不等式的解法专项练习-2026届高三数学一轮复习

不等式的解法 基础性 1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B＝(　　) A．(0，2) B．(－1，0) C．(－3，2) D．(－1，3) 解析：B　由题意可得A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，所以A∩B＝(－1，0).故选B. 2．已知集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|≤1}，则A∩B＝(　　) A．(－2，－1) B．[－1，1) C．(－1，1) D．(－2，1) 解析：C　≤1等价于≤0，即≤0， 则解得－1<x≤2，故B＝{x|－1<x≤2}， 所以A∩B＝{x|－2<x<1}∩{x|－1<x≤2}＝{x|－1<x<1}＝(－1，1).故选C. 3．不等式x2－3|x|－10≥0的解集为(　　) A．(－∞，－5]∪[5，＋∞) B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[5，＋∞) D．[－5，5] 解析：A　x2－3|x|－10≥0⇔(|x|＋2)·(|x|－5)≥0⇔|x|≥5⇔x≥5或x≤－5，故选A. 4．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)(x－)>0的解集为(　　) A．{x|<x<t} B．{x|x>或x<t} C．{x|x<或x>t} D．{x|t<x<} 解析：D　原不等式可化为(x－t)(x－)<0.因为0<t<1，所以t<，所以原不等式的解集为{x|t<x<}．故选D. 5．(多选)若“≥0”是“－3<x<a”的充分不必要条件，则实数a的值可以是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：BCD　由≥0得2<x≤5，故“2<x≤5”是“－3<x<a”的充分不必要条件，所以{x|2<x≤5}⫋{x|－3<x<a}，故a>5，故选BCD. 6．关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有3个正整数根，则实数m的取值范围为(　　) A．(5，6] B．(5，6) C．(2，3] D．(2，3) 解析：A　关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0可化为(x－m)(x－2)<0. 因为该不等式的解集中恰有3个正整数， 所以不等式的解集为{x|2<x<m}，且5<m≤6，即实数m的取值范围为(5，6]. 7．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．－2≤a≤2 C．－2<a≤2 D．a<－2 解析：C　当a＝2时，原式化为－4<0，显然恒成立； 当a≠2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立， 则有a－2<0且Δ<0， 即 解得－2<a<2. 综上可得，－2<a≤2.故选C. 8．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－2<x<1}，则二次函数y＝2bx2＋4x＋a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为(　　) A．－1，－7 B．0，－8 C．1，－1 D．1，－7 解析：D　因为ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－2<x<1}， 所以－2，1是方程ax2＋bx＋2＝0的根，且a<0， 所以所以 则二次函数y＝2bx2＋4x＋a＝－2x2＋4x－1，其图象开口向下，对称轴为x＝1， 在区间[0，3]上，当x＝1时，函数取得最大值1，当x＝3时，函数取得最小值－7.故选D. 综合性 9．(2024·甘肃张掖模拟预测)若关于x的不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5] 内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，5) C．(－∞，－3) D．(－∞，2) 解析：D　不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，仅需(x2－6x＋2)max>a即可， 令f(x)＝x2－6x＋2，因为f(x)图象的对称轴为x＝－＝3，f(0)＝2，f(5)＝－3， 所以由一元二次函数的图象和性质，得(x2－6x＋2)max＝2， 所以a<2，故选D. 10．已知当－1≤a≤1时，x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，3) B．(－∞，1]∪[3，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：D　x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即(x－2)a＋x2－4x＋4>0对任意的a∈[－1，1]恒成立． 令f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1，1]， 当x＝2时，f(a)＝0，不符合题意，故x≠2， 当x>2时，函数f(a)在a∈[－1，1]上单调递增， 则f(a)min＝f(－1)＝－x＋2＋x2－4x＋4>0， 解得x>3或x<2(舍去). 当x<2时，函数f(a)在a∈[－1，1]上单调递减， 则f(a)min＝f(1)＝x－2＋x2－4x＋4>0，解得x<1或x>2(舍去). 综上所述，实数x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞).故选D. 11．(2025·山东菏泽段考)已知条件q：“不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集”，则条件p：“－2≤a<1”是条件q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　因为不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集， 所以不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0的解集是R， 当a2－4＝0，即a＝±2时， 若a＝2，则4x－1<0，解得x<(舍去)； 若a＝－2，则－1<0，x∈R； 当a2－4≠0时， 则 解得－2<a<. 综上所述，条件q中实数a的取值范围为－2≤a<， 所以条件p是条件q的充分不必要条件．故选A. 12．(多选)已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－8 C．－2<x1<x2<4 D．x2－x1>6 解析：ABD　已知关于x的不等式(x＋2)·(x－4)＋a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)， 所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两根． 所以x1＋x2＝2，A正确； x1x2＝a－8<－8，B正确； 所以x2－x1＝＝2>6，D正确； 因为x2－x1>6，x1＋x2＝2，取x2＝5，x1＝－3满足条件，但－2<x1<x2<4不满足，故C错误．故选ABD. 创新性 13．已知关于x的不等式x2－2ax－b2<0的解集为(m，n)，若n－m＝2，则＋的最小值是(　　) A．3＋2 B．6＋2 C．6＋4 D．12＋8 解析：C　由题意得m，n是方程x2－2ax－b2＝0的两个根，所以m＋n＝2a，mn＝－b2， (n－m)2＝(n＋m)2－4mn＝4a2＋4b2＝4，即a2＋b2＝1， 所以＋＝(＋)(a2＋b2)＝2＋4＋＋≥6＋2＝6＋4，当且仅当＝，即a2＝－1，b2＝2－时等号成立．故选C. 14．对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法： 解析：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)， 得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2，1)， 即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2，1). 参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为(－1，－)∪(，1)，则关于x的不等式＋<0的解集为　　　　　　. 解析：(－3，－1)∪(1，2)　 若关于x的不等式＋<0的解集为(－1，－)∪(，1)， 则关于x的不等式＋<0可看成上述不等式中的x用代入可得， 则∈(－1，－)∪(，1)，则x∈(－3，－1)∪(1，2). 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式的解法 基础性 1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B＝(　　) A．(0，2) B．(－1，0) C．(－3，2) D．(－1，3) 2．已知集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|≤1}，则A∩B＝(　　) A．(－2，－1) B．[－1，1) C．(－1，1) D．(－2，1) 3．不等式x2－3|x|－10≥0的解集为(　　) A．(－∞，－5]∪[5，＋∞) B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[5，＋∞) D．[－5，5] 4．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)(x－)>0的解集为(　　) A．{x|<x<t} B．{x|x>或x<t} C．{x|x<或x>t} D．{x|t<x<} 5．(多选)若“≥0”是“－3<x<a”的充分不必要条件，则实数a的值可以是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 6．关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有3个正整数根，则实数m的取值范围为(　　) A．(5，6] B．(5，6) C．(2，3] D．(2，3) 7．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．－2≤a≤2 C．－2<a≤2 D．a<－2 8．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－2<x<1}，则二次函数y＝2bx2＋4x＋a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为(　　) A．－1，－7 B．0，－8 C．1，－1 D．1，－7 综合性 9．(2024·甘肃张掖模拟预测)若关于x的不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5] 内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，5) C．(－∞，－3) D．(－∞，2) 10．已知当－1≤a≤1时，x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，3) B．(－∞，1]∪[3，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 11．(2025·山东菏泽段考)已知条件q：“不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集”，则条件p：“－2≤a<1”是条件q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．(多选)已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－8 C．－2<x1<x2<4 D．x2－x1>6 创新性 13．已知关于x的不等式x2－2ax－b2<0的解集为(m，n)，若n－m＝2，则＋的最小值是(　　) A．3＋2 B．6＋2 C．6＋4 D．12＋8 14．对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法： 解析：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)， 得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2，1)， 即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2，1). 参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为(－1，－)∪(，1)，则关于x的不等式＋<0的解集为　　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $