云南省昆明市第一中学2026届高三上学期第二次联考数学试题

机密★启用前【考试时间：9月25日 14:30-16:30】 昆明市第一中学郑重声明：严禁提前考试、发放及网络传播试卷，违反此规定者取消其联考资格， 并追究经济和法律贵任；对于首位举报者，经核实奖励2000元。举报电话：0871-65325731 昆明市第一中学2026届高三年级第二次联考 数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华梁云虹刘皖明莫利琴毛孝宗凹婷波王佳文顾先成丁茵张远雄 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3。非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效。 4。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.在复平面内，复数：对应的点的坐标为(2,1)，则复数三的虚部为 B. 2.已知某总体分为两层，第一层总体数量为N1=80,第二层总体数量为N2=120,采用分层抽样抽取 样本，第一层样本平均数为1=5；第二层样本平均数为2=7，则该总体平均数的估计值为 A5.5 B.6.0 C.6.2 D.7.0 3.已知集合A={-1,1},集合B={xax+1=0,若B二A,则由实数a组成的集合为 A.1-1 B.1 C.1-1,1} D.0,-1,1} 4.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是 A.若a>b,则a+b>a-b B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b,c>d,那么a+d>b+c D.若a>b>0,则t> a+c a 数学·第1页（共4页） 5已知n(g+a-号，则c(停-2a)= N-号 a号 D号 6.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,已知点A(x,2√5)在C上，则|AF|= A.2 B.3 C.4 D.5 7.若数列|an|满足a1=1,an+an+1+aa+2+an+3=3(n∈N),则其前2025项的和为 A1517 B.1519 C.1521 D.1523 8在△ABC中，角4，B,C所对应的边分别为a,6,e已知器=22。，Sc=3￥，且6=， 则△ABC的周长为 A35 B.35+√3 C.25 D.3瓦 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知数列{an}的前n项和Sn,a1=1,当n≥2时，（2Sn-1)(Sn-an)+Sn=0,则 A.a10=-323 2 B.a10-323 C.Sto=-1 D.S0=8 10.对于函数f代)-华警，下列说法正确的是 A()在x=e处取得极大值品 B.f(x)有两个不同的零点 C.f2)<f(√m)<f(5) D.若)=a有两个不同的实根，则a的取值范围是(-0，。) 1.设双曲线C:号-茶=1(@>0,6>0)的左、右焦点分别为，月，点P在第一象限并且在双曲线 的渐近线上，且满足PF·PF=72,过P作y轴的垂线，垂足为Q,若四边形F,F2PQ为平行匹 边形，则下列选项中正确的是 AC的离心率为√2 B.四边形F1F2PQ的面积为8a2 C.|PF1-|PF212=7c2 D.点Q到双曲线的两条渐近线的距离之积为4b2 数学·第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a,b满足a=(2,2),2a+b=(3,4),则向量a与b的夹角为. 13.已知函数f(x)=e-1+ax2+1的图像在x=1处的切线与直线3x-y+1=0平行，则f(1)= 14.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2,8，体积为56，则该正四棱台的外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知椭圆E:专+苦=1(a>b>0)的左焦点为P(-6,0,点4e,会)在E上， (1)求椭圆E的离心率； (2)若O为坐标原点，直线OA与E相交的另一个交点为B,B关于y轴对称点为C,若四边形 AFBC的面积为2，求1h8k 16.(15分) 如图，三棱柱ABC-A1B,C1的高为V5,D,E,F分别是BC, A1C1,B,C,的中点，ABL平面ACC,A1,AB=AC=AA1=2. (1)证明：AD∥平面EFC; (2)求平面EFC与平面ABB,A1的夹角的大小. 17.(15分) 在平面四边形ABCD中，∠ABC=子T,AB⊥AD,AB= (1)若AC=√5，求△ABC的面积； (2)若LADC=石，CD=4,求si血LCMD, 数兴心 18.(17分) 已知函数f(x)=lnx-ax-1(aeR). (1)若f(x)存在两个零点，求实数a的取值范围； (2)设函数g(x)=(x),若g(x)有两个极值点x1,x2,证明：x1x2>e2. 19.（17分) 在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次， 以上过程记为一轮，如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过 程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放人一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如 此不断继续下去，直至成功， (1)某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验 的轮次数为X,求X的分布列和数学期望； (2)为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用表示成功 时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据： 1 2 4 5 232 98 60 40 20 求y关于：的回归方程了-+8，并预测当1=6时y的值： (3)若在前n轮就成功的概率为P,证明：P.<分 附：回归方程系数：方含-际·宁 -,a=y-6x; 参考数据：含=1.46，元=0,46,3=0.212（其中名=分，云=亏 数学·第4页（共4万） 昆明市第一中学2026届高三年级第二次联考 数学参考答案 命题、审题组教师杨昆华粱云虹刘皖明莫利琴毛孝宗凹婷波王佳文顾先成丁茵张远雄 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B B A 1,解析：由题意，2=2+i,则三_3_41，选D z55 2解析：总体平均数为：0×5+)20<7=62，选C 200200 3.解析：由题意，B=或B=←1}或B=},则a的值为0，-1和1，选D. 4.当b<0时，有a+b<a-b,A错误： 因为ac2>bc2,所以c≠0，所以c2>0,所以a>b,B正确： 取a=2,blc=0d=-l,显然a+d=b+c,C错误： b+c b 当c=0时，即a+ca,D错误，选B 5解标：因为ng小-后+a-5,所以g+0=9 3 所以cos(2g-20co(r-(胥+2a=-os24a+22sin21a+爱-1=了所以选B 6.解析：因为AF=x+1,点A满足y2=4x,又因为y=2√5，代入抛物线方程得x=3,综上可得， AF=4,选C 7.解析：a1=1,an+al+an+2+an3=3, S202s=41+(a2+a3+a4+a5)+(a6+a7+ag+ag)+…+(a2022+a2023+a2024+a2025) =1+506×3=1519,故选B 8.解析：因为osB=b sin B cosC 2a-c 2sin A-sinC' 整理可得：sinBcosC=2 sin Acos B-sinCcosB, sin BcosC+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A=2sin Acos B, 因为A为三角形内角，SmA0,所以cosB=)因为BeQ,)所以B= 3 1 42 2 24ac, 解得ac=3, 由余弦定理得3=a2+c2-ac=(a+c}-3ac=(a+c-9, 解得a+c=2W3.所以a+b+c=33,所以选A. 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AD AC ABD 9.解析：由n≥2时，(2Sn-1)S,-,)+Sn=0,可得2SnSn1=Sn1-Sn,整理得 1 1=2,月 以数列 1 是以1为首项，2为公差的等差数列，即】=2m-1, 1 2 则当n22时，a=S。-Sm=(2n-1)(2n- 所以，0品0可透AD 2 Sn 2n-1 10.解析：由已知，r(付)=1-2x,令f>0得0<x<6,令f<0得x>6,故 x3 在@，v6)上调递蝴，在(W,+四)单调递减，所以（的极大值为/(）。， A正确： 又令f(x)=0得lnx=0,即x=1,所以f(x)只有1个零点，B不正确： 函数在(W,+∞)上单词递减，因为2>V元>V5>Ve,所以f(2)()水f(5) 故C正确： 若f(x)=a有两个不同的实根，由f(x)在(0，Ve)上单调递增，在(We,+o)单调递减，所以f(x)的最大值 为f()名，当x→+o时，+0，故D不正跳 所以选：AC 11解析：由四边形R2,P为平行四边形，所以P2c,29,20,2c),代入题目中的向量的数量积解得 3+462_7e2 =，由c2=a2+b,解得6=1，故c=5a: 对于A,离心率e=C=√2，A正确 u 对于B,S-|5,=2c.2c=8a2,B正确 a 对于C,Pg=2c+o2+(2=Ec,同理P55c,所以PsP-Ps-8e2,C错误 2 对于D,点Q0,29),根据点到直线的距离公式，得d,d,=4b2,D正确选ABD 三、填空题 12.解析：由题意，石=(-1,0)，则cos(a,)= 日-6三5，则向量a与五的夹角为子 2 13.解析：函数f(x)=e+ax2+1的导数为f'(x)=e-+2ax, 由题意可得f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为2a+1, 由切线与直线3x-y+1=0平行，可得2u+1=3,解得a=1· 所以f()=3. 14.解析：如图所示，设球心为Q,半径为R,棱台的高为h, 由棱台的体积公式可得：4+64+10A=56,友=2， √2 r= xa 因为边长为a正方形的外接圆半径为2 所以L底面4BCD的外接圆半径=只二2 x2=√2 2 下底面18C0的外接圆半径540一 ×8=4W2 DI C 2 若球心在两平面之间，设球心0到上底面的距离O,0=, 10 则到下底面的距离为00=2-d(d<2) 03 由球心到各顶点的距离相等可得： A R2=A02=2+d2=2+d2=A02=+(2-d)}=32+(2-d) ,不符合题意： 若球心在两平面同侧，设球心0到上底面的距离00=d, 则到下底面的距离为00，=-2(>2) 由球心到各顶点的距离相等可得， R2=A02=2+d2=2+d”'=A02=5+(d-2}=32+(d-2} d-17 2 解得2，所以 R2=402=r2+d2=2+d2=297 4， 297 4π× -=297π 所以该正四棱台的外接球的表面积为 4 3 四、解答题 5.解，由题盒知，点《a号在E上，所以号+片1，所以精园E的高心丰为 2 …5分 (2)因为04过坐标原点，根据椭圆的对称性，点B的坐标为(6宁，点C的坐标为(d号，所以四 边形AFBC的是直角梯形，所以它的面积为2 2c-35,所以a=2b=1c=5,所以 2 2 1例=204=2+=E.…13分 1 16.解：(1)设AC的中点为O,连结AO,OD,因为OC业AE,所以AOCE为平行四边形，所以 AO//EC,又因为AO文平面EFC,ECc平面EFC,所以A,OM平面EFC; 因为0D分4B,EF兮A,所以OD/EF,又因为0na平面RC,EFc平面EFC, 所以ODM平而EFC,AO∩OD=O,所以平而AODM平面EFC, 而ADc平面AOD,所以AD∥平面EFC. …7分 (2)因为AB⊥平面ACCA,所以平面ABC⊥平面ACCA,过A做AC边上的垂线交AC于O',所以 AO⊥平面ABC,又因为三枚柱ABC-AB,C的高为V3,所以AO=√5， 由已知AB=AC=AA=2,所以AO'=1,即O与O重合，以OD,OCOA分别为x轴、y轴、z轴建 立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,V3),A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),(0,1V3),F1,1,V3), 所以CE=(0,0,V3),C℉=1,0,3)，AA=(0,1,3),AB=(2,0,0), ·元=0得元=0,10)， B 设平面EFC的法向量为，由 CF=0 设平面ABB,A的法向量为2，，由 ·M=0得元=0,5- n3·AB=0 设平面EF℃与平面ABB,A的夹角为日， 则cos8cos<m,历>H ng2一= 3 1%1x1P2 所以平面EFC与平面ABB,A的夹角为30°， …15分 4 17.解：(1)在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB·BC.cos.∠ABC, 即5=1+BC2+V2BC,解得BC=V2(舍负值)， 所以，△ABC的面积S=)AB-BC-sin∠ABC=)xIx2×2_ …7分 21 2 22 (2)设∠CAD=0,在△ADC中，由正弦定理得4C=4 ①， sinsin 6 在△ABC中，由正弦定理得4C ②，由①②两式相除得： 3π sin π 4 4 D Sin 3n 4sin日- 4 4 整理得sin0=2cos0,又sin20+cos20=1,所以 Sin sin 6 sin0=21 ,所以，sin∠C4D=25 5 …15分 18.解：(1)由题意，得f)=1-a(>0), 当a≤0时，'(x)>0,此时f()在(0，+o)上单调递增，f(x)只有一个零点： 当a>0时，f)>0台0<r<f)<0台x> a 当x→0时，f(x)--0,当x→+oo时，f(x)→-0， 此时f()在(0，与)上单调递增，在(，+∞)上单调递减， f(x)有最大值f(白)，若f()存在两个零点 则f白=n-2>0→1>e2→0<a<c,综上0<a<e2. …7分 (2)g(x)=xf(x)=xInx-ax2-x,g'(x)=Inx-2ax, g(x)有两个极值点x,x台g'()=g(3)=0,不妨设x<五， 所t以nx-2=0即2a=n5+ln五_n-ln5, Inx2 -2ax2 =0 +x2 x2-x1 立+lln点 所以lnx+lnx2= (nx-lhx)+x)」 X2-X 2-1 令1=点>1，所以1hx+in5=+n1 t-1 要证55>e,即证n5+n5>2,即证+l血>20>1）， t-1 5 即证n>2-分n1-2-06>）. t+1 t+1 0-m2e00-0. 所以h()在(L,+∞)上单调递增， 所以h0>h0=0,即h1-2-0. t+1 所以nx+lnx2>2成立，即xx2>e2成立 …17分 19.解：(1)由题意知，X的取值可能为1,2,3， 所以x==r-子x-2--安哈r-x==-台-（台门-号 1 所以X的分布列为 2 3 P 1 2 A 12 3 则X的数学期第E(X)=1x+2x+3x名 229 …5分 12 312 (2)令=，则=x+a.由题意知，】 2y=232+98±60+0+2035，=90 2345 x-57 所以6= 315-5×0.46×90 1.46-5×0.212 =270,a=y-=90-270×0.46=-34.2,y=270x-34.2 2 所以回归方程为：70-34.2. t 当t=6时，=10.8，故预测y的值约为10.8. …10分 (3)证明：由题意知在前n轮就成功的概率为 又因为在前n轮没有成功的概率为 1-a-0-20-岁-a+ =0-0+3x0-0+3x…x0-X+x-0+ n+1 n+1 1x3x2x4xxn-1xn+1xnxn+2=n+2=1+1_>1 I-n分所以1分散分 1 …17分 6