14.2三角形全等的判定【十大考点+十大题型】-2025-2026学年人教版八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

14.2三角形全等的判定 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：三角形全等的判定： ①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SS”S） ②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”） ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”） ④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”） ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”） 技巧归纳：．证题的思路： 注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ②全等三角形面积相等． 【题型探究】 题型一：SSS证明三角形全等问题 【例1】．（2025八年级上·全国）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）是的中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 又∵， ∴． 【跟踪训练2】．（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 题型二：SAS证明三角形全等问题 【例2】．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据题意可得，由垂线的定义可得，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 【跟踪训练1】．（2025·云南玉溪·三模）如图，点是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据，，即可证明． 【详解】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴． 【跟踪训练2】．（24-25八年级上·陕西咸阳）如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接，． (1)试说明：； (2)试说明与的关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)且，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据得出，根据得出，即可推出，最后即可根据得出； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据垂直的定义得出，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：且，理由如下： 由（1）知， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴． 题型三：ASA（AAS）证明三角形全等问题 【例3】．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·全国）如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：≌； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）解法一：由平行线推出，由此利用证明；解法二：由平行线推出，根据证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：解法一， ． 在和中， ． 解法二 ． 在和中， ． （2）解：由（1）知， ， ． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·四川绵阳）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质． （1）先证明，，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，，得出，根据得出，，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 题型四：“HL”证明三角形全等问题 【例4】．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键．由，可得出，即可证明； 【详解】证明：， ，即， 又， ， 在和中， ， ． 【跟踪训练1】．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可解答． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 【跟踪训练2】．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，已知，于点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 根据题意得出，再由直角三角形全等的判定方法证明即可． 【详解】证明：∵   ∴     ∴ ∵    ∴与是直角三角形 ∵在与中， ， ∴ 题型五：添加一个条件证明全等问题 【例5】．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，已知，，满足一边一角相等，根据全等三角形判定定理逐项判断即可． 【详解】解：和中，，， A．添加，依据不能判定，符合题意； B．添加，依据能判定，不合题意； C．添加，依据能判定，不合题意； D．添加，依据能判定，不合题意； 故选A． 【跟踪训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A、和分别是和的对边，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 故选：A． 【跟踪训练2】．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，添加下列条件还不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定．用题干给的条件加上选项给的条件，用全等三角形的判定方法：、、、进行逐一判断即可． 【详解】解：题干给出了，图形中有公共边， A、添加，根据不能判定，故此选项符合题意； B、添加，根据能判定，故此选项不符合题意； C、添加时，可利用判定，故此选项不符合题意； D、添加，根据判定，故此选项不符合题意． 故选：A． 题型六：全等三角形的辅助线之倍长中线模型 【例6】．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 【跟踪训练2】．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中，，∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 题型七：全等三角形的辅助线之垂线模型 【例7】．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解：， . 又，， . 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·重庆）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）(1)如图①，点A是线段上一点，，，，，求证：； (2)如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】（1）证明即可根据三角形全等的性质得到结论； （2）证明即可根据三角形全等的性质得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ． ． 又 ， ． （2）解：．理由如下： ， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用同角的余角相等证明角相等是解题关键． 题型八：全等三角形的辅助线之旋转模型 【例8】．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【跟踪训练1】．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【跟踪训练2】．（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）；（2），证明过程见解析；（3） 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 题型九：全等三角形判定的综合应用 【例9】．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． (2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用证明即可解题； （2）如图，过点作交延长线于点，连接．推导，即可得到结论． 【详解】（1）是的中点， ． ， ， ， ． （2）如图，过点作交延长线于点，连接． 由（1）知． ． ， ， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的不等关系，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【跟踪训练1】．（21-22八年级下·福建宁德·开学考试）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以6厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.    (1)用含有t的代数式表示，则________； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，那么当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1) (2)不全等 (3) 【分析】（1）求出，即可求出答案； （2）求出，根据全等三角形的判定推出即可； （3）根据全等三角形应满足的条件探究相关边之间的关系，根据路程、时间、速度之间的关系，先求出点P运动的时长，再求得点Q的运动速度． 【详解】（1）解：由题意知，则， 故答案为：； （2）解：不全等，理由如下： 由题意知，经过1秒后，，，， ，点D为的中点， ， 可知和中，，，， 与不全等； （3）解：∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点P点Q运动的时间， ∴， 即当点Q的运动速度为时，能够使与全等． 【点睛】本题考查列代数式、全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理． 【跟踪训练2】．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由． （2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由． 【答案】（1），，理由见解析 （2）成立，见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，证明，根据全等三角形的对应边相等，即可证得； （2）当图2、3的情况时，证明方法和图1情况完全一样． 【详解】（1）， 理由如下： ∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； （2）成立， 图2中：∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； 图3中：∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定与性质，根据全等三角形得出角相等是解题的关键． 题型十：全等三角形的线段和差问题 【例10】．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【跟踪训练1】．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【详解】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 【跟踪训练2】．（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【高分演练】 一、单选题 1．（2025八年级上·新疆·专题练习）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作一个角等于一直角的方法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据尺规作图可得，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∴依据是， 故选：B ． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定条件逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、B、C中的条件都是，不能判定两个三角形是否全等，故不符合题意 D、满足“”，所以，符合题意， 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理以及发现隐含条件成为解答本题的关键．欲使，已知，，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一判断即可． 【详解】解：，， A、添加，利用即可证明； B、添加，为，不能证明，所以此选项不能作为添加的条件； C、添加，利用即可证明； D、添加，利用即可证明． 故选：B． 4．（25-26八年级上·重庆）如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“角边角”证明，可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， ， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，进而得到，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6．（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，，且，，，分别交于E、F两点，若，，，则的长为（   ） A．12 B．11 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟记相关结论是解题关键．根据题意证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，    由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵． 故选：C． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角中，，点F为上一点，连接，过点C，B分别作于点D，交的延长线于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 二、填空题 9．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了添加条件证明三角形全等，添加已知条件，利用“”证明即可． 【详解】解：添加已知条件， 则在和中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 10．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，点为边的中点，，，，若，则的长为 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据，得出，证明，得出． 【详解】解：∵点为边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D是的中点，，交于点E，连，若的周长是，则的周长等于 ． 【答案】32 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出全等三角形是解题的关键． 利用证明，得到，再利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵的周长是，， ∴，， ∴的周长． 故答案为：32． 12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，，，且，，三点在同一条直线上，若，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义，先证明，根据全等三角形的性质得到，，再根据三角形外角的定义求出的度数，进而可知的度数． 【详解】解：在和中，，，，， ，， ， ， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：7 三、解答题 14．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）由可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，先证明得出，再利用“”即可证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴． 16．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，直线经过点，于点，于点，且； (1)求证：． (2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据已知证明，得到，结合直角三角形的两个锐角互余，即可证明； （2）由（1）中的可得，再结合已知条件即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ． 17．（25-26八年级上·全国·阶段练习）（1）【问题背景】如图，为上一点，，，求证：； （2）【变式运用】如图，，，，的延长线交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）利用直角三角形的性质可得，结合，利用即可证明结论； （2）过点B作，交的延长线于点D，同理（1）可得，推出，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴； （2）过点B作，交的延长线于点D， 同理（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵在中，，， ， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2三角形全等的判定 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：三角形全等的判定： ①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SS”S） ②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”） ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”） ④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”） ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”） 技巧归纳：．证题的思路： 注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ②全等三角形面积相等． 【题型探究】 题型一：SSS证明三角形全等问题 【例1】．（2025八年级上·全国）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）是的中点，，求证：． 【跟踪训练2】．（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：． 题型二：SAS证明三角形全等问题 【例2】．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【跟踪训练1】．（2025·云南玉溪·三模）如图，点是线段的中点，，．求证：． 【跟踪训练2】．（24-25八年级上·陕西咸阳）如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接，． (1)试说明：； (2)试说明与的关系？并说明理由． 题型三：ASA（AAS）证明三角形全等问题 【例3】．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·全国）如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：≌； (2)若，求的长． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·四川绵阳）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型四：“HL”证明三角形全等问题 【例4】．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 【跟踪训练1】．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【跟踪训练2】．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，已知，于点，于点，．求证：． 题型五：添加一个条件证明全等问题 【例5】．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，添加下列条件还不能判定的是（     ） A． B． C． D． 题型六：全等三角形的辅助线之倍长中线模型 【例6】．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【跟踪训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【跟踪训练2】．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 题型七：全等三角形的辅助线之垂线模型 【例7】．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·重庆）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）(1)如图①，点A是线段上一点，，，，，求证：； (2)如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 题型八：全等三角形的辅助线之旋转模型 【例8】．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【跟踪训练1】．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【跟踪训练2】．（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 题型九：全等三角形判定的综合应用 【例9】．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． (2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 【跟踪训练1】．（21-22八年级下·福建宁德·开学考试）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以6厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.    (1)用含有t的代数式表示，则________； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，那么当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【跟踪训练2】．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由． （2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由． 题型十：全等三角形的线段和差问题 【例10】．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【跟踪训练1】．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【跟踪训练2】．（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【高分演练】 一、单选题 1．（2025八年级上·新疆·专题练习）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·重庆）如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， ， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，，且，，，分别交于E、F两点，若，，，则的长为（   ） A．12 B．11 C．8 D．10 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角中，，点F为上一点，连接，过点C，B分别作于点D，交的延长线于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是 ． 10．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，点为边的中点，，，，若，则的长为 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D是的中点，，交于点E，连，若的周长是，则的周长等于 ． 12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，，，且，，三点在同一条直线上，若，则的度数为 ． 13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则 ． 三、解答题 14．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 16．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，直线经过点，于点，于点，且； (1)求证：． (2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 17．（25-26八年级上·全国·阶段练习）（1）【问题背景】如图，为上一点，，，求证：； （2）【变式运用】如图，，，，的延长线交于点，求证：． 18．（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $