2.3 立方根-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦“立方根”核心知识点，涵盖概念、性质、运算及与平方根的区别。通过植物细胞体积增大情境、魔方视频导入和二阶三阶魔方小立方体数量探究活动，帮助学生从立方运算逆向过渡到开立方，搭建学习支架。 其亮点在于通过“议一议”正数负数0立方根个数的探究活动，结合物理铁球体积计算的跨学科实例和平方根立方根对比表格，培养运算能力、推理意识和应用意识。采用“观察-探究-总结”教学方法，学生能深化对知识的理解，教师可提升教学效率。

2.3 立方根 第二章 实数 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 2.3 立方根教案 一、教学目标 知识与技能目标 学生能够精准阐述立方根的概念，透彻理解立方与开立方互为逆运算的关系。 熟练掌握求一个数立方根的方法，准确无误地表示一个数的立方根。 过程与方法目标 借助对实际问题的分析与探究，经历从具体实例到抽象概念的思维转变过程，着重培养学生的逻辑推理能力与数学抽象能力。 运用类比、归纳等方法，帮助学生洞察数学知识间的内在联系，切实提升学生自主学习以及解决问题的能力。 情感态度与价值观目标 积极引导学生踊跃参与数学活动，在探索立方根概念与性质的过程中，培育学生勇于探索、敢于质疑的科学精神。 使学生深切感受数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值，从而激发学生对数学学习的浓厚兴趣。 二、教学重难点 教学重点 立方根的概念，需通过丰富多样的实例，帮助学生深刻理解其本质内涵。 求一个数立方根的方法，确保学生能够熟练运用该方法进行运算。 教学难点 理解立方根概念中，正数、负数、0 立方根的不同特性，避免与平方根概念混淆。 掌握用立方根知识解决实际问题时，如何将实际问题转化为数学模型。 三、教学方法 情境引入法：创设与生活实际紧密相关的问题情境，如体积计算、物体堆砌等问题，引出立方根的概念，充分激发学生的学习兴趣与探究欲望。 类比教学法：在讲解立方根的概念与运算时，与学生已熟悉的平方、平方根运算进行类比，促使学生轻松理解新知识。 小组合作探究法：组织学生开展小组合作学习，共同探究立方根的性质与规律，大力培养学生的合作意识与团队精神。 练习巩固法：通过精心设计的针对性练习题，让学生及时巩固所学知识，加深对立方根概念与运算的理解。 四、教学准备 多媒体课件，包含相关的图片、动画、例题讲解、互动游戏等内容。 准备若干个小正方体道具，用于课堂演示与学生操作。 制作写有不同数字的卡片，用于课堂互动环节。 五、教学过程 导入新课（5 分钟） 展示一个由 8 个棱长为 1 厘米的小正方体拼成的大正方体道具，提问学生：“这个大正方体的体积是多少？” 学生能够快速回答出是 8 立方厘米。 接着展示另一个大正方体道具，已知其体积为 27 立方厘米，提问：“那这个正方体的棱长是多少呢？” 引导学生思考并列出方程\(x^3 = 27\)，然后让学生尝试求解\(x\)的值。 将小正方体道具分给各小组，让学生用 27 个小正方体拼出一个大正方体，直观感受棱长与体积的关系。 再给出几个类似的问题，如已知正方体体积为 64、125 等，让学生求棱长，进而引出本节课要学习的内容 —— 立方根。 讲授新课（20 分钟） 立方根的概念 给出立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的立方根或三次方根。也就是说，如果\(x^3 = a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的立方根。 以\(x^3 = 64\)为例，引导学生分析，因为\(4^3 = 64\)，所以\(4\)是\(64\)的立方根。 利用数轴，在数轴上找出表示\(4\)的点，强调立方根与原数的对应关系。 强调任何数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，\(0\)的立方根是\(0\)。通过一些简单的例子，如\(x^3 = 125\)，\(x^3 = -8\)，\(x^3 = 0\)等，让学生进一步理解这一特性。可以让学生小组讨论，为什么负数有立方根，然后每组派代表发言。 立方根的表示方法 数\(a\)的立方根用符号 “\(\sqrt[3]{a}\)” 表示，读作 “三次根号\(a\)”。例如，\(125\)的立方根可以表示为\(\sqrt[3]{125}\)，因为\(\sqrt[3]{125} = 5\)，所以\(125\)的立方根是\(5\)。 特别地，\(\sqrt[3]{0} = 0\)。 开展一个小游戏，教师在黑板上写出一些数，如\(27\)、\(64\)、\(125\)等，让学生快速在卡片上用正确的符号表示出这些数的立方根，然后随机抽取学生展示卡片，其他同学进行判断，强化立方根的表示方法。 开立方运算 定义：求一个数\(a\)的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。 举例说明，如\(5^3 = 125\)，那么\(125\)的立方根是\(5\)，这就是从立方运算到开立方运算的过程。 利用多媒体动画，动态展示立方运算和开立方运算的互逆过程，让学生更直观地理解。 通过具体的例子，如求\(8\)、\(27\)、\(64\)等数的立方根，让学生体会开立方运算与立方运算的互逆关系。可以让学生自己举例，进行立方运算，然后同桌交换，进行开立方运算。 课堂练习（15 分钟） 给出一些数，如\(1\)、\(8\)、\(27\)、\(64\)、\(125\)、\(216\)、\(343\)、\(512\)、\(729\)、\(1000\)，让学生分别求出它们的立方根，并在练习本上详细写出计算过程。 已知\(x^3 = 125\)，求\(x\)的值；若\((x - 3)^3 = 64\)，求\(x\)的值。通过这类方程求解的练习，进一步巩固立方根的概念和应用。 判断下列说法是否正确： \(8\)的立方根是\(2\)。 \(0\)的立方根是\(0\)。 \(-5\)是\(-125\)的立方根。 任何数都有立方根。 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。 拓展练习：一个数的立方根等于它本身，求这个数。 在学生完成练习的过程中，教师巡视课堂，观察学生的解题情况，及时给予指导和帮助。对于学生普遍存在的问题，进行集中讲解；对于个别学生的问题，进行单独辅导。 小组讨论（10 分钟） 将学生分成小组，每组 4 - 5 人，给出以下讨论问题： 举例说明生活中还有哪些实际问题会用到立方根的知识？比如在建筑设计中计算正方体建筑材料的边长等。 立方根与平方根有什么区别和联系？从定义、表示方法、性质等方面进行讨论。 从立方运算到开立方运算，我们是如何运用逆向思维的？结合具体例子说明。 学生在小组内展开热烈讨论，教师巡视各小组，参与学生的讨论，引导学生从不同角度思考问题，鼓励学生大胆发表自己的观点，对学生的观点进行适当的点评和引导，帮助学生拓展思维。 每个小组推选一名代表，将小组讨论的结果进行汇报，其他小组可以进行补充和质疑。教师对各小组的汇报进行总结和归纳，强调重点内容，解答学生的疑问，进一步完善学生对知识的理解。可以制作对比表格，在黑板上直观呈现立方根与平方根的区别和联系。 课堂小结（5 分钟） 引导学生回顾本节课所学的内容，提问学生：“通过本节课的学习，你学到了哪些重要的知识和方法？” 让学生从立方根的概念、表示方法、开立方运算以及立方根与立方的互逆关系等方面进行总结。 教师对学生的总结进行补充和完善，强调本节课的重点和难点，以及知识之间的内在联系。同时，鼓励学生在今后的学习中，要善于运用所学知识解决实际问题，不断提高自己的数学素养。可以让学生闭上眼睛，在脑海中回顾本节课的关键内容，然后再睁开眼睛分享自己的回顾成果。 布置作业（5 分钟） 基础作业： 完成课本上相关的练习题，进一步巩固立方根的概念和运算方法。 已知一个数的立方根是\(2a + 1\)，这个数是\(64\)，求\(a\)的值。强化立方根性质的应用。 拓展作业： 查阅资料，了解立方根在数学发展历史中的重要意义，写一篇简短的数学小短文，培养学生自主探究和查阅资料的能力。 思考：如果\(a\)的立方根是\(3\)，\(b\)的立方根是\(4\)，那么\(a + b\)的立方根是多少？激发学生对知识的深入探究。 实践作业： 测量家里的一个正方体盒子的棱长，计算出盒子的体积。然后假设体积变为原来的 8 倍，尝试估算棱长变为多少，感受立方根在实际生活中的应用。 利用小正方体积木，搭建不同体积的正方体，测量并记录它们的棱长，验证立方根的概念。可以让学生拍照记录自己的实践过程，下节课分享。 六、教学反思 在教学过程中，要充分关注学生对立方根概念的理解和掌握情况，尤其是对于正数、负数、0 立方根特性的区分，要通过更多的实例、图形演示以及小组讨论等方式帮助学生理解。同时，要注重引导学生进行思考和讨论，培养学生的自主学习能力和合作探究精神。在练习环节，要根据学生的实际情况，及时调整练习的难度和题量，确保每个学生都能得到充分的锻炼。通过教学反思，不断改进教学方法和策略，提高教学质量。例如，在下次教学中，可以增加更多趣味性的练习活动，如立方根抢答比赛等，提升学生的参与度。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，发展运算能力． 2．通过对立方根性质的探究，发展学生的逆向思维能力和分类讨论的意识． 3．通过对立方根概念、符号、运算及性质的探究，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神，发展应用意识． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 如果某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，那么当它的体积增大1倍时，这个正方体的棱长是多少？ 解：棱长为1的正方体体积是1， 体积增大一倍体积为2. 设体积为2的正方体的棱长为x 那么x3 = 2 情境导入 1 1 1 新知导入 一级标题：黑体， 4 探究新知 知识点 1 立方根的概念和性质 视频导入 不同阶的魔方体积不同，如视频中魔方阶数越高体积越大，若已知魔方体积为a,如何求边长？ www.czsx.com.cn 观察探究 二阶魔方由几个小立方体构成_______ 8个 三阶魔方由几个小立方体构成_______ 四阶魔方由几个小立方体构成_______ 27个 64个 探究新知 探究新知 如果一个魔方由27个小立方体构成,它应该是几阶魔方? 解:设这个魔方为x阶,则: x 3 =27, 因为 33 =27, 所以 x =3. 即这个魔方为 3 阶魔方. 什么数的立方等于-27? 想一想 因为3的立方等于27,那么3就叫做27的立方根. 因为-3的立方等于-27,那么-3就叫做-27的立方根. （-3）3=-27 探究新知 探究新知 立方根的定义 1.如何表示一个数的立方根? 一个数a的立方根可以表示为: 根指数 被开方数 读作:三次根号 a 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略. 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3 = a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根．记作　 　. ( )3=1 ( )3=8 ( )3= ( )3=0 ( )3=-64 数a 1 2 1 a的立方根 8 填一填 0 -64 64 27 64 27 0 -4 0 -4 1 2 4 3 4 3 解： 探究新知 小结 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零. 立方根是它本身的数有1, -1, 0； 平方根是它本身的数只有0. 探究新知 (1)正数有几个立方根？(2)0有几个立方根？ (3)负数有几个立方根？ 议一议 类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作“开立方”. 提示：“开立方”与“立方”互为逆运算. 探究新知 立方 开立方 +3 -3 +5 -5 27 -27 125 -125 求下列各数的立方根. (1) -27；　 (2) ； (3) 0.216； (4) -5. 素养考点 1 求一个数的立方根 探究新知 例 （3）因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6， 即 . （2）因为 ，所以 的立方根是 ， 探究新知 （4）-5的立方根是 . 即 . 解：（1）因为(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3， 即 . 你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系吗? a 3 -a 3 = -2 -2 = -3 -3 互为相反数的数的立方根也互为相反数 探究新知 因为 = , = 所以 因为 = , = 猜一猜: 所以 知识点 2 立方根的有关计算 规律：对于任何数a都有 规律：对于任何数a都有 2 -2 -3 4 0 8 -8 27 -27 0 探究新知 求下列各式的值. （3） . （2） ； （1） ； 解： （1） （3） 探究新知 立方根的有关计算 素养考点 1 例 （2） 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数 非负数 探究新知 1. 的立方根是( ) B A. 2 B. C. 2或 D. 4 2. 下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 19 3. ［2025晋城期中］如图，该几何体由8个形状大小完全相 同的小正方体组成.已知该几何体的体积约为 （方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ( ) A A. B. C. D. 返回 20 4. 下列说法：①立方根是它本身的数只有3个； 的立方 根是与； 无立方根；④互为相反数的两个数的立 方根也互为相反数；⑤一个数的立方根不是正数就是负数； ⑥如果一个数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是0. 其中正确的是( ) C A. ①②⑤ B. ③⑥ C. ①④ D. ②④ 5.比较大小（填“ ”“ ”或“”）：___；___ . 返回 21 6. 教材P35例6 求下列各式的值： （1） ； 【解】 . （2） . . 返回 22 7.求下列各式中的 （1） ； 【解】因为，所以 . 所以.所以 . （2） . 因为，所以 . 所以.所以 . 返回 23 8. 在做物理实验时，小明用一根细线将一个 实心铁球拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量 筒量得铁球排出的水的体积为 .小明又将铁球从水中 提起，量得烧杯中的水位下降了 .请问烧杯内部的底面 半径和铁球的半径各是多少？（球的体积公式为 ， 为球的半径） 24 【解】设烧杯的底面半径为,铁球的半径为 ,根据题 意得 ， ,解得 ， . 故烧杯内部的底面半径是,铁球的半径是 . 返回 25 9. ［2025菏泽牡丹区月考］已知， 满足 ，则 的立方根是( ) C A. B. C. D. 10. 如果，，那么 ( ) B A. B. C. D. 返回 26 11. 有一个数值转换器，流程如图所示，当输入 的值为64时， 输出 的值是( ) C A. 2 B. C. D. 返回 27 性质 定义 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数； 0的立方根是0. 立方根的有关计算 立方根 课堂小结 谢谢观看！ Lavf57.71.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v0.2.30(gap_fixed:False) $