新知 x O 下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ ） -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 y x x y （A） 3 2 1 -1 -2 -3 x y （B） O -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 （C） O -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 y （D） O D 巩固练习 3 2 1 -1 -2 -3 问题1 在平面直角坐标系中，能用有序数对来表示图中点A的位置吗？ 由点A分别向 x轴，y轴作垂线，垂足M在 x轴上的坐标是3，垂足N在 y轴上的坐标是4，有序数对（3，4）就叫做点A的坐标，其中3是横坐标，4是纵坐标． 注意：表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开． 知识点 2 确定平面直角坐标系内点的坐标 探究新知 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5 4 3 2 1 -1 -2 O y A （3，4） 问题2 如图，在平面直角坐标系中，点B，C，D的坐标分别是什么？ 答： B（-2，3）， C（4，-3）， D（-1，-4）． 探究新知 问题3 如图，在平面直角坐标系中，你能分别写出点A，B，C，D的坐标吗？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？原点的坐标是什么？ 答： A（4，0），B（-2，0）， C（0，5），D（0，-3）， ① x轴上的点的纵坐标为0，一般记为（x，0）； ② y轴上的点的横坐标为0，一般记为（0，y）； ③ 原点O的坐标是（0，0）． 探究新知 写出下图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标. -1 3 -1 O A B C E F D 1 2 3 4 -2 1 2 -2 -3 y x 答案: A（-2，0）,B（0，-3） C（3，-3）,D（4，0） E（3，3）,F（0，3） 探究新知 素养考点 1 确定平面直角坐标系内点的坐标 例 写出图中点A、B、C、D，的坐标. 答：A（4，3）， B（-2，3）， C（-4，-1）， D（2，-2）. 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y · B · A · D · C 巩固练习 变式训练 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域. 提示：坐标轴上的点不属于任何一个象限. 知识点 3 探究新知 平面直角坐标系内点的坐标性质 分别称为第一，二，三， 四象限. 观察坐标系,填写各象限内的点的坐标的特征： 点的位置 横坐标的符号 纵坐标 的符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + - - - + - A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C D E 讨论 不看平面直角坐标系,你能迅速说出A(4,5) ,B(-2,3), C(-4,-1),D(2.5,-2),E(0,-4)所在的象限吗？你的方法又是什么？ 探究新知 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 在x轴的正半轴上 在x轴的负半轴上 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴上 0 + + - - 0 0 0 讨论 不看平面直角坐标系,你能迅速说出A(4,0),B(0,3), C(-4,0),E(0,-4),O(0,0)所在的位置吗？你的方法又是什么？ A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C E 观察坐标系,填写坐标轴上的点的坐标的特征： 探究新知 思考 坐标平面内的点与有序数对(坐标)是什么关系? 类似数轴上的点与实数是一一对应的.我们可以得出： ①对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数对(x,y) (即点M的坐标）和它对应； ②反过来，对于任意一对有序实数对(x,y),在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x,y)的点）和它对应. 也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 探究新知 例 在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限. A(5，4)，B(-3，4)，C (-4 ，-1)，D(2，-4). 探究新知 素养考点 1 在平面直角坐标系内确定已知点 y 5 -5 -2 -4 -1 2 3 1 -6 6 4 -5 5 -3 -4 4 -2 3 -1 2 1 -6 6 x -3 A (5,4) O B (-3,4) C (-4,-1) D (2,-4) 解：如图，先在x 轴上找到表示5的点，再在y 轴上找出表示4 的点，过这两个点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂线的交点就是点A. 类似地，其他各点的位置如图所示.点A 在第一象限，点B 在第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限. 1. ［2025南充期末］如图，小手盖住的点的坐标可能为 ( ) D A. B. C. D. 2. 已知在平面直角坐标系中，点在 轴上，位于原点右侧， 距离原点2个单位长度，则点 的坐标是( ) D A. B. C. D. 返回 27 3. 若，为实数，且，则点到 轴的距离为( ) C A. B. 2 C. 5 D. 返回 28 4. 关于平面直角坐标系，给出以下说法： ①坐标平面内的点可以用有序数对来表示； ②坐标原点不属于任何象限； 轴与 轴互相平行; ④在平面直角坐标系中，水平的数轴称为 轴或横轴，铅直 的数轴称为 轴或纵轴. 其中正确的个数为( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 返回 29 5. 已知点，且点 的纵坐标 比横坐标大3，则点 的坐标为__________. 返回 30 6. 教材P59操作·思考 如 图，在所给的坐标系中描出下 列各点： ， ， ，， ， . 这些点有什么关系？你能再找 出一些类似的点吗？ 31 【解】如图，这些点的横、纵坐标相等， 能.类似的点有，，，， 等. 返回 32 （第7题） 7. 如图所示,小颖从家到学校要穿过一个居 民小区,若小区的道路均是正南或正东方向, 小颖走下面哪条线路不能到达学校?( ) D A. B. C. D. 返回 33 8. 已知点到轴的距离是它到 轴距离的2 倍，则 的值为( ) D A. 5 B. C. 或 D. 5或 返回 34 （第9题） 9. 如图，直角坐标系 中点，点，以点 为圆心， 为半径画弧交轴于点，则点 的坐 标为_______. 35 （第9题） 【点拨】因为点的坐标为，点 的坐标为，所以, ,所 以.因为以点 为圆 心，长为半径画弧，交 轴的负半轴 于点,所以 ,所以 ,所以点 的坐标为 . 返回 36 10. 如果点的坐标满足 ， 那么称点为“和谐点”.若某个“和谐点”到轴的距离为3，则 点的坐标为______________. 或 【点拨】由题意得.因为,所以 或 ,解得或.所以点的坐标为 或 . 返回 37 平面直角坐标系及点的坐标 定义：原点、坐标轴 点的坐标 定义与符号特征 点的坐标的确定 课堂小结 谢谢观看！ $