专项突破02 全等三角形的性质与判定（期末复习-知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册精讲练

专项突破02 全等三角形的性质与判定 （知识回顾+15种重难点培优题型+真题演练 共45题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：全等三角形的判定 2 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 2 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 2 知识点梳理04：全等三角形的应用 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 全等三角形的性质 3 题型2 全等的性质和SSS综合 4 题型3 全等的性质和SAS综合 5 题型4 全等的性质和ASA(AAS)综合 6 题型5 全等的性质和HL综合 7 题型6 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 8 题型7 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 8 题型8 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 10 题型9 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 11 题型10 其他模型（全等三角形的辅助线问题） 12 题型11 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 13 题型12 全等三角形综合问题 15 题型13 尺规作一个角等于已知角 17 题型14 过直线外一点作已知直线的平行线 17 题型15 尺规作图—作三角形 18 期末真题 实战演练 19 知识点梳理01：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点梳理04：全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型1 全等三角形的性质 【精讲】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，，，与，分别相交于点M，D，求的度数． 【变式】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发沿射线运动，二者速度之比为，当点运动到点时，两点同时停止运动．在射线上取一点，使与全等，则的长为 ． 题型2 全等的性质和SSS综合 【精讲】（25-26八年级上·北京·期中）七年级时，我们已经学过利用三角板和直尺作已知直线的平行线，爱动脑筋的小明同学便想是否可以利用“尺规作图”作出已知直线的平行线呢？于是，他想出了下面的方法： ①已知直线 ，以直线上的一点O为端点作线段； ②以O为圆心，适当长度为半径画弧，交射线和线段于C、D两点； ③以B为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点E； ④以 E 为圆心，线段长为半径画弧，与第③步中所画的弧交于点 F．（交点F在线段的下方） ⑤连接． 则直线 即为直线的平行线． 请你根据上面的作图叙述并结合已知图形完成②-⑤步的操作（保留作图痕迹），并证明你的结论． 【变式】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断： ①；②；③；④． 请把上述论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明． 题型3 全等的性质和SAS综合 【精讲】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，、均为等腰直角三角形，点、、在同一条直线上．连接，． (1)求证：； (2)若，分别是和的中线，猜想线段与的位置关系，证明你的结论． 【变式】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 题型4 全等的性质和ASA(AAS)综合 【精讲】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯（）的高度．他的方法如下：在路灯前选一点P，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子（）在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【变式】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）【问题背景】小华是一位热爱数学的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点，B，C．它们构成了一个等腰直角三角形，其中，．小华发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】（1）如图1，小华在遗迹中发现了一条线段，这条线段恰好经过点．他测量发现，，．为了解开遗迹的第一个速度，小华需要证明：且．请你尝试帮助小华写出证明过程： 【任务二】（2）如图2．小华使用他的定位设备．确定了点和点的坐标．点的坐标为，点的坐标为．为了求出的面积，及确定点的坐标，可以借鉴任务一的全等模型．构造全等三角形．请你帮小华求出点的坐标和的面积； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小华又发现了另一个等腰直角三角形，这次点的坐标为，点的坐标为．小华猜测，这个三角形的另一个顶点的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小华求出点的坐标． 题型5 全等的性质和HL综合 【精讲】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，，，．求证：． 小协说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到．” 小助说：“我可以连结，根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到． 请你判断两人的证法是否正确．若正确，选择其中一人的方法完成证明． 题型6 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【精讲】．（2024·湖南常德·模拟预测）如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（    ） 甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求； 乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求． A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【变式】（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 题型7 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A．           B．            C．            D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【变式】（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）【方法呈现】 （1）如图1：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为___________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长； 【构建联系】 （3）如图3，在中，，，点是线段上的一点，点在延长线上的一点， 且，连接，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 题型8 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 【精讲】．（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【变式】（23-24九年级上·辽宁阜新·月考）如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ）    A．6 B．15 C．12 D．30 题型9 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 【精讲】（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【变式】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 题型10 其他模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【变式】（2021七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 题型11 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【精讲】．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，，点在线段上，且，连接，若． 证明：且．请将以下推导过程补充完成． 证明：∵， ① ． ， ② ，即． 在和中， （ ④ ）； ． （___⑤_____） 【变式】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 题型12 全等三角形综合问题 【精讲】（25-26八年级上·山东临沂·期中）【教材呈现】如图是新人教版八年级上册数学教科书第56页的部分内容． 活动2    用全等三角形证明拼图猜想 如图1，．把，剪下来，用它们拼图，使边与边重合，顶点与顶点不重合，画出你拼出的图形．在你画出的图形中，连接，用测量、折纸等方法猜想，有什么关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 小明的拼图如图2，他用测量、折纸等方法猜想垂直平分，并利用得到，，从而验证了其猜想是正确的． 【问题解决】 (1)小华的拼图如图3，他提出的猜想是：与互相平分（即，），请你帮他写出证明过程． (2)小芳的拼图如图4，请你根据小芳的拼图提出猜想并写出证明过程． 【变式】（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，张老师借助两个全等的含角的直角三角板进行全等三角形的相关探究． (1)问题发现 将三角板与三角板按图1方式摆放，其中，，点E落在上，所在直线交所在直线于点F． ①与是否相等？_____（填“是”或“否”）； ②写出线段、、之间的数量关系：_____． (2)问题探究 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角得到图2，且，其他条件不变，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)问题拓展 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图3．请直接写出、与之间的数量关系． 题型13 尺规作一个角等于已知角 【精讲】（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图，点在的边上，用尺规作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；④作射线．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·河北邢台·期中）按下列要求作三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (1)如图1，已知线段a，b，c，求作，使得，，． (2)如图2，已知和线段d，e，求作，使得，，． 题型14 过直线外一点作已知直线的平行线 42．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知直线，和点． 作线段，使点、分别在直线，上，且为的中点． （要求：用直尺和圆规作图：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【变式】（25-26八年级上·重庆忠县·阶段练习）（1）用直尺和圆规做一条直线，使这条直线过顶点，并且与边平行．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在平行线右端截取线段，连接，证明． 题型15 尺规作图—作三角形 【精讲】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1~图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．    （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线．    （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接．    在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，为外部一点，连接、，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使；（保留作图痕迹，不用写做法）； (2)根据你的作图，判定的依据是___________； (3)求的度数． 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，已知 ，用直尺和圆规按照以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ； ②画射线 ，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④过点画射线 ； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（　　） A． B． C． D． 4．（20-21八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 6．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等的简写）． 7．如图，在锐角三角形和锐角三角形中，，分别是边，上的高，且，．要使，则可以补充条件 （填写一个即可）． 8．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，若与全等，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 时，． 10．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走 时与全等． 11．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．    12．（20-21八年级下·广西百色·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 13．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 14．（25-26八年级上·全国·期末） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 15．（24-25七年级下·广东河源·期末） 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为 ． (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得 与 全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破02 全等三角形的性质与判定 （知识回顾+15种重难点培优题型+真题演练 共45题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：全等三角形的判定 2 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 2 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 2 知识点梳理04：全等三角形的应用 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 全等三角形的性质 3 题型2 全等的性质和SSS综合 4 题型3 全等的性质和SAS综合 6 题型4 全等的性质和ASA(AAS)综合 9 题型5 全等的性质和HL综合 12 题型6 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 14 题型7 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 17 题型8 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 22 题型9 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 24 题型10 其他模型（全等三角形的辅助线问题） 27 题型11 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 30 题型12 全等三角形综合问题 34 题型13 尺规作一个角等于已知角 39 题型14 过直线外一点作已知直线的平行线 40 题型15 尺规作图—作三角形 42 期末真题 实战演练 44 知识点梳理01：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点梳理04：全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型1 全等三角形的性质 【精讲】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，，，与，分别相交于点M，D，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等；由可得，，进而得到，再根据，可得，即可求解. 【规范解答】解：∵， ， ， ，， ， ， ∵，， ． 【变式】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发沿射线运动，二者速度之比为，当点运动到点时，两点同时停止运动．在射线上取一点，使与全等，则的长为 ． 【答案】16或30 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质及一元一次方程的应用，解题的关键是分情况讨论全等三角形的对应边关系． 设、，结合，分“与对应、与对应”和“与对应、与对应”两种全等情况，列方程求，进而得的长． 【规范解答】解：设，则， 由，分两种情况： ①当，时， ，， ，解得， ； ②当，时， ，， ，解得， ． 故答案为：或． 题型2 全等的性质和SSS综合 【精讲】（25-26八年级上·北京·期中）七年级时，我们已经学过利用三角板和直尺作已知直线的平行线，爱动脑筋的小明同学便想是否可以利用“尺规作图”作出已知直线的平行线呢？于是，他想出了下面的方法： ①已知直线 ，以直线上的一点O为端点作线段； ②以O为圆心，适当长度为半径画弧，交射线和线段于C、D两点； ③以B为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点E； ④以 E 为圆心，线段长为半径画弧，与第③步中所画的弧交于点 F．（交点F在线段的下方） ⑤连接． 则直线 即为直线的平行线． 请你根据上面的作图叙述并结合已知图形完成②-⑤步的操作（保留作图痕迹），并证明你的结论． 【答案】，作图证明见解析 【思路引导】题目主要考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，理解题意，根据作图方法作图，然后证明得到，利用平行线的判定可得结论． 【规范解答】解：直线为直线的平行线， 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断： ①；②；③；④． 请把上述论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明． 【答案】已知：①③④，求证：②，证明见解析；已知：①②④，求证：③，证明见解析； 【思路引导】本题考查了命题，三角形全等的性质与判定．根据题意选取条件，写出一个真命题为：如果①，③，④，那么②，进而证明，即可得（答案不唯一） 【规范解答】解：如果①，③，④，那么②． 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 已知：①，②，④，求证：③．  证明：∵， ∴，即， ∴，  ∴， ∴． 题型3 全等的性质和SAS综合 【精讲】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，、均为等腰直角三角形，点、、在同一条直线上．连接，． (1)求证：； (2)若，分别是和的中线，猜想线段与的位置关系，证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线得到，证得，得到，再根据直角的性质和等量代换即可得解． 【规范解答】（1）证明：为等腰直角三角形， ， 在和中 ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）得，， ∴， 又分别是和的中线， ， 在和中 ， ， ， 又， ， ． 【变式】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【规范解答】解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为 ； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为 ； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 题型4 全等的性质和ASA(AAS)综合 【精讲】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯（）的高度．他的方法如下：在路灯前选一点P，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子（）在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【答案】 【思路引导】本题考查全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 利用证明，得到，根据线段的和差关系求出的长，即可得出结果． 【规范解答】解：由题可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵（） ∴（）． 答：路灯的高度为． 【变式】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）【问题背景】小华是一位热爱数学的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点，B，C．它们构成了一个等腰直角三角形，其中，．小华发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】（1）如图1，小华在遗迹中发现了一条线段，这条线段恰好经过点．他测量发现，，．为了解开遗迹的第一个速度，小华需要证明：且．请你尝试帮助小华写出证明过程： 【任务二】（2）如图2．小华使用他的定位设备．确定了点和点的坐标．点的坐标为，点的坐标为．为了求出的面积，及确定点的坐标，可以借鉴任务一的全等模型．构造全等三角形．请你帮小华求出点的坐标和的面积； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小华又发现了另一个等腰直角三角形，这次点的坐标为，点的坐标为．小华猜测，这个三角形的另一个顶点的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小华求出点的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）点的坐标为，；（3）点C的坐标为 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键： （1）证明即可； （2）作轴，同（1）可证明，即可得出结果； （3）过点作直线轴，交轴于点，作，，证明，根据点，点的坐标，进而可得点的坐标． 【规范解答】证明：（1），， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，； 解：（2）过点作轴于点， 同（1）可得，， ，， ，， ，， ， 点的坐标为， （3）过点作直线轴，交轴于点，作于，于， 同（1）可得，， ，， 设点C的坐标为， ， ，， ， ，， 解得，，， 点C的坐标为 题型5 全等的性质和HL综合 【精讲】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【规范解答】（1）证明：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ，                                                                ， ， ， ． 【变式】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，，，．求证：． 小协说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到．” 小助说：“我可以连结，根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到． 请你判断两人的证法是否正确．若正确，选择其中一人的方法完成证明． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，再根据小协和小助所说的内容进行分析，分别证明两个三角形全等，再根据全等三角形的性质以及线段的和差即可证明结论． 【规范解答】解：都可行． 证明的小协说法： ∵，， ． 在和中 ， ， ， ， ∴． 证明小助的说法： 如图：连接． ∵，， ． 在和中 ． ∴． 题型6 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【精讲】．（2024·湖南常德·模拟预测）如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（    ） 甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求； 乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求． A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【思路引导】本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论． 【规范解答】甲的作法如图一： ∵为等边三角形，是的角平分线 ∴ 由甲的作法可知， 在和中， 故甲的作法正确； 乙的作法如图二： 在和中， 故乙的作法正确； 故选：A． 【变式】（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【思路引导】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【规范解答】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 题型7 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A．           B．            C．            D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据中线的性质证得，再由对顶角相等的性质证得，结合，利用全等三角形的判定方法证得； （2）延长至点，使，连接，证得，根据全等三角形的性质证得，再根据三角形的三边关系证得，计算求解即可； （3）延长至，使，连接，根据中线的性质，可证得，进而证得，根据全等三角形的判定方法证得，由全等三角形的性质得到，进而证得即可． 【规范解答】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图： 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式】（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）【方法呈现】 （1）如图1：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为___________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长； 【构建联系】 （3）如图3，在中，，，点是线段上的一点，点在延长线上的一点， 且，连接，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 【答案】（1）；（2）6；（3）见解析 【思路引导】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． （1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）过点D作，根据全等三角形的判定和性质得出，，求解即可； （3）证明，得出；延长，截取，连接，证明，得出，，证明，根据等腰三角形的性质得出，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 延长，截取，连接，如图所示： ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型8 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 【精讲】．（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）；（2），证明过程见解析；（3） 【思路引导】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【规范解答】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 【变式】（23-24九年级上·辽宁阜新·月考）如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ）    A．6 B．15 C．12 D．30 【答案】B 【思路引导】作交的延长线于点，证、即可求解． 【规范解答】解：作交的延长线于点，如图：    设，则 ∵ 解得： ∴ 故选：B 【考点剖析】本题考查了“半角模型”，熟记相关模型的构成、求解及结论是解题关键． 题型9 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 【精讲】（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【思路引导】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型10 其他模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【思路引导】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【规范解答】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【变式】（2021七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 【思路引导】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【规范解答】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 题型11 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【精讲】．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，，点在线段上，且，连接，若． 证明：且．请将以下推导过程补充完成． 证明：∵， ① ． ， ② ，即． 在和中， （ ④ ）； ． （___⑤_____） 【答案】①，②，③，④，⑤内错角相等，两直线平行． 【思路引导】本题考查平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差，逐步分析解答即可． 【规范解答】证明：∵， ． ， ，即． 在和中， ； ． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③，④，⑤内错角相等，两直线平行． 【变式】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析 （2）G是的中点，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证 ，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【规范解答】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 题型12 全等三角形综合问题 【精讲】（25-26八年级上·山东临沂·期中）【教材呈现】如图是新人教版八年级上册数学教科书第56页的部分内容． 活动2    用全等三角形证明拼图猜想 如图1，．把，剪下来，用它们拼图，使边与边重合，顶点与顶点不重合，画出你拼出的图形．在你画出的图形中，连接，用测量、折纸等方法猜想，有什么关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 小明的拼图如图2，他用测量、折纸等方法猜想垂直平分，并利用得到，，从而验证了其猜想是正确的． 【问题解决】 (1)小华的拼图如图3，他提出的猜想是：与互相平分（即，），请你帮他写出证明过程． (2)小芳的拼图如图4，请你根据小芳的拼图提出猜想并写出证明过程． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【思路引导】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的定义与性质，平行线的判断，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的性质得到，证出，即可得出结论． （2）连接，根据三角形全等的性质得到，证出，得到，再结合外角的性质得到，即可证出结论． 【规范解答】（1）证明：∵，边与边重合， ∴， ∵， ∴ ∴； 即与互相平分． （2）证明：，理由如下： 如图，连接， ∵，边与边重合， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，张老师借助两个全等的含角的直角三角板进行全等三角形的相关探究． (1)问题发现 将三角板与三角板按图1方式摆放，其中，，点E落在上，所在直线交所在直线于点F． ①与是否相等？_____（填“是”或“否”）； ②写出线段、、之间的数量关系：_____． (2)问题探究 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角得到图2，且，其他条件不变，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)问题拓展 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图3．请直接写出、与之间的数量关系． 【答案】(1)①是；② (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出线段相等是解题的关键． （1）①连接，证明和全等即可得出结论；②根据结合得出结论即可； （2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样； （3）同（1）得，由，可得． 【规范解答】（1）证明：①连接， ∵（已知）， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， 故答案为：是． ②又∵， ∴， 故答案为：． （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：．理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ∴． 题型13 尺规作一个角等于已知角 【精讲】（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图，点在的边上，用尺规作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；④作射线．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角的尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角的尺规作图是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【规范解答】解：由作图可知：， ∴， ∴， ∴， 综上所述：不一定成立； 故选A． 【变式】（25-26八年级上·河北邢台·期中）按下列要求作三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (1)如图1，已知线段a，b，c，求作，使得，，． (2)如图2，已知和线段d，e，求作，使得，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的基本作图方法是解题的关键． （1）截取，以点C为圆心，a为半径作弧，以A为圆心，c为半径作弧，两弧交点为B； （2）先作，截取，，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1，即所求． （2）解：如图2，即所求． 题型14 过直线外一点作已知直线的平行线 42．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知直线，和点． 作线段，使点、分别在直线，上，且为的中点． （要求：用直尺和圆规作图：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】图见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 构造平行线，构造全等三角形解决问题图形即可． 【规范解答】解：如图，线段即为所求： 方法：过点作直线交直线于点，作直线，以为圆心，为半径作弧交直线于点，在上截取，过点作直线，直线交直线于点，连接，延长交直线于点，线段即为所求． 理由如下： 此时， ∴，，， ∴， ∴， ∴为的中点． 【变式】（25-26八年级上·重庆忠县·阶段练习）（1）用直尺和圆规做一条直线，使这条直线过顶点，并且与边平行．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在平行线右端截取线段，连接，证明． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【思路引导】本题考查尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）利用内错角相等、两直线平行，过点作出即可； （2）利用即可证明． 【规范解答】（1）如图所示，直线即为所求； （2）如图所示，在平行线右端截取线段，连接， ，， ， ， ． 题型15 尺规作图—作三角形 【精讲】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1~图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．    （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线．    （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接．    在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，，，，再结合全等三角形的判定定理判断即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【规范解答】解：由作图可得，，，， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，为外部一点，连接、，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使；（保留作图痕迹，不用写做法）； (2)根据你的作图，判定的依据是___________； (3)求的度数． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3) 【思路引导】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接即可得到答案； （2）①根据（1）中的尺规作图，结合全等三角形的判定定理即可得到答案； （3）结合全等三角形的判定可得，在和中，由三角形内角和定理得到、，数形结合表示出计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：由（1）中尺规作图可得， 再由，结合两个三角形全等的判定定理即可得到， 故答案为：； （3）解：在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得， ， ， ． 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，根据两个三角形全等，可知对应相等的两条边的夹角相等，从而求出的度数． 【规范解答】解：两个三角形全等， 对应相等的两条边的夹角相等， ． 故选：A． 2．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了用直尺和圆规作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，熟练掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角及全等三角形的判定与性质是解题的关键．连结，，由作图可知，，，，即可根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质，即可证明，即可判断答案． 【规范解答】解：连结，， 由作图可知，，，， ， ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，已知 ，用直尺和圆规按照以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ； ②画射线 ，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④过点画射线 ； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，理解尺规作图的依据是解题的关键．根据圆的半径相等，第一步到第三步的尺规作图可以得到三组对应线段相等，依据“边边边”可以判定，据此回答即可． 【规范解答】解：根据基本作图，由作图得，， 判定的依据是， 故选：A． 4．（20-21八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形的全等判定，关键在熟练掌握各判定定理的条件和方法．依据三角形全等判定的定理（、、、），即可． 【规范解答】解： ，， ，故A不符合题意； ， ， ， ，， ，故B不符合题意； ，， ，故C不符合题意； 根据，，不能使得，故D符合题意； 故选：D． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的综合问题，一元一次方程与几何动点，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P在上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【规范解答】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： 则（秒）， 此时， ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： 则 ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于2或或16秒时，与全等， 故选：D． 6．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等的简写）． 【答案】 【思路引导】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据尺规作图可得，再根据定理即可得． 【规范解答】解：由尺规作图可知，， 在和中， ， ∴， 即这两个三角形全等的依据是， 故答案为：． 7．如图，在锐角三角形和锐角三角形中，，分别是边，上的高，且，．要使，则可以补充条件 （填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，分别是边，上的高，，，证明，故，又因为，即可证明． 【规范解答】解：依题意，要使，则可以补充条件， 过程如下： ∵，分别是边，上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 8．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，若与全等，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质和三角形定理，根据全等三角形对应角相等可得，再由三角形内角和定理可得结论． 【规范解答】解：∵与全等， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 时，． 【答案】3或7 【思路引导】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，注意分类讨论． 分两种情况：当点在射线上时，当点在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【规范解答】解：当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， ∴此时点运动时间为； 当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴−− ， ∴此时点运动时间为． 综上所述，点运动或时，． 故答案为：或． 10．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走 时与全等． 【答案】1或3 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情况：①若，，则；②若，，则即可得出结果． 【规范解答】解：∵于A，于B， ∴， 设P点每分钟走， ①若，此时，， ， ， ②若，，， ， ． 故答案为：1或 11．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．    【答案】 【思路引导】由于， 于，得，则，可判断正确；根据“同角的余角相等”推导出，即可证明， 可判断正确；由垂线段最短可证明， ，则，可判断错误；由， ，且，得，可判断正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】∵，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴，故错误； ∵， ∴，， ∵， ∴，故正确； 故答案为： ． 【考点剖析】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 12．（20-21八年级下·广西百色·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，． (3)存在；当或2时与全等． 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的性质可得，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【规范解答】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，． （3）①如图1，当时，再由，可得， ∵， ∴， ， 解得， ， ， 解得． ②如图2，当时，再由，可得， ∵， ∴， ∴， ， 解得， ， ， 解得； 综上所述：当或2时与全等． 13．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【规范解答】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 14．（25-26八年级上·全国·期末） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求证是解题的关键． （1）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【规范解答】解：（1）， 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：结论仍然成立； 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级下·广东河源·期末） 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为 ． (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得 与 全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质． （1）证明，可得； （2）证明 即可求解； （3）连接，由是钝角，则当与全等时，在中必有一个钝角，只能是是钝角，此时，再根据，即可求的值． 【规范解答】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在点使得与全等，理由如下： 连接，    ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $