3.2.3 建立平面直角坐标系-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦“建立平面直角坐标系”核心知识点，通过军棋位置情境、工兵排地雷游戏、北京地图图片等多形式导入，衔接旧知中点的坐标表示及象限特征，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步掌握坐标系建立方法。 其亮点在于以生活实例激活数学眼光，通过长方形、正三角形多原点建系探究培养几何直观与空间观念，结合中考题（如天安门景点坐标）强化应用意识。学生能提升用数学思维解决问题的能力，教师可借助丰富案例高效落实教学目标。

3.2.3建立平面直角坐标系 第三章 位置与坐标 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 3.2.3 建立平面直角坐标系 教案 一、教学目标 知识与技能目标 学生能够深刻理解建立平面直角坐标系的必要性和基本方法，熟练掌握根据实际问题的特点合理选取原点、确定坐标轴正方向和单位长度的技巧。 能够准确地在建立好的平面直角坐标系中用坐标表示物体的位置，以及根据坐标描述找到对应的物体位置，灵活运用平面直角坐标系解决简单的实际问题。 过程与方法目标 通过观察、分析实际生活中的各种场景，经历建立平面直角坐标系的完整过程，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，提升逻辑思维和空间想象能力。 在解决问题的过程中，学会运用数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力，增强知识迁移和应用意识。 情感态度与价值观目标 让学生充分感受平面直角坐标系在现实生活中的广泛应用价值，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的浓厚兴趣和探索欲望。 在小组合作与交流活动中，培养学生的团队协作精神和勇于表达的能力，增强学生学习数学的自信心和成就感。 二、教学重难点 教学重点 掌握建立平面直角坐标系的方法，包括原点的选取、坐标轴正方向的确定和单位长度的设定。 能够在建立的平面直角坐标系中准确地用坐标表示物体位置，并根据坐标找到对应物体。 教学难点 根据不同的实际问题情境，合理、灵活地建立平面直角坐标系，使其能更简便地解决问题。 理解建立平面直角坐标系后，坐标与物体位置之间的一一对应关系在实际应用中的意义和作用。 三、教学方法 讲授法、讨论法、情境教学法、实践操作法 四、教学过程 （一）情境导入（5 分钟） 展示城市地图，提问学生：“如果我们想要向朋友描述一家新开业餐厅在城市中的位置，怎样才能既准确又清晰呢？仅仅使用方向和距离描述是否足够方便？” 引导学生思考更高效的定位方式。 播放校园运动会的场景视频，聚焦于接力赛交接棒区域，提出问题：“假设需要记录每位运动员在交接棒瞬间的位置，以便后续分析战术，该如何准确记录呢？” 通过这些贴近生活的实际问题，引发学生的认知冲突，从而引出本节课的主题 —— 建立平面直角坐标系，让学生明确建立坐标系对于精确确定位置的重要性。 （二）探究新知（20 分钟） 建立平面直角坐标系的方法讲解（10 分钟） 以校园平面图为例，教师逐步演示建立平面直角坐标系的过程。首先，强调原点选取的灵活性，可根据实际问题的特点和方便性来确定，比如可以选择学校大门作为原点；接着，确定坐标轴的正方向，通常规定正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向，但在某些情况下也可根据实际需求调整；最后，介绍单位长度的设定，要结合实际距离和图纸大小，例如设定 1 厘米代表实际距离 50 米。 讲解过程中，引导学生思考不同原点、正方向和单位长度的选择对坐标表示的影响，通过对比不同选择下同一地点坐标的变化，让学生理解这些要素选择的重要性和相互关联性。 总结建立平面直角坐标系的一般步骤：①确定原点；②确定 x 轴、y 轴的正方向；③确定单位长度。 在建立的坐标系中表示物体位置（10 分钟） 在已经建立好的校园平面直角坐标系中，标出教学楼、操场、图书馆等建筑的位置，让学生尝试用坐标表示这些建筑的位置。教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误，如坐标顺序颠倒、单位长度换算错误等问题。 给出一些坐标，如（100，200）、（-50，150），让学生在坐标系中找出对应的位置，进一步强化学生对坐标与位置对应关系的理解。 通过小组讨论的方式，让学生交流在表示物体位置过程中的经验和遇到的困难，共同探讨解决方法，培养学生的合作学习能力和自主探究精神。 （三）巩固练习（15 分钟） 基础练习： 为小区平面图建立平面直角坐标系，选择合适的原点、正方向和单位长度，并用坐标表示小区内的儿童乐园、健身区、物业中心等场所的位置。 根据给定的坐标（3，4）、（-2，-1）等，在已建立的平面直角坐标系中描出相应的点，并说明这些点所在的象限或坐标轴。 提高练习： 如图书馆在学校东 300 米，北 200 米处，以学校为原点建立平面直角坐标系，1 个单位长度表示 100 米，写出图书馆的坐标；若体育馆的坐标为（-100，-150），描述体育馆相对于学校的位置。 某公园内有喷泉、凉亭、假山等景点，现要建立平面直角坐标系来表示它们的位置。已知喷泉在凉亭正南 150 米，假山在喷泉正东 200 米处，尝试建立平面直角坐标系并确定各景点的坐标，思考不同的原点选择对坐标表示的影响。 学生独立完成练习，教师巡视，对学习有困难的学生进行个别辅导，然后选取部分学生的答案进行展示和讲解，组织学生进行评价和交流，总结解题过程中的注意事项和方法技巧。 （四）课堂小结（5 分钟） 请学生回顾本节课所学内容，说一说建立平面直角坐标系的步骤和关键要点，以及如何在坐标系中表示物体位置和根据坐标确定物体位置。 教师进行补充和完善，强调建立平面直角坐标系时要根据实际问题灵活选择原点、正方向和单位长度，以及准确理解坐标与物体位置的对应关系的重要性。同时，总结数形结合思想在本节课中的应用，鼓励学生在今后的学习和生活中运用所学知识解决更多实际问题。 （五）布置作业（课后完成） 必做题：完成课本上相关练习题，如为学校周边的街道地图建立平面直角坐标系，并表示出主要商店、公交车站等的位置坐标；根据给定的坐标在平面直角坐标系中描绘出图形等。 选做题：观察自己家所在的社区，建立平面直角坐标系，用坐标表示社区内的重要设施（如快递柜、花园、停车场等）的位置，并思考如何通过改变坐标系的要素，使坐标表示更加简洁方便。 实践题：和小组同学一起，选择一个校园活动区域（如篮球场、花坛区域等），建立平面直角坐标系，测量并记录区域内不同标志物的坐标，制作一份详细的位置坐标图，并在班级内进行展示和交流 。 五、教学反思 在教学过程中，密切关注学生在建立平面直角坐标系和用坐标表示位置时出现的问题，分析学生在原点选取、单位长度设定以及坐标计算等方面存在困难的原因。思考教学方法是否有效地引导学生理解和掌握知识，教学活动的设计是否符合学生的认知水平和兴趣点。针对学生的反馈和教学中发现的不足，及时调整教学策略，加强对重难点内容的讲解和练习，增加更多贴近生活的实例，帮助学生更好地理解和应用平面直角坐标系的知识，提高教学效果。 这份教案围绕建立平面直角坐标系的核心内容展开，注重理论与实践结合。如果你对教学环节的时长、练习题类型等有其他想法，欢迎随时告诉我，我会进一步优化。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过多角度的探索，灵活选取简便易懂的方法解决问题，拓宽学生的思维，提高学生解决问题的能力． 2．通过学习建立直角坐标系的多种方法，让学生在数学活动中探索与创造，激发学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生的数学应用意识． 3．通过确定旅游景点的位置，让学生感受数学与实际生活的密切联系，提高学生学习数学的兴趣． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 旧识回顾 1．点的坐标及其表示： 2．各象限内点的坐标有什么特征？ 点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开 第一象限内的点，横坐标为正数，纵坐标为正数；第二象限内的点，横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限内的点，横坐标为负数，纵坐标为负数；第四象限内的点，横坐标为正数，纵坐标为负数 情境导入 如图，在一次军棋比赛中，如果团长所在的位置的坐标为（2，－5），司令所在的位置的坐标为（4，－2），那么工兵 所在的位置的坐标为________. 新知导入 一级标题：黑体， 5 游戏导入 “工兵排地雷”游戏 根据给出的坐标，找到地雷的位置，如果你找对了，地雷就爆炸了，如果找不对，地雷就不会爆炸哦！ (-5，0)、(0，4)、(6，4)、 (6，-4)、(2，3)、(-2，3)、 (-3，-3)、(-5，6)、(2，-3)、 (4，-3)、(0，0). 一级标题：黑体， 6 图片导入 如图是北京地图插画图片，图中有故宫、中国国家 博物馆、北海公园、天坛、中央电视台等等位置. 问题：你能表示出这种位置关系吗？ 问题：如果引入方格线，现在你能表示图中动物园、鸟巢的位置吗？ 问题：如果在此基础上，以故宫为原点作两条互相垂直的数轴，分别取向右，向上为正方向，一个方格的边长看成一个单位长度，那么你能表示出清华大学、颐和园、环球影城的位置吗？ 一级标题：黑体， 7 如图,长方形ABCD的长与宽分别是6和4，建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标. （1）你是如何建立的直角坐标系? （2）各顶点坐标如何求得? B C D A 知识点 建立适当的平面直角坐标系 探究新知 例1 思考 4 6 链接到各顶点处 共5个 x y B C D A o 6 4 （0，4） （6，0） （0，0） （6，4） （1）确定坐标原点； （2）确定x轴和y轴，建立直角坐标系； （3）根据条件中线段长度表示各顶点的坐标. 探究新知 交流探究 B C D A 解:如图,以点C为坐标 原点, 分别以CD , CB所 在的直线为x 轴,y 轴建 立直角坐标系. 此时C点 坐标为( 0 , 0 ). x y 0 (0 , 0 ) ( 0 , 4 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 0) 由CD长为6, CB长为4, 可得D , B , A的坐标分别为D( 6 , 0 ), B( 0 , 4 ), A( 6 , 4 ) . 探究新知 4 6 还可以建立其他平面直角坐标系，表示长方形的四个顶点A,B,C,D的坐标吗？ 4 6 y （C） D A B O 探究新知 思考探究 x y o 6 4 （0，0） （6，-4） （ 0，-4 ） （6，0） B C D A 探究新知 成果交流 B C D A x y o 6 4 （-6，4） （0，0） （-6，0） （0，4） 探究新知 成果交流 x y o B C D A 6 4 （0，0） （-6，0） （ 0，-4 ） （-6，-4） 探究新知 成果交流 B C D A x y （-3，2） （3，-2） （-3，-2） （3，2） O 探究新知 成果交流 B C D A x y （-3，4） （3，0） （ -3，0 ） （3，4） o 16 探究新知 成果交流 0 y x 0 y x 0 x y 0 y x y 0 x (5) y 0 x (6) 1.选原点; 2.画x，y坐标轴; 3.建立平面直角坐标系. 根据图形的特点， 建立简单直角坐标系. 建立直角坐标系的步骤： 探究新知 成果交流汇展 (1) (2) (3) (4) 思考 由前面得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？ 小结：建立平面直角坐标系，一般要使图形上的点的坐标容易确定，例如以长方形的两条边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系,又如以长方形的中心为原点建立平面直角坐标系．需要说明的是，虽然建立不同的平面直角坐标系，同一个点会有不同的坐标，但图形的形状和性质不会改变． 探究新知 正方形ABCD的边长为4，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点A,B,C,D在这个平面直角坐标系中的坐标. A B C D 巩固练习 4 4 y x （A） B C D 解：如图，以顶点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 此时，正方形四个顶点A,B,C,D的坐标分别为： A(0，0), B(4，0), C(4，4), D(0，4). O 巩固练习 A B C D A(0，-4), B(4，-4),C(4，0), D(0，0). y x O 讨论 还可以建立其他平面直角坐标系，表示正方形的四个顶点A,B,C,D的坐标吗？ A(-4，0), B(0，0),C(0，4), D(-4，4). A(-4，-4), B(0，-4),C(0，0), D(-4，0). A(-2，-2), B(2，-2),C(2，2), D(-2，2)...等 巩固练习 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 3 1 2 -2 -1 -3 4 -4 x y A B C D 巩固练习 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 3 1 2 -2 -1 -3 4 -4 x y A B C D 巩固练习 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 3 1 2 -2 -1 -3 4 -4 x y A B C D 巩固练习 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 3 1 2 -2 -1 -3 4 -4 x y A B C D 巩固练习 巩固练习 归纳总结 （1）选取的坐标系不同，同一点的坐标不同； （2）为使计算简化，证明方便，需要恰当地 选取坐标系； （3）“恰当”意味着要充分利用图形的特点： 垂直关系、对称关系、平行关系、中点等. 解: 如图,以边AB所在的直线为x轴,以边AB的中垂线为y轴建立直角坐标系. 由正三角形的性质可知 A O= ,正三角形ABC各个 顶点A , B , C的坐标分别为 A (0, );B ( -2 , 0 );C ( 2 , 0). 探究新知 例2 如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 . A B C x y ． 2 2 4 O 想一想，还有其他方法吗？ C A B x y D 2 2 4 A （2， ） C（4 ， 0） B（ 0， 0 ） 探究新知 如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 . 不同解法展示 C A B y D 如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 . 2 2 4 A （-2， ） C（0 ， 0） B（ -4， 0 ） 探究新知 不同解法展示 A B C x y o 2 2 4 D E A （0， ） C（2 ， ） B（ -2， ） 探究新知 不同解法展示 如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 . （第1题） 1. 为培养青少年的科学态度和科学思维， 某校创建了“科技创新”社团.小红将“科” “技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中， 若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐 标分别为， ，则“技”所在的 象限为( ) A A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 返回 31 （第2题） 2. 如图是小明、小刚和小红做课间操时的位置， 老师建立一个平面直角坐标系，如果用坐标 表示小明的位置，坐标 表示小刚的位 置，那么小红的位置坐标为( ) C A. B. C. D. 返回 32 3. 教材P66习题 如图是天安门广 场周围的主要景点分布示意图，在此图中 建立平面直角坐标系，若表示故宫的点的 坐标为 ，表示美术馆的点的坐标为 C A. 王府井 B. 电报大楼 C. 人民大会堂 D. 天安门 ，则表示其他景点的点的坐标正确的是( ) 33 【点拨】由题意得表示王府井 的点的坐标为 ,表示电报 大楼的点的坐标为 ,表 示人民大会堂的点的坐标为 ,表示天安门的点的坐 标为 . 返回 34 4. 如图，平行四边形的顶点 ， ，的坐标分别是， ， ，则顶点 的坐标是( ) D A. B. C. D. 【点拨】由题易知,点与点到 轴的距离相等.因为 平行四边形的顶点，，的坐标分别是 ， ，，所以，.所以顶点 的坐标为 .故选D. 返回 35 5. 教材P63例3 如图，四边形 是 边长为4的正方形，在正方形的一个角上剪 去长方形，其中，分别是边 ， 上的点，且， ，剩余部分 是六边形 ，请你建立适当的平面直角坐标系，求六 边形 各顶点的坐标. 36 （第5题） 【解】分别以边， 所在的直线为坐标轴， 建立平面直角坐标系，如图所示. 因为点是原点，所以 . 易知 . 因为点，分别在轴、 轴上，所以 ， . 因为点，的纵坐标相等，且 ， 37 所以 . 因为点， 的横坐标相等，且 ，所以.因为点 与 点的横坐标相等，点与点 的纵坐标相等， 所以 . 因为点与点的横坐标相等，点与点 的 纵坐标相等，所以 . （第5题） 返回 6. 小明家位于公园的正东方向 处，从 小明家出发向北走 就到小华家，若选取小华家为原点， 分别以正东、正北方向为轴、 轴正方向建立平面直角坐标 系，规定一个单位代表 ，则公园的坐标是( ) C A. B. C. D. 39 【点拨】依据题意建立平面直角坐标系如图所示. （第6题） 40 由“从小明家出发向北走 就到小华家”可知小明家在小 华家的正南方向 处， 由“小明家位于公园的正东方向 处”可知公园在小明家 的正西方向 处， 图中点是小华家，点是小明家，点 是公园， 故公园的坐标为 . 返回 41 7. ［2025成都双流区期末］在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已 经找到了和 两个标志点，并且知道藏宝地点 的坐标为 ，如图，藏宝地点可能是( ) B A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 42 8. 已知等腰三角形 ,建立适当的平面直角坐标系后,其三 个顶点的坐标分别为，, ,其中 ，则下列关于该三角形的三边关系正确的是( ) A A. B. C. D. 43 建立适当的平面直角坐标系表示位置： (1)建立坐标系,选择一个适当的点为原点、确定x轴、 y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点、写出各点的坐标和各个地点的名称. 课堂小结 谢谢观看！ $