2.2 平方根（第2课时）-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

2.2 平方根（第2课时） 第二章 实数 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 2.2 平方根（第 1 课时）教案 一、教学目标学生在小组内展开热烈讨论，教师巡视各小组，参与学生的讨论，引导学生从不同角度思考问题，鼓励学生大胆发表自己的观点，对学生的观点进行适当的点评和引导，帮助学生拓展思维。 每个小组推选一名代表，将小组讨论的结果进行汇报，其他小组可以进行补充和质疑。教师对各小组的汇报进行总结和归纳，强调重点内容，解答学生的疑问，进一步完善学生对知识的理解。可以制作对比表格，在黑板上直观呈现平方根与算术平方根的区别和联系。 课堂小结（5 分钟） 引导学生回顾本节课所学的内容，提问学生：“通过本节课的学习，你学到了哪些重要的知识和方法？” 让学生从平方根的概念、表示方法、开平方运算以及平方根与平方的互逆关系等方面进行总结。 教师对学生的总结进行补充和完善，强调本节课的重点和难点，以及知识之间的内在联系。同时，鼓励学生在今后的学习中，要善于运用所学知识解决实际问题，不断提高自己的数学素养。可以让学生闭上眼睛，在脑海中回顾本节课的关键内容，然后再睁开眼睛分享自己的回顾成果。 布置作业（5 分钟） 基础作业： 完成课本上相关的练习题，进一步巩固平方根的概念和运算方法。 已知一个正数的平方根是\(3a - 2\)和\(a - 4\)，求这个正数的值。强化平方根性质的应用。 拓展作业： 查阅资料，了解平方根在数学发展历史中的重要意义，写一篇简短的数学小短文，培养学生自主探究和查阅资料的能力。 思考：如果\(a\)的平方根是\(\pm5\)，\(b\)的平方根是\(\pm6\)，那么\(a + b\)的平方根是多少？激发学生对知识的深入探究。 实践作业： 测量家里的一个正方形桌面的边长，计算出桌面的面积。然后假设面积变为原来的 3 倍，尝试估算边长变为多少，感受平方根在实际生活中的应用。 利用方格纸，画出面积为\(9\)平方厘米、\(16\)平方厘米、\(25\)平方厘米的正方形，测量它们的边长，验证平方根的概念。可以让学生拍照记录自己的实践过程，下节课分享。 六、教学反思 在教学过程中，要充分关注学生对平方根概念的理解和掌握情况，尤其是对于一个正数有两个平方根且互为相反数这一难点，要通过更多的实例、图形、数轴演示以及小组讨论等方式帮助学生理解。同时，要注重引导学生进行思考和讨论，培养学生的自主学习能力和合作探究精神。在练习环节，要根据学生的实际情况，及时调整练习的难度和题量，确保每个学生都能得到充分的锻炼。通过教学反思，不断改进教学方法和策略，提高教学质量。例如，在下次教学中，可以增加更多趣味性的练习活动，如平方根接力比赛等，提升学生的参与度。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1.了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系，发展抽象能力． 2．通过阅读课本，进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系，发展学生的推理能力． 3．通过经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，还巩固和提高所学知识的应用能力，发展应用意识． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 旧识回顾 1．什么是算术平方根？ 2．我们已经学习过哪些运算？哪些互为逆运算？ 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根 加法、减法、乘法、除法、乘方．加法、减法互逆，乘法、除法互逆 问题 9的算术平方根是3，也就是说3的平方是9，还有其他数， 它的平方等于9吗？ 3和-3有什么特征？ 由于（-3）2=9 ，所以还有，这个数是-3.因此平方等于9的数有两个，3和-3. 3和-3互为相反数，会不会是巧合呢? 探究新知 知识点 1 平方根的概念和特征 (1) 0.8的平方等于0.64，那么0.64的算术平方根就是_____ (2) 的平方等于，那么的算术平方根就是____ (3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边长为___m. 0.8 7 探究新知 做一做，想一想 问题 平方等于0.64，，49的数还有吗？ 6 写出左圈和右圈中的“？”表示的数： -11 11 0.6 0 没有 x2 x 8 -8 ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ -4 -0.6 64 121 0.36 0 探究新知 填一填，想一想 - 7 根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念： 例如： (±1)2=1，1的平方根为±1.　 探究新知 一般地，如果有一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫作二次方根）. 1. 121的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？ 4. -9有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数. 探究新知 3. 的平方根是什么？ ±11 ± 通过这些题目的解答，你能发现什么? 问题 （1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 有没有一个数的平方是负数？ 因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根. 探究新知 探究新知 归纳总结 平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根. 探究新知 根号 被开方数 根指数 可以省略 知识点 2 平方根的读法和表示 非负数a的平方根表示为： 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是-.它们互为相反数.这两个平方根合起来记作±，读作“正、负根号a”. ± 例如 探究新知 5的平方根表示为： 4的平方根表示为： 的平方根表示为： 0的平方根表示为: 规定: 0的平方根为0. +=0. -=0 ± ±， ±=± ±， ±，±=±2 求下列各数的平方根: (3) 0.0004 (5) 11 (4) (2) (1)64 (2) 探究新知 素养考点 1 求平方根 例 （-25）2 探究新知 （2）因为 ，所以 的平方根是 即 . （3）因为(±0.02)2=0.0004 ，所以0.0004的平方根是±0.02,即 解: （1） 因为（±8）2=64 ，64的平方根为±8, 即 . 探究新知 （4）因为(±25)2=（-25）2，所以（-25）2的平方根是±25,即 . （5）11的平方根是 . 求下列各数的平方根： （1）81； （2） ； （3）0.49; 解：（1）因为  (±9)2=81， （3）因为(±0.7)2=0.49， 所以0.49的平方根为±0.7． 所以81的平方根为±9． 巩固练习 即 . （2）因为 , 所以 的平方根是 ， 即 . 即 . 变式训练 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 平方 已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算. 知识点 2 平方与开方的关系 探究新知 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 ？运算 反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？ 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 探究新知 开平方与平方是什么关系？ a的平方根 底数 幂 被开方数 互为 逆运算 指数 根号 已知底数和指数求幂 已知幂和指数求底数 开平方运算 平方运算 探究新知 开平方与平方的对比填空 正数与零 任何数 幂 平方根 开方 平方 运算符号 适用范围 运算结果名称 性质 正数有 个平方根,它们是 ,零的平方根是 , 负数 . 正数的平方是 数; 零的平方是 ; 负数的平方是 数. 正 正 0 2 互为相反数 0 没有平方根 探究新知 1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. 平方根与算术平方根的联系与区别： 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3. 0的平方根是0，算术平方根也是0. 区别： 1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根. 联系： 探究新知 2.表示法不同：平方根表示为： 而算术平方根表示为 . 例　求下列各式的值： 探究新知 素养考点 1 开平方的有关计算 解：（1） ； （2） ； （3） . （1） （2） （3） 探究新知 小结 a 0 -a (a>0) (a=0) (a<0) 不一定相等，只有当a≥0时，它们才相等. 当a<0 时， 没有意义. 之间有什么关系？一定相等吗？ 与 1. 16的平方根是( ) D A. 2 B. C. 4 D. 返回 25 2. 下列关于平方根的说法： ①正数的平方根是正数； 的平方根是 ； 的平方根是 ； ④非负数 的平方根是非负数； 是 的一个平方根； 的平方根是 . 其中正确的有( ) A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 26 3. 教材P33例4 下列各式中，正确的是( ) B A. B. C. D. 4.若，则 ____. 5.下列各数：0，，，，， ， ，，，， ，其中一定有平方 根的数有___个. 6 返回 27 6.已知，则 的平方根是_____. 7.化简： ___. 2 返回 28 8. 教材P38习题 求下列各式中 的值： （1） ； 【解】因为，所以 . 所以.所以或 . 29 （2） . 因为,所以 . 所以 . 所以或 . 返回 9. 已知和都是非负数 的平方根， 求 的值. 佳佳的解题过程如下： 解：因为和都是非负数 的平方根， 所以，解得 ， 所以，所以 的值为9. 请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由. 31 【解】佳佳的解题过程不正确，理由如下： 因为和是非负数 的平方根， 所以当时，解得 ， 所以，所以 的值为9; 当时，解得，所以 , 所以 的值为1. 综上所述， 的值为1或9. 返回 32 10. 若与 的和是单项式，则 的平方根为( ) D A. 4 B. 8 C. D. 11.若的平方根是它本身，则 的值是___. 返回 33 12. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三 角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦 提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，， ， 记，则其面积 ，这个 公式也被称为海伦—秦九韶公式.若一个三角形的，，， 为四个连续正整数，则此三角形的面积为___. 6 返回 34 平方根 平方根的概念 开平方及相关运算 平方根的性质 课堂小结 谢谢观看！ $