2.2双曲线的简单几何性质（二）（11大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

2.2双曲线的简单几何性质（二） 题型一：离心率（解三角形） 1．已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为，、分别为、的中点，则， 又因为，，故， 所以， 由题意可知，故为钝角， 所以，， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 解得． 故选：A. 2．已知双曲线（，）的两个焦点为，，，是的右支上两点.若，∥，且，则的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据双曲线定义可得，根据题意可得，，结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】设， 由双曲线定义可得， 因为，则， 又因为∥，则，即. 由余弦定理可得， 整理可得， 即，整理可得， 则，，， 即，则，所以双曲线的离心率为. 故选：C 3．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得，设，可得，由已知向量关系可得，从而得到，即，由离心率公式可得答案． 【详解】已知双曲线的渐近线方程为， 双曲线右焦点到渐近线的距离为， 在中，，，则， 设，则，， 因为，则，， 在中，则， 可得，即，即， 所以双曲线离心率． 故选：D. 4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行关系利用对称性并结合双曲线定义，利用勾股定理构造方程可解得，可得其离心率. 【详解】连接，延长与双曲线交于点，连接，如下图所示： 由，根据对称性可知，又，所以四边形为矩形； 由可设，则; 由双曲线定义可知，所以，所以； 又，所以； 因为， 在中，，且， 所以，解得； 即，所以； 在中，，即， 解得，即. 故选：B 题型二：中点弦公式（点差法） 1．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】设，应用点差法，结合为线段中点及、列方程求得，进而求离心率. 【详解】由题意，设，则， 两式相减得，而， ， 所以. 故选：B. 2．已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 3．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、，由，利用点差法求解. 【详解】解：设、， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为线段的中点坐标为，则， 则，两式相减得， 则， 因为，所以，， 所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 4．已知双曲线上两点关于原点对称，为双曲线的左顶点，若直线和直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，代入双曲线的方程，再由直线的斜率公式可得的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】设， 可得， 即有， 由， 可得， 故选：B. 题型三：双曲线的光学性质 1．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【详解】由题意知延长则必过点， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 2．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率，即可得. 【详解】连接， 因为，则，即为等边三角形， 由对称性可知，则， 又因为，即， 整理得，解得或（舍）， 所以. 故选：A. 3．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 4．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解. 【详解】因为，所以，得， 不妨设双曲线的标准方程为，设，则． 所以，解得或（舍去）． 所以． 故选：D． 题型四：实际生活中的双曲线问题 1．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线与圆锥的底面圆交于点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到及点坐标，即可求出，从而求出离心率. 【详解】设曲线与圆锥的底面圆交于点，, 则,为等边三角形， 设为的中点，取的中点， 过作，交直线于点，过点作轴， 建立如图平面直角坐标系，设双曲线方程为， 得到,又,所以, 则 则，故， 从而求出离心率. 故选：A. 2．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到及点坐标，即可求出，从而求出离心率. 【详解】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、， 因为，所以，即为等边三角形， 又为的中点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴， 以直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设双曲线方程为， 所以，又，所以， 则点， 所以，解得（负值舍去）， 所以双曲线的离心率. 故选：C 3．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，利用勾股定理求出，由求出，再由正弦定理得可得答案. 【详解】由题意的，， 则，， 所以， 在中，，，，且， 则，， ， 则， 所以， 由正弦定理得，， 即. 故选：C． 题型五：定比分点 1．设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的右焦点，求出的坐标，求出的坐标，根据求出即得解. 【详解】设双曲线的右焦点， 则过点且斜率为的直线的方程为，渐近线方程是． 由，得， 由,得， 所以，． 由，得， 则，即，则， 则， 故选：D． 2．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设直线方程为：，将直线方程与双曲线方程联立消，根据，可得，利用韦达定理可得，整理即可求解. 【详解】过右焦点的直线的倾斜角, 不妨设直线方程为：， 联立方程， 得， 设，，， 因为， 所以， 所以，所以， 所以， 所以，因为， 所以，所以， 所以，所以. 故选：D 3．已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得出，，由双曲线的定义可得出、，在中，利用余弦定理可出，可得出、，然后在中利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】令，由，得，， 由双曲线定义，， 在中，， 由余弦定理可得， 得，整理得， 解得，所以，，． 在由余弦定理， 得， 整理得，则． 故选：D. 4．已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合双曲线的定义及得，再由和余弦定理得到齐次式，即可得离心率. 【详解】设，则， 所以，则， 由，则，故， 综上，， 由，则， 所以，可得， 所以. 故选：C 5．已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先直线方程与椭圆方程联立，再根据条件，以及韦达定理，建立等量关系，即可求离心率. 【详解】由条件可知，，过点且倾斜角为的直线方程为， 设， 因为，所以， 得，即 联立，得， 所以，，① ，② 由①②可得，又因为得，且， 得，， 所以双曲线的离心率. 故选：B 题型六：焦点三角形内切圆 1．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作，根据题意得到，得．结合，得到即可得到结论. 【详解】过作， 由题意知． 因为，所以四边形为正方形， 得． 由双曲线的定义可得， 即，所以， 得． 又因为，所以， 得，． 在中，，得到， 所以． 故选：A． 2．已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线的距离公式计算可得，结合，求，进而得到离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为c，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为，则直线的方程为：， 即，设的内切圆与三边相切的切点分别为如图所示， 则，即，即轴，圆的半径为， 则，点到直线的距离为， 整理得且，解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 3．双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，切线长定理以及双曲线的定义求出点的坐标，再结合斜率的定义及二倍角的正切公式求解. 【详解】双曲线的实半轴长，焦点， 设圆与三边分别相切于点， 则， 又，解得，， 则点，因为轴，所以由题，， 所以直线的斜率. 故选：D 4．设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆的半径，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，首先求出，结合及通过运算得到，再利用之间的关系得到离心率.即可判断. 【详解】解：由题可得双曲线的渐近线方程为：，即， 设右焦点，其到渐近线的距离为， ， 的内切圆的半径， 如图， 又因为的内切圆的半径， 得，∴得， 上式两边平方得，，即， ∴，即， 故双曲线C的离心率为 故选：A. 5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，两渐近线分别为，过作的平行线与交于点，记内切圆圆心为．若，则的离心率为（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据内切圆的性质,内心是角平分线的交点，然后结合垂直就可以求出渐近线的倾斜角，从而再去求离心率. 【详解】 设的倾斜角为，则的倾斜角,, 则，，，， 故选：C 题型一：椭圆的综合应用 1．（多选）已知双曲线，其左、右焦点分别是，过点的直线与交于，两点，则（ ） A．的离心率为 B．当的倾斜角为时， C．直线的斜率可以为 D．上存在点，使 【答案】ABD 【分析】根据双曲线离心率的定义，圆锥曲线弦长公式，直线与双曲线的交点情况，以及焦点三角形的性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】已知，则，则离心率，所以A正确； 如图所示，已知，，得直线解析式为， 联立方程组得，消去得， 可知， 设交点，则， 根据弦长公式可得，所以B正确； 双曲线渐近线方程为，当时，直线与双曲线仅有一个交点，不符合题意，所以C错误； 设，可知， 根据正弦定理可知， 可知，则， 因为，所以， 化简得， 化简得， 化简，解得，此时， 所以上存在点，使，所以D正确； 故选：ABD. 2．（多选）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（ ） A．的离心率为 B． C． D．当时，四边形的面积为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的渐近线的概念，圆和直线的位置关系，以及焦点三角形的性质，逐一判断各选项正误. 【详解】双曲线，则，，，，渐近线方程为，以为直径的圆方程为； 联立方程组得，解得，不妨设， 则，由，得， 解得，则，离心率，所以A正确； 可知，则，所以，所以B正确； 由，则，，，， 当位置互换时，，不符合条件，所以C错误； 由，则，所以， 已知，， 所以，所以D正确； 故选：ABD. 3．（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于两点，在第一象限，且，则（ ） A．点到的渐近线的距离为 B． C．的离心率为2 D．分别以为直径的圆的公共弦长为 【答案】ACD 【分析】利用双曲线的定义以及余弦定理可求得，从而可求得，即可判断选项A，C；用余弦定理和双曲线的定义可求得判断选项B；点作于点，易知分别以为直径的圆的公共弦为，勾股定理可求公共弦长，即可求解选项D. 【详解】 因为双曲线，所以， 又因为，可得，， 又因为，所以，， 则在中由余弦定理有， 即，解得或（舍）， 则，则，所以，即点到点渐近线的距离等于，正确； 的离心率为，正确； 在中，由余弦定理可得有，则，解得，所以，错误； 过点作于点，因为,则点在为直径的圆上， 所以以为直径的圆的公共弦为，且，所以，正确. 故选： 4．（多选）如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（ ） A． B． C．离心率 D．的面积为12 【答案】ACD 【分析】根据直角三角形的性质计算判断A；延长交于点H，结合直角三角形的性质，根据正弦定理及两角差的正余弦公式求解，进一步求解，判断B，利用双曲线定义求出，进而求出离心率判断C，利用直角三角形面积求解面积判断D. 【详解】对于A，因为，O为中点，所以． 已知双曲线焦距为8，即，所以，A正确. 对于B，因为，Q为的平分线上一点，所以， 记，则，在中，由正弦定理得， 所以，从而，延长交于点H， 则，且H为线段的中点，在中，， 所以， 所以，B错误. 对于C，由B可得，， 所以，所以，所以， 所以离心率，C正确． 对于D，的面积，D正确． 故选：ACD 题型二：费马定理 1．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解. 【详解】如图，延长交的延长线于点， 由于是的角平分线上的一点，且, 所以点为的点，所以, 又为的中点，所以， 故， 故，即，将点代入可得，解得， 故离心率为， 故选：C. 2．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解. 【详解】如图，延长交的延长线于点, 由于是的角平分线上的一点，且, 所以点为的点，所以, 又为的中点，所以， 故， 故，即，将点代入可得，解得， 故离心率为， 故选：B 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若的角平分线交轴于点，且，则双曲线的离心率的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的方程解出，再由角平分线定理得到，然后用表示此式，得到离心率的齐次式化简可得. 【详解】 设双曲线的左、右焦点分别为，其中， 双曲线的一条渐近线方程为（即）， 点到渐近线的距离为， 由于垂直渐近线，所以的方程为,即 联立渐近线方程和的方程，,解得， 由角平分线定理知，即， 代入和的距离公式：， 两边平方后化简：， 代入,整理得, 即, 解得, 所以 故选：D． 4．（多选）费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出双曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（、为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.双曲线的左、右焦点分别为、，右顶点到一条渐近线的距离为，右支上一动点处的切线记为，则（ ） A．双曲线的离心率为 B．当轴时，则内切圆圆心横坐标为 C．当轴时，则与轴交点横坐标为 D．过点作，垂足为， 【答案】ACD 【分析】利用点到直线的距离公式求出的值，结合双曲线的离心率公式可判断A选项；利用切线长定理结合双曲线的定义可判断B选项；求出、的值，结合角平分线定理可判断C选项；利用延长、交于点，利用双曲线的定义、中位线的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，双曲线的渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为，解得， 所以，双曲线的离心率为，A对； 对于B选项，如下图所示： 设的内切圆圆分别切三边于点、、， 由切线长定理可得，，， 所以， 所以，解得，即内切圆圆心横坐标为，B错； 对于C选项，设直线交轴于点，由题意，，则， 易知点，将代入双曲线的方程得，解得，即， 由双曲线的定义可得，故， 由角平分线定理得，故， 即，故，C对； 对于D选项，延长、交于点， 因为，且，故，即为的中点，， 又因为为的中点，所以，D对. 故选：ACD. 题型三：椭圆和双曲线的离心率关系 1．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，双曲线的两条渐近线分别交椭圆于A、C和B、D四点，若多边形为正六边形，则椭圆与双曲线的离心率之和为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的几何性质及离心率的定义即可求解． 【详解】∵多边形为正六边形，设边长为， ∴， ， 故选：C． 2．双曲线的离心率为的离心率为，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由题意题意，根据曲线的离心率，再由双曲线的关系式和基本不等式，即可得到最值； 【详解】双曲线中，由双曲线方程，则 ，当且仅当时取等号． 故选：C． 3．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆、双曲线的定义得到，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点分别为左、右焦点，点在第一象限， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义，得，， ∴，， 设，在中，∵， 由余弦定理，得， 化简得，两边同除以，得. 又∵，∴，解得，当且仅当， 即时等号成立， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为， 故选：B. 4．已知为椭圆与双曲线的公共左、右焦点，为它们在第一象限的一个公共点，且，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（ ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，利用椭圆、双曲线定义，结合余弦定理求出的关系，再借助三角代换求出最大值. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，椭圆及双曲线的半焦距为， 则，解得，，而，， 在中由余弦定理得，， 化简得，于是，令， 则，其中锐角由确定， 当时，取最大值. 故选：C 5．已知椭圆与双曲线的公共焦点分别为，离心率分别为是的一个公共点．若点满足，则（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出及，再利用余弦定理求出，然后利用椭圆、双曲线定义求解即可. 【详解】由，得，， 由，得，在中，， 由余弦定理得， 由椭圆定义得，即， 由双曲线定义得，即， 所以. 故选：A 题型一：离心率的取值范围 1．已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率，得，结合和离心率的定义即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B 2．已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，设，可得点，再代入双曲线方程并整理求得，进而求出离心率范围. 【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得， 设，则，即点， 因此，整理得，由，得，则， 于是，解得，即，则的离心率， 所以的离心率的取值范围为. 故选：A 3．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义以及已知条件列不等式，化简求得离心率的取值范围. 【详解】由题可得：，， ， 又， 所以， 又因为过的直线与双曲线的左支交于A，B两点， 所以， 即，， 可得， 又， 所以双曲线离心率的取值范围是 故选：C 4．已知点为双曲线的下焦点，为其上顶点，过作垂直于的实轴的直线交于、两点，若为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点、的坐标，分析可知为锐角，可得出，由此可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】设双曲线的半焦距为，由双曲线的对称性可知点、关于轴对称，则， 因为为锐角三角形，则为锐角， 将代入方程可得，取点、， 易知点，，， 故，即，可得， 又因为，故. 故选：B. 题型二：飘带函数（离心率） 1．将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉函数的图解.如反比例函数，“双勾”函数，“飘带”函数等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到.现将双曲线C：绕原点O旋转适当的角度后，得到函数的图象.则双曲线C的离心率e的值为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】“飘带”函数的渐近线，设两渐近线为和，进而得出，结合计算即可求解. 【详解】如图，函数的图象的两条渐近线为和，直线为其实轴， 则， 故选：C 2．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知“飘带”函数的渐近线，设两渐近线夹角为（），则，求得，进而旋转之前双曲线的一条渐近线斜率，结合计算即可求解. 【详解】“飘带”函数的渐近线为与轴， 设两渐近线夹角为（），则， 整理得，又， 所以，整理得， 由，解得. 所以旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 3．已知函数的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究可以发现函数的图象是以直线，为渐近线的双曲线．现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定的两条渐近线，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线方程， 根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率. 【详解】 双曲线的两条渐近线分别为，其焦点在直线夹角 （锐角）的角平分线上，设角平分线方程为且， 令分别是直线的倾斜角，为锐角， 则为双曲线C的一条渐近线的倾斜角，且， 由，得， 而，解得，令双曲线C的方程为，则， 所以双曲线C的离心率为， 故选：A 27 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2双曲线的简单几何性质（二） 题型一：离心率（解三角形） 1．已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线（，）的两个焦点为，，，是的右支上两点.若，∥，且，则的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 3．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型二：中点弦公式（点差法） 1．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A． B．3 C． D． 2．已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线上两点关于原点对称，为双曲线的左顶点，若直线和直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型三：双曲线的光学性质 1．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（ ） A． B． C．2 D． 3．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A． B． C． D． 4．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（ ） A． B． C． D． 题型四：实际生活中的双曲线问题 1．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型五：定比分点 1．设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率（ ） A． B． C． D． 2．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 3．已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型六：焦点三角形内切圆 1．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 3．双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 4．设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆的半径，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，两渐近线分别为，过作的平行线与交于点，记内切圆圆心为．若，则的离心率为（ ） A．4 B． C．2 D． 题型一：椭圆的综合应用 1．（多选）已知双曲线，其左、右焦点分别是，过点的直线与交于，两点，则（ ） A．的离心率为 B．当的倾斜角为时， C．直线的斜率可以为 D．上存在点，使 2．（多选）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（ ） A．的离心率为 B． C． D．当时，四边形的面积为 3．（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于两点，在第一象限，且，则（ ） A．点到的渐近线的距离为 B． C．的离心率为2 D．分别以为直径的圆的公共弦长为 4．（多选）如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（ ） A． B． C．离心率 D．的面积为12 题型二：费马定理 1．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若的角平分线交轴于点，且，则双曲线的离心率的值为（ ） A． B． C． D． 4．（多选）费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出双曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（、为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.双曲线的左、右焦点分别为、，右顶点到一条渐近线的距离为，右支上一动点处的切线记为，则（ ） A．双曲线的离心率为 B．当轴时，则内切圆圆心横坐标为 C．当轴时，则与轴交点横坐标为 D．过点作，垂足为， 题型三：椭圆和双曲线的离心率关系 1．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，双曲线的两条渐近线分别交椭圆于A、C和B、D四点，若多边形为正六边形，则椭圆与双曲线的离心率之和为（ ） A． B．2 C． D． 2．双曲线的离心率为的离心率为，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．4 3．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 4．已知为椭圆与双曲线的公共左、右焦点，为它们在第一象限的一个公共点，且，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（ ） A． B．5 C． D． 5．已知椭圆与双曲线的公共焦点分别为，离心率分别为是的一个公共点．若点满足，则（ ） A． B．2 C． D．3 题型一：离心率的取值范围 1．已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知点为双曲线的下焦点，为其上顶点，过作垂直于的实轴的直线交于、两点，若为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型二：飘带函数（离心率） 1．将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉函数的图解.如反比例函数，“双勾”函数，“飘带”函数等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到.现将双曲线C：绕原点O旋转适当的角度后，得到函数的图象.则双曲线C的离心率e的值为（ ） A． B． C．2 D．4 2．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究可以发现函数的图象是以直线，为渐近线的双曲线．现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（ ） A． B． C． D． 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$