2.1 认识实数-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦无理数概念及有理数与无理数的区分，通过毕达哥拉斯学派故事导入，结合旧识回顾有理数，借助拼图活动与勾股定理探究非有理数，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以历史故事激发兴趣，通过剪拼实践和勾股定理应用培养数学眼光与推理意识，融入中考题及“贺卡与信封”等实例发展应用意识。助力学生提升抽象能力与创新意识，教师可依托清晰环节高效教学。

2.1 认识实数 第二章 实数 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 2.1 认识实数教案 一、教学目标 知识与技能目标 学生能够准确阐述无理数和实数的概念，清晰分辨有理数和无理数，明确实数的分类标准。 理解实数与数轴上的点一一对应关系，能在数轴上正确表示出给定的实数，反之，能说出数轴上点所对应的实数。 掌握实数的相反数、绝对值的意义及运算方法，能够熟练求出一个实数的相反数和绝对值，并进行相关的简单运算。 过程与方法目标 经历从有理数扩充到实数的过程，体会数系扩充的必要性和方法，培养学生的类比推理能力和抽象概括能力。通过回顾有理数的相关知识，对比引入无理数，引导学生思考数系扩充的规律。 借助观察、思考、探究等活动，提升学生分析问题和解决问题的能力。例如，在探究实数与数轴对应关系时，让学生自主操作、观察归纳，得出结论。 鼓励学生在小组合作交流中，分享观点，相互启发，培养合作精神和表达能力。 情感态度与价值观目标 感受数学知识的内在联系和发展过程，体会数学的严谨性和科学性，激发学生对数学学习的兴趣和探索欲望。 通过了解无理数的发现历史，感受数学发展的曲折性，培养学生勇于质疑、敢于创新的科学精神，体会人类对真理的不懈追求。 二、教学重难点 教学重点 无理数和实数的概念，以及实数的分类。要通过大量实例，帮助学生理解无理数的本质特征，掌握实数分类的方法。 实数与数轴上的点一一对应关系。这是本节课的核心内容，需借助直观演示和学生的动手操作，让学生深刻理解。 教学难点 对无理数概念的理解。无理数较为抽象，学生理解起来有一定难度，要从多个角度进行解释说明，如从其产生的背景、与有理数的区别等方面引导学生理解。 认识到数轴上的点与实数一一对应，以及这种对应关系在数学中的重要作用。需通过具体的例子和图形，逐步引导学生体会这种抽象的对应关系。 三、教学方法 情境引入法：创设问题情境，如展示一些生活中涉及到无理数的现象，或者讲述无理数发现的历史故事，引发学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣和探究欲望。 类比教学法：在讲解实数的相关概念和性质时，与有理数进行类比，引导学生通过对比分析，发现规律，加深对新知识的理解。 小组合作探究法：组织学生进行小组合作学习，共同探究实数与数轴的关系等问题，培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的探究能力和思维水平。 多媒体辅助教学法：利用多媒体展示数轴、无理数的图形表示等，直观形象地帮助学生理解抽象的数学概念和关系。 四、教学准备 多媒体课件，包含无理数发现的历史资料、数轴动态演示、实数分类的图表等内容。 为每个小组准备一些纸条，上面写有不同的数，包括有理数和无理数，用于课堂活动。 准备直尺、圆规等工具，用于在黑板上进行数轴绘制和图形演示。 五、教学过程 导入新课（5 分钟） 展示古希腊数学家希帕索斯发现无理数的故事视频片段，提问学生：“希帕索斯发现的这个不能用整数比表示的数，打破了当时人们对数的认知，那这个数到底有什么特殊之处呢？我们之前学过的数能满足所有的数学和生活需求吗？” 引发学生思考。 回顾有理数的概念和分类，提问：“有理数包括整数和分数，那我们生活中遇到的所有数都能归到这两类里面吗？比如，我们在计算圆的周长时用到的圆周率 π，它是有理数吗？” 通过这些问题，引导学生意识到数系需要扩充，从而引出本节课的主题 —— 认识实数。 讲授新课（20 分钟） 无理数的概念 展示一些具体的数，如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)、π 等，让学生尝试将它们表示为分数形式，学生经过尝试会发现无法准确表示。 给出无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。强调 “无限” 和 “不循环” 这两个关键特征。 举例说明一些常见的无理数类型，如开方开不尽的数（\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt[3]{2}\)等）、特定结构的无限不循环小数（0.1010010001… 等）、圆周率 π 及其相关运算结果（2π、π - 1 等）。 让学生自己举例说出一些无理数，巩固对无理数概念的理解。 实数的概念及分类 给出实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 引导学生对实数进行分类，展示分类图表： 按定义分类： 有理数：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数） 无理数：无限不循环小数 按正负分类： 正实数：正有理数（正整数、正分数）、正无理数 0 负实数：负有理数（负整数、负分数）、负无理数 通过具体的数，如 - 3、\(\frac{2}{3}\)、\(\sqrt{7}\)、 - π 等，让学生判断它们分别属于实数分类中的哪一类，加深对分类的理解。 实数与数轴的关系 回顾数轴的概念，在黑板上画出数轴，标注原点、正方向和单位长度。 提出问题：“我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，那无理数能在数轴上表示出来吗？” 以\(\sqrt{2}\)为例，利用圆规和直尺，在数轴上作出表示\(\sqrt{2}\)的点。具体做法是：以原点为一个顶点，以数轴正半轴为一条直角边，作一个两直角边分别为 1 的直角三角形，根据勾股定理，其斜边长度为\(\sqrt{2}\)。然后以原点为圆心，斜边长度为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示\(\sqrt{2}\)的点。 多媒体动态演示其他无理数在数轴上的表示方法，如\(\sqrt{3}\)、π 等。 总结得出：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。 让学生思考并回答：在数轴上，到原点距离为\(\sqrt{5}\)的点有几个？它们分别表示什么数？进一步巩固实数与数轴的对应关系。 实数的相反数和绝对值 类比有理数的相反数和绝对值概念，给出实数的相反数和绝对值定义： 实数 a 的相反数是 - a，例如\(\sqrt{2}\)的相反数是 - \(\sqrt{2}\)， - π 的相反数是 π。 一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。即设 a 为实数，则\(\vert a\vert = \begin{cases} a, & a > 0 \\ 0, & a = 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}\)，如\(\vert \sqrt{3}\vert = \sqrt{3}\)，\(\vert - 5\vert = 5\)，\(\vert 0\vert = 0\)。 举例进行计算练习，如求\(-\sqrt{7}\)的相反数，\(\vert 3 - \pi\vert\)的值等，让学生巩固实数相反数和绝对值的运算方法。 课堂练习（15 分钟） 给出一些数，如\(\frac{1}{3}\)、 - 2、\(\sqrt{6}\)、0.333…、 - \(\sqrt{11}\)、π、\(\sqrt[3]{8}\)等，让学生判断哪些是有理数，哪些是无理数，并说明理由。 将上述数按照实数的分类，分别填入相应的集合圈内，即有理数集合、无理数集合、正实数集合、负实数集合。 在数轴上画出表示下列各数的点：1.5、 - \(\frac{3}{2}\)、\(\sqrt{3}\)、 - \(\sqrt{5}\)，并比较它们的大小，用 “<” 连接起来。 求下列各数的相反数和绝对值： - 3.14、\(\sqrt{10}\)、\(\frac{\pi}{2}\)、 - \(\sqrt[3]{27}\)。 已知\(\vert a\vert = \sqrt{7}\)，求 a 的值；若\(\vert x - 1\vert = \sqrt{2}\)，求 x 的值。 在学生完成练习的过程中，教师巡视课堂，观察学生的解题情况，及时给予指导和帮助。对于学生普遍存在的问题，进行集中讲解；对于个别学生的问题，进行单独辅导。 小组讨论（10 分钟） 将学生分成小组，每组 4 - 5 人，给出以下讨论问题： 我们已经知道有理数和无理数统称为实数，那在实际生活中，哪些场景会用到无理数呢？举例说明。 实数与数轴上的点一一对应，这一结论在数学中有哪些重要应用？比如在解方程、比较大小等方面。 从有理数扩充到实数，数的运算规则有没有发生变化？哪些地方需要特别注意？ 学生在小组内展开讨论，教师巡视各小组，参与学生的讨论，引导学生从不同角度思考问题，鼓励学生大胆发表自己的观点，对学生的观点进行适当的点评和引导，帮助学生拓展思维。 每个小组推选一名代表，将小组讨论的结果进行汇报，其他小组可以进行补充和质疑。教师对各小组的汇报进行总结和归纳，强调重点内容，解答学生的疑问，进一步完善学生对知识的理解。 课堂小结（5 分钟） 引导学生回顾本节课所学的内容，提问学生：“通过本节课的学习，你学到了哪些重要的知识和方法？” 让学生从无理数、实数的概念，实数的分类，实数与数轴的关系，实数的相反数和绝对值等方面进行总结。 教师对学生的总结进行补充和完善，强调本节课的重点和难点，以及知识之间的内在联系。同时，鼓励学生在今后的学习中，要善于运用类比、归纳等方法，不断探索数学知识的奥秘。 布置作业（5 分钟） 基础作业： 完成课本上相关的练习题，进一步巩固实数的概念、分类、与数轴的关系等基础知识。 已知 a、b 为实数，且\(\sqrt{a - 3} + \vert b - 2\vert = 0\)，求 a + b 的值，强化实数运算与性质的应用。 拓展作业： 查阅资料，了解历史上无理数的发现对数学发展产生了哪些重要影响，写一篇简短的数学小论文，培养学生自主探究和查阅资料的能力。 思考：在实数范围内，方程\(x^2 + 1 = 0\)有解吗？为什么？如果将数系进一步扩充，你认为该如何扩充才能使这个方程有解？激发学生对数学知识深入探究的兴趣。 实践作业： 测量家里的一个圆形物品（如盘子、碗等）的直径和周长，计算出周长与直径的比值，与圆周率 π 进行比较，感受无理数在实际生活中的体现。 利用数轴，设计一个游戏，通过在数轴上移动棋子等方式，巩固对实数的认识和运算，增强学生学习数学的趣味性。 六、教学反思 在教学过程中，要充分关注学生的思维过程和认知水平，对于学生在理解无理数概念、实数与数轴关系等难点内容时可能遇到的困难，要给予足够的引导和启发。通过多样化的教学方法和丰富的课堂活动，让学生积极参与到学习中来，在实践中体会数学知识的形成和应用过程。同时，要根据学生的作业和课堂表现，及时反馈教学效果，针对学生存在的问题，调整教学策略，加强个别辅导，确保每个学生都能在原有基础上得到发展，不断提高教学质量。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过阅读课本，了解无理数的概念；会区分有理数与无理数，发展推理能力． 2．通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性，尝试用计算器对无理数进行计算并感知，发展学生的理解能力． 3．通过小组交流讨论与探索活动，充分调动学生参与的积极性，发展合作精神与钻研精神． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 旧识回顾 什么叫有理数？ 整数(正整数、0、负整数)和分数统称为有理数 故事导入 公元前5—6世纪，古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯发现了毕达哥拉斯定理（也就是勾股定理），并因此受到众人拥护，创立了毕达哥拉斯学派.这个学派的信条是：“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比(也就是我们现在说的有理数)”. 希伯索斯（Hippsaus）作为毕达哥拉斯的得意门生，自然也是对其敬仰万分.直到有一天，希伯索斯在演算中发现一个惊天的事实：一个边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比表示.这个奇怪数字的发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌. 希腊数学界的人害怕希伯索斯的发现动摇他们的统治地位，严令希伯索斯不得外传，但希伯索斯坚持将这一事实公布于众，为此他不停地遭受到迫害，最后竟被沉入 了大海.一代传奇的数学家，从此陨落. 究竟是怎样奇怪的数字，导致年轻的数学家丢掉了性命呢？ 新知导入 一级标题：黑体， 5 把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形 剪一剪 拼一拼 1 1 1 1 探究一: 下面请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形 探究新知 知识点 1 利用拼图发现非有理数 1 1 方 法 一 探究新知 思考:设大正方形的边长为a,则a满足什么条件? 方 法 二 探究新知 a2=2 2.a可能是分数吗？说说你的理由. 探究二： 1.a可能是整数吗？说说你的理由. 探究新知 a2=2 a 因为a2=2，1<a2<4 ，得到1<a <2， 所以a一定不是整数； 因为×=， ×=，… 所以a一定不是分数. 在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数. 探究新知 即两个相同最简分数的乘积仍是分数. a2=2 a 归纳总结 有理数包括：整数和分数. 如果一个数既不是整数也不是分数， 那么这个数不是有理数. 在a2=2中，a不是有理数. 探究新知 例 如图，有一个由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪拼成一个正方形．则拼成的正方形的面积是多少？这个正方形的边长是有理数吗？ 解：因为小正方形的边长为1， 所以每个小正方形的面积为1， 所以拼成的正方形的面积为 5×1=5. 因为找不到平方等于5的有理数， 所以这个正方形的边长不是有理数． 探究新知 素养考点 1 非有理数的识别 提示：解决本题的关键是理解五个小正方形的面积的和就是拼成的正方形的面积． (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？b是有理数吗？ 解：b2=5. ①因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数. ②没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数. ③因为没有一个整数或分数的平方为5，所以b不是有理数. 探究新知 知识点 2 利用勾股定理发现非有理数 解：两条直角边分别为1和2，根据勾股定理，得12+22=5， 所以正方形的面积是5. 例 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？ 解：在Rt△ACD中，AC为斜边，AC=6， AD=5，所以CD2=AC2-AD2=11. 因为11是质数，大于1的整数的平方都是合数，所以11不能写成一个整数的平方，所以CD不可能是整数． 因为最简分数的平方仍是分数，所以CD不可能是分数．所以CD不可能是有理数． 素养考点 1 利用勾股定理识别非有理数 探究新知 1. 是一个( ) D A. 有限小数 B. 循环小数 C. 无限循环小数 D. 无限不循环小数 2. 某中学实践教育基地有一块正方形菜地，该菜地的面积是 ，现决定把此正方形菜地的边长增加 ，则新的正方 形菜地的边长范围是( ) B A. 与之间 B. 与 之间 C. 与之间 D. 与 之间 返回 15 3. 若，根据下表估计 的值为_____ （精确到0. 1）. 28.4 28.5 28.6 28.7 806.56 812.25 817.96 823.69 28.6 4. 教材P25思考·交流 面积为 的圆，它的半径 的 整数部分是___，十分位是___，百分位是___，千分位是___. 4 1 2 3 返回 16 5.［2025温州期中］如图，每个小正方形的边 长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1. （1）图中阴影部分的面积是多少？ 【解】 . （2）估计阴影部分正方形的边长的值在哪两个整数之间. 因为 ,所以边长的值在3与4之间. 返回 17 6. 若正方体的体积为9，则棱长 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 7. ［2025成都青羊区期中］ 如图所示，数轴上的点 所表 示的数为，则数 为( ) B A. 有理数 B. 不循环小数 C. D. 不存在 返回 18 8. 为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少 年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，某校 举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动.小芳制作了一张面积 为 的正方形贺卡.现有一个长方形信封，长、宽之比 为，面积为 ，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此 信封吗？请通过计算说明你的判断. 19 【解】因为正方形贺卡的面积为 ， 所以正方形贺卡的边长为 . 设长方形信封的长为，宽为 . 因为长方形信封的面积为 ， 所以.所以 . 所以.所以 .所以小芳能将这张贺卡不 折叠就放入此信封. 返回 20 非有理数的发现 拼图发现 首先通过拼图把几个小正方形拼成一个大正方形，然后利用面积发现非有理数 非有理数的识别 利用勾股定理发现非有理数 课堂小结 谢谢观看！ $