专题9.1 随机抽样、常用的统计图表（7重难点题型+高分技法+高考真题）-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题与模拟题为载体，系统整合抽样方法、统计图表、数字特征等核心统计知识，提炼“原理-图表-计算-推断”四层解题逻辑，培养数据意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机抽样、分层抽样|7题|抽样公平性原理，分层抽样比计算|从抽样方法到样本代表性，建立统计推断基础| |统计图表|8题|扇形图/折线图/条形图应用场景|数据可视化工具与信息提取的对应关系| |频率分布直方图|8题|频率/组距含义，中位数/平均数估计|数据整理到数字特征估计的转化逻辑| |百分位数|6题|百分位数计算步骤与应用|数据位置特征的量化描述方法| |样本的数字特征|10题|集中趋势（均/中/众数）与离散趋势（方差/标准差）计算|从数据特征到数据规律的归纳路径| |总体估计|7题|用样本估计总体的集中/离散趋势|样本到总体的统计推断思想| |分层方差|8题|分层抽样方差合成公式|分层数据的整体波动特征计算逻辑|

专题9-1 随机抽样、常用的统计图表 1．（2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 2．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 5．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______； 【答案】946 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、根据平均数求参数 【分析】设第二季度、第三季度分别为，利用平均数和中位数概念列出方程，解出即可. 【详解】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为，所以中位数即为. 因为中位数与平均数相等，所以, 所以2020年GDP总额：. 故答案为：946. 6．（2026·北京·高考真题）为了解某校高三年级学生的数学学习情况，随机抽查了200名高三年级学生某次考试的数学成绩，整理成下表： 成绩 人数 40 60 60 32 8 假设学生的数学成绩相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校高三年级学生这次考试的数学成绩低于120的概率； (2)从该校高三年级学生中随机抽取4人，估计在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率； (3)为分析该校高三年级学生的数学学习情况，可采用三种方法：将样本中每名学生数学成绩所在区间的左端点值、中点值和右端点值视为该生的数学成绩．分别将这三种方法得到的三组数学成绩的方差记为、和，判断、和的大小关系．（结论不要求证明）． 【答案】(1)根据表格数据，200名学生中有人的数学成绩低于120， 所以该校高三学生这次考试数学成绩低于120的概率可以估计为． (2)设事件：随机抽取1名学生，其数学成绩不低于120； 事件：随机抽取1名学生，其数学成绩低于94． 根据表格数据可知，概率和均可估计为0.2． 由题设可知：在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率等于． 故所求概率可以估计为. (3). 【难度】0.69 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、用频率估计概率、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）先求样本中数学成绩低于分的频率，再由频率估计概率； （2）先分别求事件成绩不低于分的概率和事件成绩小于分的概率，再由独立事件概率乘法公式求结论； （3）根据方差公式分别求，比较大小可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)岁； (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计平均数、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出； （3）根据条件概率公式即可求出． 【详解】（1）平均年龄     （岁）． （2）设“一人患这种疾病的年龄在区间”，所以 ． （3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： , 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为． 8 ．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 【答案】(1)第一四分位数为 ，中位数为 ； (2)（ⅰ）；（ⅱ），． 【难度】0.69 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解； （2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解. 【详解】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 重难点题型1 随机抽样、分层抽样 不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的． 1．（2026·重庆·模拟预测）某中学高三年级物理类考生与历史类考生人数之比为5：3.现用分层抽样的方法从两个类别的考生中抽取一个容量为8的样本.若从该样本中随机抽取3人参加座谈会，则物理类考生2人和历史类考生1人的不同抽取方法数为（　　） A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、实际问题中的组合计数问题 【详解】物理类考生与历史类考生人数之比为， 则抽取一个容量为8的样本中物理类考生有5人，历史类考生有3人， 抽取物理类考生2人和历史类考生1人的不同抽取方法数为. 2．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】设男生人数为，女生人数为，由题设可得女生及格人数，据此可得答案. 【详解】因男生，女生比例为. 设男生人数为，女生人数为，因全体学生的及格率为， 则及格学生人数为，又男生及格率为，则男生及格人数为， 女生及格人数为：，则女生及格率为. 3．（2026·云南保山·二模）下列说法中不正确的是（   ） A．一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 B．在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.007 D．将总体划分为三层，通过分层抽样，得到三层的样本平均数和样本方差分别为，，和，，，若，则总体方差 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、相关系数的意义及辨析、残差的计算、总体百分位数的估计 【详解】对于A，上四分位数（即第75百分位数）的计算位置为， 则上四分位数应取第6个数和第7个数的平均值，即，A正确； 对于B，相关系数的含义是两个变量没有线性相关关系，但可能存在非线性关系，B正确； 对于C，残差的定义是观测值与预测值之差，即， 则残差为，C正确； 对于D，设总体分为三层，各层样本容量为，总样本容量为. 各层样本平均数为，样本方差为. 总体方差. 当时，设， ， 即， 则总体方差等于， 仅当时，，而题目未说明各层样本容量相等（），不正确，故选D. 4．（2026·山东青岛·二模）某高中一、二、三年级的学生人数分别为600，600，800，为了解学生视力情况，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本，则抽取高三学生的人数为（    ） A．60 B．80 C．120 D．140 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【详解】因为用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本， 所以抽取高三学生的人数为. 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421 6606580562 6165643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 【答案】43 【难度】0.82 【知识点】随机数表法 【详解】从该随机数表第1行的第6个数字6开始，由左到右依次选取两个数字， 读取的数字对依次为：64(大于59，舍去)，42(选取，第1个)，16(选取，第2个)， 60(大于59，舍去)，65(大于59，舍去)，80(大于59，舍去)，56(选取，第3个)， 26(选取，第4个)，16(重复，舍去)，56(重复，舍去)，43（选取，第5个）， 故选出来的第5个个体的编号为43． 6．（2026·河北沧州·一模）第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在广东举行．广东某高中为调查该校学生对全运会的了解程度，利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了90人进行了问卷调查，其中高一、高二年级分别抽取了24人、30人，且高三年级共有学生1080人，则该高中学生总数为_____人． 【答案】2700 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由分层抽样的定义求得学校总人数. 【详解】由题意，高三年级中抽取了人， 设该高中三个年级的学生总数为人，由分层抽样的方法可知，解得， 即该高中学生总数为2700人． 故答案为：2700. 7．（2025·上海崇明·三模）某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为__________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据样本各层之比等于总体各层之比即可. 【详解】三个年级中抽取的人数比和三个年级学生的人数比一样， 所以高三的学生人数为. 故答案为： 重难点题型2 统计图表 统计图表的主要应用 扇形图：直观描述各类数据占总数的比例； 折线图：描述数据随时间的变化趋势； 条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 1．（2025·江西·模拟预测）随着消费者对食品安全和健康饮食的关注度的提升，中国有机燕麦作为有机食品中营养价值较高的产品，受到消费者青睐，下图为中国有机燕麦消费者调研样本构成，根据该图，下列说法正确的是（    ） A．中国有机燕麦消费者中女性不超过男性的2倍 B．超过的中国有机燕麦消费者月收入不高于15000元 C．超过半数的中国有机燕麦消费者年龄在31~40岁 D．中国有机燕麦消费者收入构成占比中的5个百分数的中位数是33.0% 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、计算几个数的中位数 【分析】利用中位数的定义结合从图表中获取的数据求解即可. 【详解】对于A，由图可得中国有机燕麦消费者中女性与男性占比分别为，，而，故A错误， 对于B，中国有机燕麦消费者月收入不高于元的占比为，故B错误， 对于C，中国有机燕麦消费者中年龄在31~40岁的占比为57.7%，故C正确， 对于D，中国有机燕麦消费者收入构成占比中的5个百分数的中位数是，故D错误. 故选：C. 2．（2026·河北邢台·二模）某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第个数据， 对乙车间产量排序后，第6个数据是月份的产量，不是6月份，A错误； 甲车间产量极差约为，乙车间产量极差约为，甲的极差小于乙的极差，B错误； 观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C错误； 第80百分位数为，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据， 从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确. 3．（2026·四川资阳·三模）甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、用众数的代表意义解决实际问题、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义和方差的概念来判断运动员命中环数的集中与分散程度即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 4．（2025·宁夏银川·模拟预测）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（    ） A．两组数据的平均数都是6分 B．两组数据的中位数都是6分 C．两组数据的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】分别计算甲、乙两组数据的平均数、中位数、极差和方差，然后逐一判断各选项的正确性. 【详解】甲组数据的平均数分. 乙组数据的平均数分. 所以两组数据的平均数均为分，A选项正确. 将甲组数据、、、、从小到大排列为、、、、，数据个数是奇数，最中间的数是，所以甲组数据的中位数为分. 将乙组数据，，，，从小到大排列为，，，，，数据个数是奇数，最中间的数是，所以乙组数据的中位数为分.B选项错误. 甲组数据中最大值是，最小值是，则甲组数据的极差为分. 乙组数据中最大值是，最小值是，则乙组数据的极差为分. 所以两组数据的极差相等，C选项正确. 对于甲组数据，，，则. 对于乙组数据，，，则. 因为，所以甲组的方差小于乙组的方差，D选项正确. 故选：B. 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）为了更好地应对新高考改革以及调整日常教学，某地区教育局对该地区的三所高中的二年级学生进行了抽样调查，采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加物理学科的抽样质量测试，其中A校、B校、C校的学生人数分别为300人、500人、200人，考试结束后对这1000名同学的物理成绩进行统计，得知A，B，C三所学校的高二年级的物理平均分依次为60分、75分、58分，则这1000名同学物理成绩的总平均分为__________分. 【答案】67.1 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数 【分析】利用平均数的求解公式可得答案. 【详解】由分层抽样的平均数计算可得总样本1000名同学物理成绩的总平均分为分. 故答案为：67.1 6．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，将在太空“出差”半年的翟志刚､王亚平､叶光富送回到阔别已久的祖国大地.神舟十三号载人飞行任务的圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段.某机构研究室通过随机抽样的方式，对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究，得到如下的统计结果： 根据调查结果，以下说法正确的是___________. ①在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少 ②在“曾有过航天梦想”的人群中，年龄越大，在航天相关方面的人均消费越少 ③在“曾有过航天梦想”的人群中，18-29岁在航天相关方面的总消费最多 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】观察“曾有过航天梦想”的人年龄分布图和在航天相关方面的人均消费可判断①②，再把各年龄阶段在航天相关方面的总消费算出，即可求出答案. 【详解】对于①，从曾有过航天梦想的年龄分布图可知，在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少，所以①正确； 对于②，在“曾有过航天梦想”的人群中，岁的消费最多，所以②错误； 对于③，设总人数为 ，18-29岁在航天相关方面的总消费约为：， 30-40岁在航天相关方面的总消费约为：， 41-53岁在航天相关方面的总消费约为：， 54岁及以上在航天相关方面的总消费约为：. 所以在“曾有过航天梦想”的人群中，18-29岁在航天相关方面的总消费最多. 故选：①③. 7．（2023·上海长宁·一模）甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中； ①甲城市日均气温的中位数与平均数相等 ②甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定 ③乙城市日均气温的极差为 ④乙城市日均气温的众数为 以上判断正确的是___________（写出所有正确判断的序号） 【答案】①④ 【难度】0.65 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据图表得到气温数据，依次计算每个选项得到答案. 【详解】甲城市的气温分别为：； 乙城市的气温分别为：. 对选项①：甲城市气温的中位数为；平均数为，正确； 对选项②：根据折线图知乙城市的日均气更温稳，错误； 对选项③：乙城市日均气温的极差为，错误； 对选项④：乙城市日均气温的众数为，正确. 故答案为：①④ 8．（24-25高二上·上海·阶段检测）某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位为87，则___________.    【答案】7 【难度】0.85 【知识点】观察茎叶图比较数据的特征、总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数计算方法，结合茎叶图可得. 【详解】由题意知，则第四位数为87，结合茎叶图可知. 故答案为：7 重难点题型3 频率分布直方图 （1）利用频率分布直方图求频率、频数； （2）利用频率分布直方图估计总体． （3）频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率． 1．（2026·山东聊城·二模）某科技创新攻关团队共100人，统计团队成员的年龄均在区间内，并得到如下频率分布直方图，则（    ） A．团队年龄在的成员所占比例为 B．团队年龄的极差大于25 C．团队年龄的平均数小于35 D．团队年龄的中位数在内 【答案】C 【难度】0.68 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据频率分布直方图，结合极差、平均数、中位数以及占比的定义列式计算即得； 【详解】对于A，根据频率分布直方图，团队年龄在的成员所占比例为， 故所占比例是，故A错误； 对于B，依题意，团队成员年龄均在区间内，所以极差小于25，故B错误； 对于C，根据频率分布直方图，团队年龄在区间的比例为， 在区间的比例为，故年龄的平均数一定小于， 显然年龄的平均数小于35，故C正确； 对于D，根据频率分布直方图，区间所占比例为0.7，故中位数一定小于30，故D错误. 2．（2026·辽宁·三模）某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【详解】从频率分布条形图中可得：阅读课外书为4本的频率是， 阅读课外书为5本的频率是. 每月阅读课外书数量不少于4本，包含阅读4本和阅读5本两种情况. 总频率为. 由频率估计概率，可知该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为. 3．（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出，进而求出长度在内的频率． 【详解】由题意知，，整理得，解得. 所以任取一个垫片为合格品的概率为：. 4．（2023·上海宝山·二模）如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图，则_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、茎叶图的优缺点与适用对象 【分析】根据茎叶图可得相应的频数，根据频率分布直方图可得相应的频率，根据频率与频数之间的关系列式求解. 【详解】由茎叶图可知：，的频数分别为5，2； 由频率分布直方图可得：每组的频率依次为， 设样本容量为， 则，解得， 故. 故答案为：. 5．（2025·辽宁·模拟预测）某水产单位对其投放的网箱产量（单位：）进行了样本统计，得到样本数据的频率分布直方图如下图所示，请根据频率分布直方图估计该水产单位所有网箱产量的上四分位数为__________. 【答案】49.375 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计 【分析】根据给定的频率分布直方图，利用上四分位数的定义计算得解. 【详解】上四分位数即为分位数，网箱产量在的频率分别为， 因此分位数，由，解得49.375， 所以所有网箱产量的上四分位数为49.375. 故答案为：49.375 6．（2024·山西·模拟预测）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：        则样本中停车时长在区间上的车辆数为______辆. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】利用频率直方图中频率之和为1求得的频率，进而求得的频数，从而得解. 【详解】依题意，设的频率为， 则，解得， 所以样本中停车时长在区间上的车辆数为. 故答案为：. 7．（2024·河北石家庄·三模）为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】利用直方图直方块总面积为，进行运算解出即可. 【详解】由直方图可知：组距为， 所以， 解得. 故答案为：. 8．（2026·福建泉州·模拟预测）某校从高中部抽出100名学生参加AI基础知识竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的48%分位数为__________分. 【答案】76 【难度】0.7 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】依题意，前三个小矩形的面积之和为， 前四个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这100名学生成绩的48%分位数为76分. 重难点题型4 百分位数 1．（2026·陕西·三模）某校举办了一次数学素养测评，旨在检验学生的逻辑思维与应用能力，以下是随机抽取的10名学生的成绩（满分100分）：65，71，83，86，87，88，91，92，94，98，则这10名学生数学成绩的第70百分位数为（     ） A．92 B．91.5 C．91 D．89.5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】按从小到大排列起来，根据百分位数的概念进行计算． 【详解】共10个数据，因为， 故第70百分位数为第7个数与第8个数的平均数，为． 2．（2026·陕西安康·模拟预测）现有一组数据2，4，8，12，16，20，则该组数据的第65百分位数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．16 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】先计算第65百分位数对应的位置，再根据百分位数的计算规则确定对应数值即可. 【详解】该组数据已经从小到大排列为：2，4，8，12，16，20，共个数据， 根据百分位数位置公式可得： ， 由于不是整数，取大于的最小整数， 因此第65百分位数为排序后第4个数据，即12. 3．（2026·江苏淮安·模拟预测）一组实数的上四分位数是（   ） A．12 B．13.5 C．15 D．20 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据四分位数的求法求得正确答案. 【详解】一共有个数字，，取第个数， 所以上四分位数是. 4．（2026·山东滨州·二模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第80百分位数为（   ） A．78 B．82 C．85 D．88 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】频率分布直方图的实际应用、总体百分位数的估计 【分析】由百分位数计算公式即可求解. 【详解】频率分布直方图中，所有区间的频率和为1， 可得 ， 因此： 各区间累计频率为： 频率，累计， 频率，累计， 频率，累计， 频率，累计 ， 因此第80百分位数落在区间 内， 根据百分位数计算公式：第80百分位数 . 5．（2026·上海·三模）小明连续记录了7天自己每天花在课外阅读上的时间（单位：min），分别为70，42，54，90，55，47，58，则这组数据的第60百分位数是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】对7个样本数据从小到大排序，可得：42,47,54,55,58,70,90；；因此排序后第5个数据就是第60百分位数，即58. 6．（2026·湖南怀化·模拟预测）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成下面的频率分布直方图，则______；x的第80百分位数为______. 【答案】 / / 【难度】0.81 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计 【详解】由图知，解得， 设销售额的第80百分位数为m，又， ，且，解得. 重难点题型5 样本的数字特征 （1）平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小． （2）方差的简化计算公式：或写成，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 1．（2026·福建·三模）已知样本数据7，8，9，10，a的平均数为8，则该样本的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的中位数、根据平均数求参数 【分析】根据样本数据的平均数得出，再用中位数的定义计算求解. 【详解】样本数据7，8，9，10，a的平均数为8， 则，所以， 则样本数据从小到大排列， 则该样本的中位数为. 2．（2026·广东广州·三模）为检验某气象预报模型的准确性，记录连续7天的温度预测误差（实际温度−预测温度，单位：℃），数据如下：，，1，0，，1，1. 下列关于这7天预测误差的统计描述中，正确的是（ ） A．这组数据的众数是 B．这组数据的平均数是0 C．这组数据的极差是5 D．这组数据的中位数是0 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据众数、平均数、极差、中位数的定义依次判断各项的正误. 【详解】将这7天的预测误差的7个数据从小到大排序，可得，，，0，1，1，1. 对于A，统计数据中出现的次数为3次，且次数最多，所以众数是，错误； 对于B，统计数据的平均数为，错误； 对于C，统计数据的极差为，错误； 对于D，根据中位数的定义，可得统计数据的中位数为，正确. 3．（2026·甘肃平凉·模拟预测）在2026年春节联欢晚会《武BOT》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应.节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒）数据如下： 甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012 乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013 则下列关于两组数据的统计结论，正确的是（    ） A．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 B．甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数 C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D．甲组数据的极差大于乙组数据的极差 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【详解】甲组平均数， 乙组平均数， 故，选项A错误， 两组数据均已按从小到大排序，共5个数据，中位数为第3个数据， 甲组中位数为，乙组中位数为，二者相等，选项B错误， 甲组方差， 乙组方差， 得到，选项C正确， 甲组极差为，乙组极差为， 故甲组极差小于乙组极差，选项D错误. 4．（2026·广东广州·三模）小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（    ）同学不用上台表演. A．小吴：平均数为，中位数为 B．小温：中位数为，众数为 C．小蔡：平均数为，方差为 D．小龙：中位数为，方差为 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【详解】若小吴的个点数分别是，满足选项A； 若小温的个点数分别是，满足选项B； 若小龙的个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D； 若小蔡的平均数为，又有点数，则个点数为，方差，不可能满足C，因此小蔡不会出现点数6， 故选：C． 5．（2026·重庆北碚·模拟预测）从预测雾霾动态，到预警水体污染；从评估森林碳汇，到守护生物多样性——AI正成为环境治理领域中一双敏锐的“无形之手”．某公司为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差=实际浓度-预测浓度，单位：）．如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差： 1 0 1 2 下列关于这7天预测误差的描述中，正确的是（   ） A．这组数据的众数仅是 B．这组数据的平均数是0 C．这组数据的极差是6 D．这组数据的中位数是0 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据题意，结合众数，中位数，和极差的定义，以及平均数的计算公式，逐项分析求解，即可得到答案. 【详解】将这7天的预测误差的7个数据从小到大排序，可得， 对于A，统计数据中和出现的次数都是两次，且次数最多， 所以众数是和，所以A错误； 对于B，统计数据的平均数为，所以B不正确； 对于C，统计数据的极差为，所以C错误； 对于D，根据中位数的定义，可得统计数据的中位数为，所以D正确. 6．（2026·贵州安顺·一模）已知数据的平均值为3，则的平均值为______． 【答案】7 【难度】0.9 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】利用平均数公式列式求解. 【详解】由数据的平均值为3，得， 所以的平均数为 . 7．（2026·福建福州·模拟预测）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的中位数约为__________.（精确到0.1） 【答案】 【难度】0.62 【知识点】由频率分布直方图估计中位数 【详解】根据频率分布直方图：前三个矩形频率和为， 设中位数为，则，解得. 所以中位数为 8．（2026·河南洛阳·模拟预测）下面是按从小到大顺序排列的两组数据： 甲：1，3，，10，13，15，19，22，27，30；乙：2，5，7，，20，30. 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则_____. 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的中位数、总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数和中位数定义即可列出式子计算求解. 【详解】因为，甲组数据的第百分位数为第三个数和第四个数的平均数，即, 乙组数据的中位数为，根据题意得，解得：， 故答案为： 9．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若一组数的众数为，平均数为，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的平均数 【分析】先根据众数的定义确定的值，再根据平均数公式计算的值，最后求. 【详解】依题意可得众数，平均数， 故. 故答案为：. 10．某次数学考试中20个人的成绩如下：101，103，107，110，112，113，116，123，124，125，125，125，126，128，134，135，137，139，144，148，若这组数据的众数为，中位数为，极差为，则___________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据众数、中位数和极差的定义逐个求解再求和即可 【详解】由题意，，，，故 故答案为： 重难点题型6 总体集中趋势或离散趋势的估计 总体离散程度的估计 标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小． 频率分布直方图的数字特征 （1）众数：最高矩形的底边中点的横坐标． （2）中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． （3）平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）某公司为了了解本公司职员的午餐费用情况，抽样调查了100位职员的午餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． (1)试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员午餐日平均费用的众数和平均数； (2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员午餐日平均费用不超过6元？ 【答案】(1) ，众数为，平均数为 (2) 人 【难度】0.85 【知识点】补全频率分布直方图、频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，根据最高矩形底边中点估计众数，利用各组中点值乘以频率之和估计平均数； （2）计算日平均费用不超过元的频率，再乘以总人数即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， ， 解得. 由图可知，最高矩形的组为，故众数的估计值为该组底边的中点值，即. 平均数为： 故，众数为，平均数为. （2）由频率分布直方图可知，午餐日平均费用不超过元的频率为： . 已知该公司共有名职员， 则估计该公司午餐日平均费用不超过元的职员人数为： （人）. 故估计该公司有名职员午餐日平均费用不超过元. 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 【答案】(1)； (2)从第，，组应依次抽取人，人，人； (3). 【难度】0.82 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）利用频率分布直方图各小长方形面积和为1列式求解. （2）由分层抽样的抽样比求解. （3）由频率分布直方图计算出随机抽取学生所得测试分数的平均值. 【详解】（1）由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得， 所以. （2）由频率分布直方图知，第2，3，4组的学生人数之比为， 所以每组抽取的人数分别为：第2组抽人；第3组抽人；第4组抽人. （3）抽取学生测试分数的平均值为. 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)估算样本的中位数； (2)已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 【答案】(1)75 (2)28.2 【难度】0.66 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算出样本的中位数. （2）利用分层抽样的方差公式计算即得． 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得，    数据在的频率为，在的频率为， 所以样本的中位数约为. （2）由（1）知数据在上与上的频率之比为， 因此样本数据的总平均重量（克），             所以总方差. 4．（2025·上海闵行·一模）小闵同学某一天进行了10次100米短跑集训，其中上午进行了6次，下午进行了4次；如下是他上午集训6次的成绩（单位：s）：、、、、、. (1)求这6次成绩的中位数； (2)参考这一天上午集训的数据，用经验概率估计概率，求该同学训练100米短跑3次至少有一次用时小于13s的概率； (3)若该同学下午4次的集训原始成绩记录丢失，但记得这4次的平均成绩是14.25s，方差是0.75，求他这一天10次训练成绩的平均值和方差. 【答案】(1)； (2)； (3)均值，方差. 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）将数据由小到大排列，然后由中位数定义求解可得； （2）根据上午的成绩，由频率估计概率的方法求出用时小于13s的概率，然后由相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解可得； （3）利用分层平均数和分层方差公式求解即可. 【详解】（1）将这6次成绩从小到大排列为: 12.9、13.3、13.7、13.9、14.9、15.3， 这6次成绩的中位数为：； （2）用时小于13s的概率为：，所以该同学训练100米短跑3次至少有一次用时小于13s的概率为： ； （3）上午六次的成绩平均数为： ， 上午六次的方差为： ， 设下午四次成绩平均数为 ，下午四次的方差为 ， 总的平均数为： ， 总的方差为： 5．（2025·上海崇明·一模）为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动．活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）．已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据． (1)分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数； (2)从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率； (3)记甲组志愿服务时长的方差为；在甲组中增加一名学生得到“新甲组”，若的志愿服务时长为27，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；若的志愿服务时长为20，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；通过计算比较的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据百分位数的定义计算即可； （2）根据古典概型和分步乘法计数原理计算即可； （3）利用方差公式计算各方差，结合方差的统计意义解释即可. 【详解】（1）因为，所以甲组学生服务时长的第70百分位数为； 因为，所以乙组学生服务时长的第70百分位数为； （2）因为甲组有9名学生，乙组有10名学生，根据分步乘法计数原理，从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，有种选取方法， 又甲、乙两组学生中各有3人的服务时长超过30小时，所以抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时有种选取方法， 记事件“抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时”，则， 故从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率为； （3）对甲组： 甲组9名学生服务时长的平均数为， 甲组志愿服务时长的方差为， 对新甲组1：，所以. 对新甲组2：，所以. 所以. 数学解释：由于甲组均值为27，方差反映了数据的离散程度，当增加数据27（原样本均值），数据相对更集中，所以方差变小；当增加数据20，数据更加分散，方差变大. 6．（24-25高三下·北京·阶段检测）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题. (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为： (3) 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）由古典概型得到答案； （2）由二项分布得到分布列和数学期望； （3）由方差的计算公式得到答案. 【详解】（1）由表格得，抽出的名学生中，男女生各有名，所以男女生各随机选取一人，共有种组合， 设“男生成绩高于女生成绩”为事件，则 ，共有种组合，所以， 即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为； （2）由表格知，在抽取的名学生中，成绩为优秀（分）的有人， 由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为， 因此，从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数，的取值范围为， ， ， 所以的分布列为： 数学期望； （3），原因如下： 男生的平均成绩为， 则， 女生的平均成绩为， 则， 从参加活动的男生中抽取成绩为87分的男生与表中男生组成新的男生样本， 则， ， 所以. 7．（2025·北京·三模）某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获得数据如下表： 甲同学 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5 乙同学 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9 已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立. (1)从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率； (2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的分布列和期望： (3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为和，试比较和的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2) X 0 1 2 3 P 期望 (3)相等 【难度】0.65 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先算出甲同学“得分达到良好”的个数，再利用古典概型求解即可； （2）先算出乙同学“得分达到优秀”的个数，用样本估计总体，发现X服从二项分布，计算相关情况概率，写出分布列并计算期望； （3）分别求出甲乙样本的均值与方差比较即可. 【详解】（1）根据题意甲同学“得分达到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5共6个， 所以从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率为. （2）乙同学“得分达到优秀”的有：8.5，9，9.5，9共4个， 所以乙同学所以数学小练习中“得分达到优秀”的概率为， 从中随机抽取3份，随机变量X服从二项分布， ，， ，， 所以分布列为 X 0 1 2 3 P 期望. （3）根据题意样本中甲同学成绩的均值 ， 乙同学成绩的均值， 所以甲同学成绩的方差， 乙同学成绩的方差， 所以甲、乙两位同学小练习成绩的方差相等. 重难点题型7 分层方差 分层随机抽样的方差 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，，方差分别为，则这个样本的方差为 1．（2026·山东烟台·模拟预测）某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（    ） A．148 B．150 C．152 D．154 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】估计总体的方差、标准差 【详解】由于两类从业者总人数均为10万，权重均为，分别为两组的样本平均， 两类职业满意度的总体均值的估计值， 又为两组的样本方差，代入数值计算：， 因此总体方差的估计值. 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知一组样本数据，…，的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】由数据的平均数没有变，得到去掉的数据为6，根据方差列出关于的方程，进而求解得的值. 【详解】由已知得， 因为删除某个数据后，平均数没有变化，故删除掉的数据为6， 因为去掉数据6后方差变为30， 故，解得． 3．（2026·安徽·模拟预测）已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】根据平均数求参数、估计总体的方差、标准差 【详解】∵，， ∴，则； 则新的样本数据的方差为， 故，. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）若样本数据的平均数为，方差为，则样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】先利用方差公式展开，结合已知的平均数，推导出数据平方和的总和，再除以数据个数，即可得到平方后数据的平均数． 【详解】由，得， 由，得，即， 所以，解得， 所以样本数据的平均数为． 5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知一组数据1，2，3，4，a的方差为2，且，则__________． 【答案】5 【难度】0.7 【知识点】根据平均数求参数、计算几个数据的极差、方差、标准差、根据方差、标准差求参数 【详解】因为数据1，2，3，4，a的平均数为 则, 解得或， ， ． 6．（2026·福建福州·模拟预测）已知样本数据，，…，的平均数为6，方差为9．前五个数据，，，，的平均数7，方差为6，则后十个数据，，…，的方差是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差 【详解】由题意得，，， ，， 则，，， ， 则， 则， 故后十个数据，，…，的方差是 7．（2026·广东广州·三模）在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 【答案】12 【难度】0.62 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】先求总均值，再用“层内方差+均值差平方”按样本占比加权求和 【详解】由题，设第1层样本量为，第2层样本量为，则， 分层抽样方差 8．（2026·湖南岳阳·三模）采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本．已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为______．（方差计算公式：，其中为总样本容量，为分层的层数，为第层的样本容量，为第层的样本方差；为第层的样本均值，为所有样本的总均值） 【答案】21 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、估计总体的方差、标准差 【详解】依题意，总的样本容量，总样本均值， 代入公式计算： ． 故方差为21． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9-1 随机抽样、常用的统计图表 1．（2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 5．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______； 6．（2026·北京·高考真题）为了解某校高三年级学生的数学学习情况，随机抽查了200名高三年级学生某次考试的数学成绩，整理成下表： 成绩 人数 40 60 60 32 8 假设学生的数学成绩相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校高三年级学生这次考试的数学成绩低于120的概率； (2)从该校高三年级学生中随机抽取4人，估计在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率； (3)为分析该校高三年级学生的数学学习情况，可采用三种方法：将样本中每名学生数学成绩所在区间的左端点值、中点值和右端点值视为该生的数学成绩．分别将这三种方法得到的三组数学成绩的方差记为、和，判断、和的大小关系．（结论不要求证明）． 7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 8 ．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 重难点题型1 随机抽样、分层抽样 不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的． 1．（2026·重庆·模拟预测）某中学高三年级物理类考生与历史类考生人数之比为5：3.现用分层抽样的方法从两个类别的考生中抽取一个容量为8的样本.若从该样本中随机抽取3人参加座谈会，则物理类考生2人和历史类考生1人的不同抽取方法数为（　　） A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 2．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南保山·二模）下列说法中不正确的是（   ） A．一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 B．在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.007 D．将总体划分为三层，通过分层抽样，得到三层的样本平均数和样本方差分别为，，和，，，若，则总体方差 4．（2026·山东青岛·二模）某高中一、二、三年级的学生人数分别为600，600，800，为了解学生视力情况，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本，则抽取高三学生的人数为（    ） A．60 B．80 C．120 D．140 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421 6606580562 6165643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 6．（2026·河北沧州·一模）第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在广东举行．广东某高中为调查该校学生对全运会的了解程度，利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了90人进行了问卷调查，其中高一、高二年级分别抽取了24人、30人，且高三年级共有学生1080人，则该高中学生总数为_____人． 7．（2025·上海崇明·三模）某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为__________. 重难点题型2 统计图表 统计图表的主要应用 扇形图：直观描述各类数据占总数的比例； 折线图：描述数据随时间的变化趋势； 条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 1．（2025·江西·模拟预测）随着消费者对食品安全和健康饮食的关注度的提升，中国有机燕麦作为有机食品中营养价值较高的产品，受到消费者青睐，下图为中国有机燕麦消费者调研样本构成，根据该图，下列说法正确的是（    ） A．中国有机燕麦消费者中女性不超过男性的2倍 B．超过的中国有机燕麦消费者月收入不高于15000元 C．超过半数的中国有机燕麦消费者年龄在31~40岁 D．中国有机燕麦消费者收入构成占比中的5个百分数的中位数是33.0% 2．（2026·河北邢台·二模）某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 3．（2026·四川资阳·三模）甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（2025·宁夏银川·模拟预测）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（    ） A．两组数据的平均数都是6分 B．两组数据的中位数都是6分 C．两组数据的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）为了更好地应对新高考改革以及调整日常教学，某地区教育局对该地区的三所高中的二年级学生进行了抽样调查，采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加物理学科的抽样质量测试，其中A校、B校、C校的学生人数分别为300人、500人、200人，考试结束后对这1000名同学的物理成绩进行统计，得知A，B，C三所学校的高二年级的物理平均分依次为60分、75分、58分，则这1000名同学物理成绩的总平均分为__________分. 6．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，将在太空“出差”半年的翟志刚､王亚平､叶光富送回到阔别已久的祖国大地.神舟十三号载人飞行任务的圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段.某机构研究室通过随机抽样的方式，对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究，得到如下的统计结果： 根据调查结果，以下说法正确的是___________. ①在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少 ②在“曾有过航天梦想”的人群中，年龄越大，在航天相关方面的人均消费越少 ③在“曾有过航天梦想”的人群中，18-29岁在航天相关方面的总消费最多 7．（2023·上海长宁·一模）甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中； ①甲城市日均气温的中位数与平均数相等 ②甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定 ③乙城市日均气温的极差为 ④乙城市日均气温的众数为 以上判断正确的是___________（写出所有正确判断的序号） 8．（24-25高二上·上海·阶段检测）某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位为87，则___________.    重难点题型3 频率分布直方图 （1）利用频率分布直方图求频率、频数； （2）利用频率分布直方图估计总体． （3）频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率． 1．（2026·山东聊城·二模）某科技创新攻关团队共100人，统计团队成员的年龄均在区间内，并得到如下频率分布直方图，则（    ） A．团队年龄在的成员所占比例为 B．团队年龄的极差大于25 C．团队年龄的平均数小于35 D．团队年龄的中位数在内 2．（2026·辽宁·三模）某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 3．（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 4．（2023·上海宝山·二模）如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图，则_________． 5．（2025·辽宁·模拟预测）某水产单位对其投放的网箱产量（单位：）进行了样本统计，得到样本数据的频率分布直方图如下图所示，请根据频率分布直方图估计该水产单位所有网箱产量的上四分位数为__________. 6．（2024·山西·模拟预测）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：        则样本中停车时长在区间上的车辆数为______辆. 7．（2024·河北石家庄·三模）为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为______． 8．（2026·福建泉州·模拟预测）某校从高中部抽出100名学生参加AI基础知识竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的48%分位数为__________分. 重难点题型4 百分位数 1．（2026·陕西·三模）某校举办了一次数学素养测评，旨在检验学生的逻辑思维与应用能力，以下是随机抽取的10名学生的成绩（满分100分）：65，71，83，86，87，88，91，92，94，98，则这10名学生数学成绩的第70百分位数为（     ） A．92 B．91.5 C．91 D．89.5 2．（2026·陕西安康·模拟预测）现有一组数据2，4，8，12，16，20，则该组数据的第65百分位数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．16 3．（2026·江苏淮安·模拟预测）一组实数的上四分位数是（   ） A．12 B．13.5 C．15 D．20 4．（2026·山东滨州·二模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第80百分位数为（   ） A．78 B．82 C．85 D．88 5．（2026·上海·三模）小明连续记录了7天自己每天花在课外阅读上的时间（单位：min），分别为70，42，54，90，55，47，58，则这组数据的第60百分位数是__________． 6．（2026·湖南怀化·模拟预测）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成下面的频率分布直方图，则______；x的第80百分位数为______. 重难点题型5 样本的数字特征 （1）平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小． （2）方差的简化计算公式：或写成，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 1．（2026·福建·三模）已知样本数据7，8，9，10，a的平均数为8，则该样本的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2026·广东广州·三模）为检验某气象预报模型的准确性，记录连续7天的温度预测误差（实际温度−预测温度，单位：℃），数据如下：，，1，0，，1，1. 下列关于这7天预测误差的统计描述中，正确的是（ ） A．这组数据的众数是 B．这组数据的平均数是0 C．这组数据的极差是5 D．这组数据的中位数是0 3．（2026·甘肃平凉·模拟预测）在2026年春节联欢晚会《武BOT》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应.节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒）数据如下： 甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012 乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013 则下列关于两组数据的统计结论，正确的是（    ） A．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 B．甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数 C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D．甲组数据的极差大于乙组数据的极差 4．（2026·广东广州·三模）小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（    ）同学不用上台表演. A．小吴：平均数为，中位数为 B．小温：中位数为，众数为 C．小蔡：平均数为，方差为 D．小龙：中位数为，方差为 5．（2026·重庆北碚·模拟预测）从预测雾霾动态，到预警水体污染；从评估森林碳汇，到守护生物多样性——AI正成为环境治理领域中一双敏锐的“无形之手”．某公司为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差=实际浓度-预测浓度，单位：）．如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差： 1 0 1 2 下列关于这7天预测误差的描述中，正确的是（   ） A．这组数据的众数仅是 B．这组数据的平均数是0 C．这组数据的极差是6 D．这组数据的中位数是0 6．（2026·贵州安顺·一模）已知数据的平均值为3，则的平均值为______． 7．（2026·福建福州·模拟预测）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的中位数约为__________.（精确到0.1） 8．（2026·河南洛阳·模拟预测）下面是按从小到大顺序排列的两组数据： 甲：1，3，，10，13，15，19，22，27，30；乙：2，5，7，，20，30. 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则_____. 9．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若一组数的众数为，平均数为，则__________. 10．某次数学考试中20个人的成绩如下：101，103，107，110，112，113，116，123，124，125，125，125，126，128，134，135，137，139，144，148，若这组数据的众数为，中位数为，极差为，则___________. 重难点题型6 总体集中趋势或离散趋势的估计 总体离散程度的估计 标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小． 频率分布直方图的数字特征 （1）众数：最高矩形的底边中点的横坐标． （2）中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． （3）平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）某公司为了了解本公司职员的午餐费用情况，抽样调查了100位职员的午餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． (1)试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员午餐日平均费用的众数和平均数； (2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员午餐日平均费用不超过6元？ 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)估算样本的中位数； (2)已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 4．（2025·上海闵行·一模）小闵同学某一天进行了10次100米短跑集训，其中上午进行了6次，下午进行了4次；如下是他上午集训6次的成绩（单位：s）：、、、、、. (1)求这6次成绩的中位数； (2)参考这一天上午集训的数据，用经验概率估计概率，求该同学训练100米短跑3次至少有一次用时小于13s的概率； (3)若该同学下午4次的集训原始成绩记录丢失，但记得这4次的平均成绩是14.25s，方差是0.75，求他这一天10次训练成绩的平均值和方差. 5．（2025·上海崇明·一模）为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动．活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）．已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据． (1)分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数； (2)从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率； (3)记甲组志愿服务时长的方差为；在甲组中增加一名学生得到“新甲组”，若的志愿服务时长为27，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；若的志愿服务时长为20，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；通过计算比较的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象． 6．（24-25高三下·北京·阶段检测）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题. (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论） 7．（2025·北京·三模）某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获得数据如下表： 甲同学 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5 乙同学 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9 已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立. (1)从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率； (2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的分布列和期望： (3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为和，试比较和的大小（结论不要求证明）. 重难点题型7 分层方差 分层随机抽样的方差 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，，方差分别为，则这个样本的方差为 1．（2026·山东烟台·模拟预测）某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（    ） A．148 B．150 C．152 D．154 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知一组样本数据，…，的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2026·安徽·模拟预测）已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）若样本数据的平均数为，方差为，则样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知一组数据1，2，3，4，a的方差为2，且，则__________． 6．（2026·福建福州·模拟预测）已知样本数据，，…，的平均数为6，方差为9．前五个数据，，，，的平均数7，方差为6，则后十个数据，，…，的方差是__________． 7．（2026·广东广州·三模）在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 8．（2026·湖南岳阳·三模）采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本．已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为______．（方差计算公式：，其中为总样本容量，为分层的层数，为第层的样本容量，为第层的样本方差；为第层的样本均值，为所有样本的总均值） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $