24.8 综合与实践 进球线路与最佳射门角 导学案 2024-2025学年沪科版（2012）数学九年级下册

该初中数学导学案围绕“进球线路与最佳射门角”展开，核心探究同弦对应的圆内角、圆周角、圆外角的大小关系。通过足球射门情境导入，结合横向和直向跑动时射门角的变化规律，引导学生从已学圆周角知识延伸，借助预习问题搭建支架，归纳最佳射门点为过球门两点的圆与跑动路线相切的切点。 资料以真实情境激发兴趣，体现“会用数学的眼光观察现实世界”，通过猜想、简证、归纳的探究过程培养“数学思维”中的推理意识。合作探究任务驱动设计，结合切线、圆周角等知识综合应用，帮助学生用数学语言表达结论，提升模型意识和应用能力，适合课堂探究与自主学习。

24.8　综合与实践　进球线路与最佳射门角 素养目标 1.探究同一条弦对应的圆周内的角,圆周上的角和圆周外的角的关系. 2.借助弦对应圆周角探索最佳射门角的过程,归纳一般性的结论. ◎重点:弦对应的圆周内的角、圆周角和圆周外的角的大小关系. 【预习导学】 知识点一：圆内角、圆上角、圆外角的关系 阅读课本本课时相关的内容,思考: 1.射门角:如图,A,B表示球门边框的两个底端点,C为射门点,则∠ACB为射门角. 在不考虑其他因素的情况下:一般地,射门角∠ACB越　 　,射门进球的可能性就越大.  2.如图1,AB表示球门,直线l为横向跑动线路,点C为射门点,C0为球门中心线与跑动路线l的交点,∠ACB为射门角度.点C自左向右移动的过程中,射门角度的变化规律是先　 　,后　 　,当射门点在点　 　时射门角度最大.  简证:如图2,过A,B,C0三点作☉O,交BC于点D,连接AD,则∠ADB　 　∠ACB,∠ACB　 　∠AC0B,∠AEB　 　∠AC0B,所以,∠AEB　 　∠AC0B　 　∠ACB,即运动员带球沿着直线l横向跑动时,他离球门的中心线越近,射门角就越　 　,在直线l上的最佳射门角的位置为点C0,直线l距离球门AB越近,最佳射门角就越大.  归纳总结　1.横向跑动最佳射门点C0为过A,B,C三点的圆与直线l　 　时的切点位置.  2.我们可以得到,在弦的同侧,圆内角　 　圆上角　 　圆外角.  知识点二：切点的作用 阅读课本本课时“问题1”“问题2”的内容,思考下列问题. 1.如图1,AB为球门,点D在线段AB延长线上,运动员沿CD直向跑动时,点C为射门点的位置,猜想:此时的最佳射门点在　 　.请利用图2证明你的猜想.  2.如图1,若向左平移直线l到l',足球运动员沿l'向球门AB方向跑动. (1)射门角度的大小会如何变化? (2)直线l'上的最佳射门角度与直线l上的最佳射门角度有何区别? 归纳总结　直向跑动最佳射门点C'为过A,B,C三点的圆与直向跑动的方向(直线l)　 　时的切点位置.  【合作探究】 任务驱动一 过三点的圆的半径 1.如图,AB⊥CD,经过A,B两点的☉O与CD相切于点E,M为AB的中点.求证:OB=MD. 任务驱动二 圆周角和圆心角 2.如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD. (1)M是弧CAD上一点(不与C,D重合),求证:∠CMD=∠COB. (2)点N在劣弧CD上(不与C,D重合),探究∠CND与∠COB的数量关系. 任务驱动三 切线、弦的简单综合 3.如图,从点P向☉O引两条切线PA,PB,切点为A,B,AC为弦,BC为☉O的直径.若∠P=60°,PB=2 cm,求AC的长. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.大 2.增大　减小　C0　>　<　>　>　>　大 归纳总结　1.相切　2.>　> 知识点二 1.过A、B、C三点的圆与直线CD相切的切点处 2.(1)过A、B、C'三点作圆,与直线l'相切于点C',跑动过程中越接近切点,射门角度越大,越远离切点,射门角度越小. (2)最佳射门角度变大了. 归纳总结　相切 【合作探究】 任务驱动一 1.证明:连接OE,OM(图略).则OE⊥CD,OM⊥AB. ∵AB⊥CD, ∴四边形MOED是矩形, ∴OE=MD. ∵OE=OB, ∴OB=MD. 任务驱动二 2.解:(1)(图略)连接CA、AD, ∠CMD=∠CAD=∠COD=∠COB. (2)∵∠CND=180°-∠CAD=180°-∠COB, ∴∠CND+∠COB=180°. 任务驱动三 3.解:连接OA、OP(图略).则∠AOB=120°,△AOC为等边三角形. 在直角三角形POB中,由于PB=2,∠POB=60°,求得OB=,∴AC=OB=(cm). 学科网（北京）股份有限公司 $