1.1 认识勾股定理-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

1.1 认识勾股定理 第一章 勾股定理 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 1.1 认识勾股定理教案 一、教材分析 《新版北师大版八年级数学上册》第 1.1 节 “探索勾股定理” 是在学生学习了平面几何基本概念和性质的基础上进一步深入学习的内容。本节主要让学生通过探究、推理、验证等过程，理解和掌握勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。教材通过丰富的背景材料，引导学生参与探究活动，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。勾股定理是数学中的重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为后续学习直角三角形的相关知识以及解决实际问题奠定了基础。 二、学情分析 八年级的学生已具备一定的数学基础，对平面几何的基本概念和性质有了一定了解。但在学习过程中，学生可能对勾股定理的理解停留在死记硬背上，缺乏对定理形成的探究过程。因此，在教学过程中，教师需引导学生参与课堂活动，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，帮助学生理解勾股定理的本质。 三、教学目标 知识与技能目标：让学生通过观察、探究、推理、验证等过程，理解并掌握勾股定理；能够熟练运用勾股定理进行简单的计算，已知直角三角形的两边能求出第三边的长度。 过程与方法目标：培养学生的逻辑思维能力和探究能力，使学生经历 “观察 — 猜想 — 归纳 — 验证” 的数学思想过程，体会数形结合和特殊到一般的思想方法；提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，学会将实际问题转化为数学模型并求解。 情感态度与价值观目标：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，增强学生学习数学的自信心；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国、热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。 四、教学重难点 重点：理解和掌握勾股定理，能够清晰地表述勾股定理的内容，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；学会运用勾股定理解决一些简单的与直角三角形边长计算相关的数学问题以及实际生活中的问题。 难点：对勾股定理的探究过程和方法的理解。引导学生通过自主探究，从特殊的直角三角形（如等腰直角三角形）到一般的直角三角形，发现三边之间的数量关系，并通过合理的推理和验证得出勾股定理；帮助学生理解勾股定理证明过程中所运用的数学思想和方法，如面积法等。 五、教学方法 引导探究法：教师引导学生通过观察、实验、推理、验证等方法，自主探究勾股定理。在探究过程中，教师提出问题，引导学生思考，让学生逐步发现直角三角形三边的关系。 案例分析法：教师通过提供具体的背景材料和实际案例，引导学生运用勾股定理解决实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 小组合作法：组织学生进行小组合作交流，共同探究勾股定理。在小组合作中，学生相互讨论、相互启发，培养学生的团队合作精神和沟通能力，同时也能让学生从不同角度思考问题，拓展思维。 六、教学准备 准备相关的背景材料和案例，如生活中涉及直角三角形边长计算的实际问题案例，用于引导学生探究和分析。 准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等，用于展示勾股定理的相关图形、动画演示以及背景资料等，帮助学生更直观地理解勾股定理。 准备练习题和测试题，包括基础练习题、拓展练习题以及课堂小测试题等，用于巩固和评价学生的学习效果。 为每个小组准备若干个不同规格的直角三角形纸片、方格纸、直尺等学具，方便学生进行探究活动。 七、教学过程 导入（5 分钟） 教师通过提问方式引导学生回顾平面几何基本概念和性质，如直角三角形的定义、内角和等知识，为新课的学习做好铺垫。例如：“同学们，我们之前学习了直角三角形，谁能说一说直角三角形有什么特点？” 展示 2002 年世界数学家大会的会标图片，向学生介绍会标中心的图案与 “勾股定理” 有关，数学家甚至曾建议用 “勾股定理” 的图来作为与 “外星人” 联系的信号，引发学生对勾股定理的好奇心和探究欲望，从而引出本节课的课题 —— 探索勾股定理。 呈现（10 分钟） 教师展示相关的背景材料，如投影显示如下地板砖示意图（教材中的相关图形），引导学生从面积角度观察图形。 提出问题：“你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？” 让学生观察以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形，思考它们面积之间的联系。 引导学生通过数方格的方法，计算出每个正方形的面积。对于以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形，学生很容易数出方格数量得出面积；对于以斜边为边长的正方形，教师可以引导学生通过将其分割或补全的方法来计算面积。 学生通过观察、计算，归纳发现：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。 操练（10 分钟） 由上述结论，教师进一步引导学生思考：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ 让学生拿出准备好的方格纸，在方格纸上画出直角边分别为 3cm 和 4cm、5cm 和 12cm 等不同长度的直角三角形，然后分别以三边为边长向外作正方形。 组织学生进行小组合作交流，让学生通过数方格或其他方法计算出三个正方形的面积，并讨论它们之间的关系。教师在小组间巡视，给予适当的引导和指导，帮助学生解决遇到的问题。 小组代表发言，汇报小组讨论的结果。教师对各小组的结果进行总结归纳，得出：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。 教师引导学生分别以 5 厘米、12 厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，然后验证刚才发现的规律对这个三角形是否仍旧成立。通过实际测量和计算，进一步加深学生对结论的理解。 巩固（10 分钟） 教师给出一些练习题，如：已知直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，求斜边的长度；已知直角三角形的斜边为 5，一条直角边为 3，求另一条直角边的长度等。让学生运用勾股定理进行解决。 学生在练习本上独立完成练习题，教师在教室里巡视，观察学生的做题情况，及时给予反馈和解答学生的疑问。对于普遍存在的问题，教师进行集中讲解；对于个别学生的问题，进行单独辅导。 选取部分学生的答案进行展示和点评，强调解题的规范步骤和注意事项，如书写格式、计算准确性等，帮助学生巩固对勾股定理的理解和应用能力。 拓展（10 分钟） 教师引导学生运用勾股定理解决实际问题，如：一个门框的尺寸如图所示，一块长 3m，宽 2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？（给出门框的长和宽的具体数据）让学生感受数学与生活的联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 学生分组讨论，尝试将实际问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解。教师引导学生分析问题，找到解决问题的关键，即比较木板的对角线长度与门框对角线长度的大小关系。 小组汇报解决方案和结果，教师进行点评和总结。同时，教师可以提供一些拓展材料，如介绍勾股定理在建筑、测量等领域的应用实例，让学生进一步深入研究，拓宽学生的知识面。 课堂小结（5 分钟） 教师引导学生总结本节课的学习内容，提问学生：“通过本节课的学习，你学到了什么？” 让学生回顾勾股定理的内容、探究过程以及应用等方面的知识。 学生发言，分享自己的学习收获。教师对学生的发言进行补充和完善，明确勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用 a，b 分别表示直角三角形的两直角边，c 表示斜边，那么\(a^2 + b^2 = c^2\)；强调勾股定理的探究方法，如数方格法、面积法等；总结勾股定理在数学和实际生活中的重要应用。 板书设计（5 分钟） 教师在黑板上板书勾股定理的定义和公式： 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 表达式：\(a^2 + b^2 = c^2\)（a、b 为直角边，c 为斜边） 同时，在黑板上简要记录探究勾股定理的过程，如画图示例、关键数据等，以便学生随时查阅和复习。 八、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极参与探究活动，充分发挥学生的主体作用。通过小组合作交流，培养学生的团队合作精神和沟通能力。对于勾股定理的探究过程，要给予学生足够的时间和空间，让学生自己去发现问题、解决问题，从而加深对勾股定理的理解。在练习环节，要关注学生的个体差异，对学习困难的学生给予更多的帮助和指导。同时，要进一步加强与实际生活的联系，让学生更好地体会数学的应用价值。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过对勾股定理的学习，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系，提高推理能力． 2．通过小组讨论，学会运用勾股定理进行简单的计算，提高计算能力和数形结合能力． 3．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情，让学生在探索勾股定理的过程中，感受数学之美，探究之趣． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 情境导入 科学家曾经建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系。古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系。 新知导入 一级标题：黑体， 4 游戏导入 拼图游戏 一千多年前，中国人发明了七巧板，外国人管它叫“中国魔板”、“唐图”。 一级标题：黑体， 5 在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流. 知识点 勾股定理的探索 做一做 a b c a2,b2,c2之间关系 探究新知 7 问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系? A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1 探究新知 A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 正方形A中含有 个小方格,即A的面积是 个单位面积. 同理:正方形B的面积是 个单位面积. 9 9 9 思考1 用什么办法能求出图1中A, B的面积? 数格子 图1 探究新知 分割成若干个直角边为整数的三角形 （单位面积） 思考2 怎样求出C的面积? A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1 探究新知 S正方形C = 4××3×3 =18 练一练 通过对图1的学习，求出图2正方形A,B,C中面积各是多少? A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图 1 图 2 探究新知 解：正方形A的面积是4个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C的面积是8个单位面积. （1）观察图3、图4： （2）填表（每个小正方形的面积为单位1）： A的面积 B的面积 C的面积 图3 图4 4 9 16 9 ？ ？ 图3 图4 做一做 探究新知 12 （3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流. 图3 图4 探究新知 13 “补” “割” “拼” 分割为四个直角三角形和一个小正方形 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积 将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形 探究新知 14 （4）分析填表数据 图4 图3 探究新知 A的面积 B的面积 C的面积 图3 图4 4 9 16 9 13 25 15 结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积. 问题2 通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ 探究新知 SA + SB = SC 16 做一做 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.　 2.4 1.6 ? 问题4 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 探究新知 a2 + b2 = c2 17 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a b c 表示为：Rt△ABC中，∠C=90°, 则a2 + b2 = c2. 在西方又称毕达哥拉斯定理 探究新知 a2 + b2 = c2 18 勾 较短的直角边称为 ， 股 较长的直角边称为 ， 直角三角形中 弦 斜边称为 . 勾2 + 股2 = 弦2 股 勾 弦 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”. 趣味小常识 探究新知 19 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案. 探究新知 20 素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长 方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理. 例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,求斜边AB的长度. a b c A C B 解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5 所以12²+5²=AB²， 所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米. 探究新知 1.寻求图形面积之间的关系 素养考点 2 利用勾股定理求面积问题 方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S1=S2+S3（S1是以斜边为基础向外作的图形的面积，S2和S3分别是以直角边基础向外所作图形的面积. 例2 如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3=16，则S1的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 探究新知 B 例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积． 方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积. 2.求非直角三角形的面积 解：作AD⊥BC于D， 在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10， 所以BD=CD=5， 所以AD2=AB2-BD2 =132-52 =144，AD=12 所以S△ABC= BC•AD= ×10×12=60． 探究新知 1. 下列说法中正确的是( ) C A. 已知，，是三角形的三边，则 B. 在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C. 在中， ，,,是,, 的对边,所 以 D. 在中， ，,,是,, 的对边,所 以 返回 连接中考 24 （第2题） 2. 如图，在中， ， ，，分别以点， 为圆心， 以长为半径画弧，两弧相交于点 ，连 接，，则 的周长为( ) D A. 14 B. 18 C. 24 D. 30 返回 25 （第3题） 3. 如图是一株美丽的 勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有 的三角形都是直角三角形，若正方形， ， ，的面积分别是4，6，2，4，则正方形 的 面积是( ) C A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 返回 26 （第4题） 4. 如图，在中， , ,则边上的高 的长为 ( ) C A. 8 B. 8.8 C. 9.6 D. 10 27 【点拨】如图，过点作于点 . 因为, ,所以 .在 中， 所以，解得 .故选C. ,所以 .因为 , 返回 28 （第5题） 5. 如图是两人某次棋 局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小 正方形的边长为 ,则“帥”“马”两 棋子所在格点之间的距离为_______. 返回 29 6.如图，四边形中，，， ， ，，求四边形 的面积. 30 【解】因为， ，所 以 . 因为, ，所以根据勾股 定理得 . 又因为，所以根据勾股定理得 ，所以 . 返回 31 （第7题） 7. 如图，在中， ，分别 以， 为直径向外作两个半圆，面积分别 记为和.在中， ，分 别以， 为边向外作两个正方形，面积分 别记为和.若 ，，则 的值为( ) D A. 5 B. 15 C. 20 D. 25 32 （第7题） 【点拨】在中， ,所 以 ,所以 ,所以 .因为 ,所 以.所以 .在 中， ,所以 ,所以 . 返回 33 8. 在中，，是上异于， 的一点， 则 的值是( ) B A. 15 B. 25 C. 30 D. 20 34 【点拨】如图，过点作于 ，所以 ，因为 ，所 以， ， ，所以 . 返回 35 （第9题） 9.［2025佛山期中］如图，在 中， ，，，点 在边 上，把沿直线折叠，使得点 的 对应点落在的延长线上，则 ___. 3 36 勾股定理的探索 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2 利用勾股定理进行计算 课堂小结 谢谢观看！ Lavf57.71.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $