3.3 轴对称与坐标变化-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦图形轴对称与坐标变化关系，通过复习轴对称图形和坐标系中点的确定导入，以旧知为支架，引导学生探究关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标特征，构建前后知识脉络。 其亮点在于以探究活动为核心，通过表格对比坐标变化培养几何直观，例题推导对称点坐标发展推理意识，结合中考题和规律探究题强化应用意识。采用探究式学习与分层练习，小结清晰梳理知识，助力学生发展数形结合能力，也为教师提供系统教学支持。

3.3轴对称与坐标变化 第三章 位置与坐标 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 3.3 轴对称与坐标变化 教案 一、教学目标 知识与技能目标 学生能够准确理解在平面直角坐标系中，关于\(x\)轴、\(y\)轴对称的点的坐标变化规律，并能熟练运用规律求出已知点关于坐标轴的对称点坐标。 掌握在平面直角坐标系中，图形沿坐标轴进行轴对称变换后，其顶点坐标的变化规律，能够根据坐标变化绘制出轴对称变换后的图形。 过程与方法目标 通过观察、分析、归纳平面直角坐标系中对称点的坐标特征，培养学生的观察能力、归纳总结能力和逻辑思维能力，提升学生从特殊到一般的数学推理能力。 在探究图形轴对称变换与坐标变化关系的过程中，体会数形结合的数学思想，增强学生运用数学知识解决图形变换问题的能力，提高知识迁移和应用意识。 情感态度与价值观目标 让学生感受数学知识之间的内在联系和图形变换的美感，体会数学在研究图形性质中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣和探索欲望。 通过小组合作探究活动，培养学生的团队协作精神和勇于表达的能力，增强学生学习数学的自信心和成就感。 二、教学重难点 教学重点 掌握平面直角坐标系中关于\(x\)轴、\(y\)轴对称的点的坐标变化规律。 理解图形在平面直角坐标系中进行轴对称变换后坐标的变化规律，并能根据规律绘制轴对称图形。 教学难点 理解坐标变化规律的本质，能在复杂图形和情境中准确运用规律解决问题。 灵活运用轴对称与坐标变化的知识，将实际问题转化为数学问题并加以解决。 三、教学方法 讲授法、探究法、讨论法、演示法 四、教学过程 （一）情境导入（5 分钟） 展示生活中具有轴对称性质的图片，如蝴蝶、窗花、建筑等，引导学生观察并回顾轴对称图形的概念，提问：“这些美丽的轴对称图形有什么共同特点？” 在平面直角坐标系中画出点\(A(2,3)\)，然后提出问题：“如果以\(x\)轴为对称轴，点\(A\)对称后的点\(A'\)的位置在哪里？它的坐标又是什么呢？以\(y\)轴为对称轴时又会怎样？” 通过这样的问题，引发学生的好奇心和探究欲望，从而引出本节课的课题 —— 轴对称与坐标变化。 （二）探究新知（20 分钟） 探究关于\(x\)轴、\(y\)轴对称的点的坐标变化规律（10 分钟） 在平面直角坐标系中，分别画出点\(A(2,3)\)、\(B(-1,4)\)、\(C(3,-2)\)，然后作出它们关于\(x\)轴的对称点\(A'(2,-3)\)、\(B'(-1,-4)\)、\(C'(3,2)\)，让学生观察每组对称点的坐标变化情况，思考：“关于\(x\)轴对称的点，其横、纵坐标有什么变化规律？” 组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点和发现。教师巡视各小组，参与讨论并适时引导。 小组代表发言后，教师进行总结归纳：在平面直角坐标系中，关于\(x\)轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。 接着，让学生画出上述各点关于\(y\)轴的对称点\(A''(-2,3)\)、\(B''(1,4)\)、\(C''(-3,-2)\)，同样引导学生观察、讨论坐标变化规律，最终得出：关于\(y\)轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。 通过举例练习，如求点\((-4,5)\)、\((0, -3)\)关于\(x\)轴、\(y\)轴的对称点坐标，巩固学生对规律的理解和运用。 探究图形轴对称变换与坐标变化的关系（10 分钟） 在平面直角坐标系中画出\(\triangle ABC\)，其顶点坐标分别为\(A(1,1)\)、\(B(3,1)\)、\(C(2,3)\)，让学生先画出\(\triangle ABC\)关于\(x\)轴对称的\(\triangle A_1B_1C_1\)，并写出\(\triangle A_1B_1C_1\)各顶点的坐标\(A_1(1,-1)\)、\(B_1(3,-1)\)、\(C_1(2,-3)\)，观察坐标变化与图形变换的关系。 引导学生思考：“整个图形关于\(x\)轴对称时，图形上所有点的坐标变化有什么规律？” 组织学生进行讨论和交流。 总结得出：当图形关于\(x\)轴对称时，图形上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数。类似地，让学生画出\(\triangle ABC\)关于\(y\)轴对称的\(\triangle A_2B_2C_2\)，探究其坐标变化规律，即图形关于\(y\)轴对称时，图形上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。 展示更复杂的多边形图形，让学生运用规律求出其经过轴对称变换后的顶点坐标，并尝试画出变换后的图形，加深学生对图形轴对称变换与坐标变化关系的理解。 （三）巩固练习（15 分钟） 基础练习： 求点\((5,-2)\)、\((-3,4)\)关于\(x\)轴、\(y\)轴的对称点坐标。 已知点\(P(a,b)\)，写出其关于\(x\)轴、\(y\)轴对称的点的坐标表达式。 提高练习： 在平面直角坐标系中有一个四边形\(ABCD\)，其顶点坐标分别为\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)、\(C(5,3)\)、\(D(4,1)\)，画出该四边形关于\(y\)轴对称的四边形\(A'B'C'D'\)，并写出\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)、\(D'\)的坐标。 若点\(M(m,n)\)关于\(x\)轴对称的点\(M'\)在第二象限，求\(m\)、\(n\)的取值范围。 拓展练习： 已知\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)关于某条直线对称，\(\triangle ABC\)的顶点坐标为\(A(2,3)\)、\(B(4,1)\)、\(C(1, -2)\)，\(\triangle A'B'C'\)的顶点坐标为\(A'(-2,3)\)、\(B'(-4,1)\)、\(C'(-1,-2)\)，试确定对称轴的方程，并思考如何根据对称点坐标确定对称轴。 （四）课堂小结（5 分钟） 请学生回顾本节课所学内容，说一说关于\(x\)轴、\(y\)轴对称的点的坐标变化规律，以及图形进行轴对称变换后坐标的变化规律。 教师进行补充和完善，强调坐标变化规律的要点，以及数形结合思想在解决轴对称与坐标变化问题中的重要作用。同时，鼓励学生在课后继续观察生活中的轴对称现象，思考其中的坐标变化关系。 （五）布置作业（课后完成） 必做题：完成课本上相关练习题，巩固关于坐标轴的对称点坐标规律和图形轴对称变换的知识。 选做题：在平面直角坐标系中，已知点\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)，求一点\(P\)，使点\(P\)与\(A\)关于\(x\)轴对称，点\(P\)与\(B\)关于某条直线对称，并求出这条直线的方程。 实践题：用绘图软件（如几何画板、Excel 图表等）绘制一个简单的轴对称图形，通过改变图形的位置，观察其顶点坐标的变化，并记录下来，分析坐标变化与图形轴对称变换的关系，下节课进行分享 。 五、教学反思 在教学过程中，关注学生对轴对称与坐标变化规律的理解和掌握程度，分析学生在运用规律解决问题时出现的错误和困难，如坐标符号混淆、图形绘制不准确等。思考教学方法是否有效引导学生进行探究和归纳，教学活动的设计是否能激发学生的学习兴趣和主动性。针对学生的反馈，及时调整教学策略，加强对易错点和难点的讲解和练习，进一步优化教学过程，提高教学效果。 这份教案通过多种教学活动帮助学生掌握轴对称与坐标变化知识。你若对教学环节安排、练习题难度等有不同想法，欢迎随时告知我进行调整。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系，发展应用意识． 2．通过经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识． 3．通过探究图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 旧识回顾 1．什么叫轴对称图形？ 2．如何在平面直角坐标系中确定点P的位置？ 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形 从原点起沿着水平方向测量相应的距离为P的横坐标x；从原点起沿着垂直方向测量相应的距离为P的纵坐标y；将点P的横坐标x和纵坐标y组合起来，得到点P的坐标 △ABC与△A1B1C1关于x轴对称. （1）△ABC与△A1B1C1有怎样的位置关系？ 1. △ABC与△A1B1C1在如图所示的直角坐标系中，仔细观察，完成下列各题： 探究 探究新知 知识点 1 轴对称与坐标变化 对应点的纵坐标互为相反数 对应点的横坐标相同 （2）请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1 的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？ C1： B1： A1： C： B： A： （3）如果点P（m，n）在△ABC内，那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 . 关于x轴对称的两个点的坐标， 横坐标相同，纵坐标互为相反数； 探究新知 (m,-n) 2.如右图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗. (1)两面小旗之间有怎样的位置关系？ 关于y轴成轴对称. (2，6) (-2，6) 探究新知 7 对应点的纵坐标相等 对应点的横坐标互为相反数 （2）请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1、点D与D1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？ D1： C1： B1： A1： D： C： B： A： （3）如果点P（m，n）在△ABC内，那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 . 关于y轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同. 探究新知 (-m,n) 3.通过以上学习，你知道关于x轴对称的两个点的坐标之间的关系吗？关于y轴对称的两个点的坐标之间的关系呢？ 关于x轴对称的点， 横坐标相同； 关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同. 关于y轴对称的点， 纵坐标相同. 探究新知 探究新知 素养考点 1 根据坐标轴变化的规律确定点的坐标 例 若点A(1＋m，1－n)与点B(－3，2)关于y轴对称，则m＋n的值是(　　) A．－5 B．－3 C．3 D．1 解析：因为点A(1＋m，1－n)与点B(－3，2)关于y轴对称，所以1＋m＝3，1－n＝2，解得m＝2，n＝－1.所以m＋n＝2－1＝1. D 1.平面直角坐标系中，点P（ 5 ，7）关于x轴对称的点的坐标为 . 2.已知点A（a，2）与点A1（8，b）关于y轴对称，则a= ，b= . (5,-7) 巩固练习 -8 1 刚刚我们学习了两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 那坐标变化会不会引起图形变化？会引起怎样的变化呢？ 拓展思考 变式训练 在平面直角坐标系中依次连接下列各点：(0,0)， (5,4) ，(3,0)， (5,1) ，(5,-1)， (3,0)， (4,-2) ，(0,0)，你得到了一个怎样的图案？ x –1 y 5 4 探究新知 知识点 2 坐标变化与图形变化 3 2 1 1 2 3 4 5 5 坐标变化为： (x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0) (-x,y) 将各坐标的纵坐标保持不变，横坐标都乘以-1 ，则图形怎么变化？ 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 0 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 -4 -5 5 y x 纵坐标保持不变，横坐标都乘以-1，两个图形关于y轴对称 探究新知 （0,0） （-5,4） （-3,0） （-5,1） （-5,-1） （-3,0） （-4,-2） （0,0） 将各坐标的纵坐标都乘以-1，横坐标保持不变，则图形怎么变化？ (x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0) (x,-y) 1 2 3 4 5 6 7 8 0 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5 y x 横坐标保持不变，纵坐标都乘以-1， 两个图形关于x轴对称 探究新知 （0,0） （5,-4） （3,0） （5,-1） （5,1） （3,0） （4,2） （0,0） 14 –5 将各坐标的纵坐标与横坐标都乘以-1，图形会变成什么样？ y x 2 3 4 5 1 0 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 坐标变 化为： 与原图形关于原点中心对称 探究新知 (x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0) (x,-y) （0,0） （-5,-4） （-3,0） （-5,-1） （-5,1） （-3,0） （-4,2） （0,0） 1.关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征： (x , y) (-x , y) 2.关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征： 3.关于原点轴对称的两个图形上点的坐标特征： 探究新知 (x , y) ( x , -y) (x , y) (-x , -y) 横坐标变为相反数，纵坐标不变. 横坐标不变，纵坐标变为相反数. 横坐标、纵坐标都变为相反数. 1.在平面直角坐标系中，点P(－4，6) 关于x轴对称的点的坐标为(　　 ) A．(－4，－6) B．(4，－6) C．(－6，－4) D．(6，－4) A 巩固练习 2.点（8，3）与点（8，-3）的关系是（ ） A.关于原点对称 B.关于 x轴对称 C.关于 y轴对称 D.不能构成对称关系 B 1. 点A（4，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A．（ 4，2 ） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，4） 2. 点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1） A B 连接中考 （第1题） 1. 线段 在平面直角坐标系中的位置如图 所示，若线段与线段关于 轴对称， 则点的对应点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 返回 19 2. ［2024雅安］在平面直角坐标系中，将点 向右平 移2个单位长度后，得到的点关于 轴的对称点的坐标是 ( ) B A. B. C. D. 3. ［2025西安雁塔区期中］若点与点 关于轴对称，则 等于( ) B A. 1 B. C. 2 025 D. 返回 20 （第4题） 4.如图，经过两次轴对称 轴和轴为对称轴变化后，得到 ， 如果，，各点的坐标分别为 ， ，，那么，, 各点的坐标 分别为________，______， _________. 返回 21 5.若，满足 ，则平面直角坐标系 内，点关于轴对称的点 在第____象限. 一 【点拨】因为，且 ， ，所以， ，解得 ，.所以点的坐标为.所以点关于 轴对 称的点的坐标为，即点 在第一象限. 返回 22 6.如图所示的正方形网格中,每个小正方 形的边长都为1,, 的顶点都 在网格线的交点上,在图中建立平面直角 坐标系,使与关于 轴对 称,点的坐标为 . 23 （1）在图中画出平面直角坐标系 ; 【解】建立平面直角坐标系 如图所示. 24 （2）①画出关于轴对称的图形,其中点 的 对称点是,点的对称点是，点的对称点是 ； 如图所示. 25 ②写出点 的坐标. . 返回 26 7. 如图,在 的正方形网格中有四个格点 ，，， ，以其中一点为原点,网格线所在 直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余 三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则 原点是( ) B A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 27 8. 在平面直角坐标系中，点 ，丽丽同 学对点进行了如下操作，每次只把其中一个坐标乘以 ， 另一坐标不变.第一次将点的横坐标乘以 ，纵坐标不变得 到；第二次将点的纵坐标乘以，横坐标不变得到 ； 第三次将点的横坐标乘以，纵坐标不变得到 ；第四 次将的纵坐标乘以，横坐标不变得到；第五次将 的横坐标乘以，纵坐标不变得到； ，她按照上述规 律操作，则点 的坐标为_______. 28 点的坐标变化 图形的 变化 关于y轴对称 关于原点对称 课堂小结 关于x轴对称 谢谢观看！ $