4.1成比例线段（第1课时）（导学案）数学北师大版九年级上册

4.1 成比例线段 导学案 1. 理解线段的比和成比例线段的定义，能准确判断四条线段是否成比例；掌握比例的基本性质，并能运用性质解决简单的几何问题. 2. 经历测量、计算、对比等活动，从具体实例中抽象出成比例线段的概念，培养数学抽象能力. 3. 感受成比例线段在生活中的广泛应用，体会 “数学源于生活、用于生活”，激发学习兴趣. 学习重点：理解成比例线段的定义，掌握比例基本性质并会简单应用. 学习难点：理解并会推导比例基本性质，能够识别实际问题中 “成比例线段”模型. 第一环节 自主学习 温故知新： 1.测量以上两个形状相同图形对应边的长度，发现两个图形中的两条对应边比值都为_______． 2.由此可以发现：形状相同的图形，多组对应边的比值是_______的. 3.回顾：两个数的比，本质是表示______________的关系. 新知自研：自研课本第75--78页的内容． 【学法指导】 情景引入 在ppt上展示一些生活图片，并将这些图片的缩放图放在一起，引导学生观察这些图片的大小与形状关系. 自研课本P75-78页的内容，思考： ●探究一：形状相同图形与线段的比 ◆1. 图中形状相同的图形有：______________、____________________________、______________ ◆2. 由于对应线段的长度不同，导致它们最终_______不一样； 由此可以猜想，这些形状相同的图形可能存在固定的_______关系. ◆3. 定义：如果用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比是AB:CD = _______（或） ◆4. （1）线段的比的实质是什么______________. （2）注意：计算时必须统一______________ ◆5. （1）已知五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同， AB = 5cm，A'B' = 3cm，那么线段AB与A'B'的比是_______; （2）这个比值刻画了形状相同图形的______________，也就是说，大五边形可看作小五边形 “_______” 得到. ◆6.知识归纳 ①形状相同的图形，对应线段的比_______； ②线段的比：线段的比是两条线段______________（需统一单位），它能刻画形状相同图形的______________，若两线段AB、CD的长分别为m、n，则两条线段长度的比记作. 练一练 1. （1）用同一单位测量得线段 ，，则 _______（结果化为最简整数比）. （2）若线段 ，，则 ，比值 ，表示 . 2. 已知线段 ，，下列说法正确的是（ ）  A.   B.   C.  是比的前项， 是比的后项时，比值为   D.  与  的比为  ●探究二 成比例线段的概念探究 ◆1.观察图形 观察上图，可以发现这两个四边形形状______________、______________ ◆2. 设小方格边长为 1，计算线段AB、AD、EF、EH的长度 AB=_______；由勾股定理, . EF=_______;由勾股定理, ◆3. 计算线段比值，探究其中规律 （1），；，. （2）通过上式的计算，我们发现，.即：______________. ◆4. 知识归纳 “成比例线段” 的定义. 四条线段a,，b,，c,，d中，若a与b的比_______c与d的比（即 = ），则这四条线段叫做______________（简称______________） （1）四条线段成比例的核心条件是_____________________；线段顺序_______（会/不会）影响比例关系. 练一练 下列每组四条线段中，哪些是成比例线段？若成比例，写出一个比例式；若不成比例，说明理由（单位：cm）. （1），，，；  （2），，，；  （3），，，. ●探究三 比例的基本性质探究 猜想：（1）如果a，b，c，d四个数成比例，即，那么ad＝bc吗？ （2）反过来，如果ad＝bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗？ 小组讨论：验证以上两个猜想. ◆1.结合等式性质，验证若，则. 由于，且（分母不为0），两边同乘_______（等式性质） 得，化简后，因此该猜想成立. ◆2.猜想二的验证 （1）已知 （即 ），利用等式的性质，在2×6=4×3的等号两边同时除以_______，_______得到 ；同样的，（即 ），利用等式的性质，在2×6=4×3的等号两边同时除以_______，_______得到 . （2）若 ，且 ，利用等式的性质，等式两边同时除以_______，即可得 . ◆3. 知识归纳 比例的基本性质： 正向：若 （），则_______（外项积=内项积）； 反向：若 （），则_______（或其他比例式，如 ） 练一练 1.（1）若（均不为0），根据比例的基本性质，可得； （2）若（均不为0），将其转化为比例式（写出一种即可）： 2. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）若mn=pq，则mq=np； （2）若ab=cd，则ac=db（a,b,c,d均为实数）. 典例分析 例1：如图，一块矩形绸布的长AB＝a m，宽AD＝1 m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？ 【分析】本题是比例性质应用问题，结合矩形裁剪情境，核心是利用比例的基本性质（交叉相乘）建立方程求解未知量. 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.共同探讨如何得出比例的基本性质； B.合作探究比例的基本性质的双向推导. C.交流例题的解决方法. 1.已知线段 cm， cm， cm， cm，下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2.若四条线段 、、、 成比例，且 ，，，则 的值为（ ） A. 8 B. 4.5 C. 2 D. 12 3.下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 ， B. 线段的比与所采用的长度单位有关 C. 若 （ 均不为 0），则 D. 成比例线段的四条线段必须按顺序排列 4.已知 （），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5.形状相同的两个矩形，其中一个矩形的长和宽分别为 5 cm 和 4 cm，另一个矩形的宽为 6 cm，则其长为（ ） A. 7 cm B. 7.5 cm C. 8 cm D. 8.5 cm 6.若 ，且 ，则 _______. 7.已知线段 cm， dm（1 dm = 10 cm），则 _______ 8.若 （），则 . 9. 某工厂要生产一种零件，设计图纸上零件的长为 10 cm，实际生产的零件长为 50 mm（1 cm = 10 mm），图纸上零件的宽为 6 cm。 （1）求图纸上零件与实际零件的长度比； （2）根据比例的基本性质，求实际生产零件的宽。 题型一：线段的比与单位统一 1.（2024・山东青岛模拟）已知线段 ，，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2. （2.（2023・江苏苏州中考改编）线段 ，（），则 的最简比为（ ） A. B. C. D. 3. （2025・湖北武汉模拟）若线段 ，线段 的长度是 的 2 倍，则 _______ 4. （2024・浙江杭州模拟）已知线段 ，，则 _______ 题型二： 成比例线段的判断 5.（2023・四川成都中考）已知四条线段 ，，，，下列说法错误的是（ ） A. 成比例（） B. 成比例（） C. 成比例（） D. 以上都不对 6.（2024・广东深圳模拟）四条线段的长度分别为 3，5，6，10，则这四条线段（ ） A. 成比例 B. 不成比例 C. 只有两组成比例 D. 无法判断 7.（2025・河南郑州模拟）若四条线段 ，，，，则 _______成比例线段（填“是”或“不是”） 8.（2023・湖南长沙模拟）已知线段 ，，，，判断 与 是否相等，并说明这四条线段是否成比例。 题型三 比例基本性质 9.（2024・陕西西安中考改编）若 （），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10.（2023・重庆中考）已知 （ 均不为 0），则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 11.（2025・江苏南京模拟）若 （），则 12.（2024・山东济南模拟）已知 ，且 ，则 _______ 题型四 比例性质的计算应用 13.（2023・浙江宁波中考改编）已知 ，，则 （ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 14（2024・河北石家庄模拟）若 ，则 （ ） A. B. C. D. 15.（2025・辽宁沈阳模拟）已知 ，则 . 16.（2023・安徽合肥模拟）若 （），且 ，求 的值. 题型五 比例性质的计算应用 17.（2024・福建福州中考）某地图的比例尺为 ，若图上距离为 ，则实际距离为（ ） A. B. C. D. 18.（2023・四川绵阳模拟）小明用复印机复印文件，复印前后文件的形状相同，复印前文件的长为 ，宽为 ，复印后文件的宽为 ，则复印后文件的长约为（ ） A. B. C. D. 19.（2024・北京中考改编）美术课上老师用投影仪展示作业，投影仪镜头到作业的距离为 ，镜头到屏幕的距离为 （），若作业上某线段长为 ，则屏幕上对应线段的长为多少？ 成比例线段: 1. 线段的比：用同一长度单位测量两条线段的长度，其比值即为这______________. 2. 成比例线段的定义. 四条线段a,，b,，c,，d中，若a与b的比等于c与d的比（即 = ），则这四条线段叫做______________（简称_______） 3. 比例的基本性质： 正向：若 （），则_______（外项积=内项积）； 反向：若 （），则_______（或其他比例式，如 ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 成比例线段 导学案 1. 理解线段的比和成比例线段的定义，能准确判断四条线段是否成比例；掌握比例的基本性质，并能运用性质解决简单的几何问题. 2. 经历测量、计算、对比等活动，从具体实例中抽象出成比例线段的概念，培养数学抽象能力. 3. 感受成比例线段在生活中的广泛应用，体会 “数学源于生活、用于生活”，激发学习兴趣. 学习重点：理解成比例线段的定义，掌握比例基本性质并会简单应用. 学习难点：理解并会推导比例基本性质，能够识别实际问题中 “成比例线段”模型. 第一环节 自主学习 温故知新： 1.测量以上两个形状相同图形对应边的长度，发现两个图形中的两条对应边比值都为2：1． 2.由此可以发现：形状相同的图形，多组对应边的比值是相等的. 3.回顾：两个数的比，本质是表示两个数相除的关系. 新知自研：自研课本第75--78页的内容． 【学法指导】 情景引入 在ppt上展示一些生活图片，并将这些图片的缩放图放在一起，引导学生观察这些图片的大小与形状关系. 自研课本P75-78页的内容，思考： ●探究一：形状相同图形与线段的比 ◆1. 图中形状相同的图形有：大小不同的星形、轮廓相似但大小有别的多边形、五边形 ◆2. 由于对应线段的长度不同，导致它们最终大小不一样； 由此可以猜想，这些形状相同的图形可能存在固定的比例关系. ◆3. 定义：如果用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比是AB:CD = m:n（或） ◆4. （1）线段的比的实质是什么两个数的比. （2）注意：计算时必须统一长度单位 ◆5. （1）已知五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同， AB = 5cm，A'B' = 3cm，那么线段AB与A'B'的比是; （2）这个比值刻画了形状相同图形的大小关系，也就是说，大五边形可看作小五边形 “放大倍” 得到. ◆6.知识归纳 ①形状相同的图形，对应线段的比相等； ②线段的比：线段的比是两条线段长度的比值（需统一单位），它能刻画形状相同图形的大小关系，若两线段AB、CD的长分别为m、n，则两条线段长度的比记作. 练一练 1. （1）用同一单位测量得线段 ，，则 10:3（结果化为最简整数比）. （2）若线段 ，，则 ，比值 ，表示 . 2. 已知线段 ，，下列说法正确的是（ C ）  A.   B.   C.  是比的前项， 是比的后项时，比值为   D.  与  的比为  ●探究二 成比例线段的概念探究 ◆1.观察图形 观察上图，可以发现这两个四边形形状形状相似、大小不同 ◆2. 设小方格边长为 1，计算线段AB、AD、EF、EH的长度 AB=8；由勾股定理, . EF=4;由勾股定理, ◆3. 计算线段比值，探究其中规律 （1），；，. （2）通过上式的计算，我们发现，.即：两组线段的比相等. ◆4. 知识归纳 “成比例线段” 的定义. 四条线段a,，b,，c,，d中，若a与b的比等于c与d的比（即 = ），则这四条线段叫做成比例线段（简称比例线段） （1）四条线段成比例的核心条件是两组线段的比相等；线段顺序会（会/不会）影响比例关系. 练一练 下列每组四条线段中，哪些是成比例线段？若成比例，写出一个比例式；若不成比例，说明理由（单位：cm）. （1），，，；  （2），，，；  （3），，，. 解：（1），，因为 ，所以四条线段成比例 比例式为 （2）尝试所有可能的“两两比”组合： ，（）； ，（）； ，（） 所有组合中，均无“两个比相等”的情况，故四条线段不成比例 （3）计算线段的比，寻找“两个比相等”： ，。 因为 ，所以四条线段成比例。 比例式： ●探究三 比例的基本性质探究 猜想：（1）如果a，b，c，d四个数成比例，即，那么ad＝bc吗？ （2）反过来，如果ad＝bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗？ 小组讨论：验证以上两个猜想. ◆1.结合等式性质，验证若，则. 由于，且（分母不为0），两边同乘（等式性质） 得，化简后，因此该猜想成立. ◆2.猜想二的验证 （1）已知 （即 ），利用等式的性质，在2×6=4×3的等号两边同时除以24，能得到 ；同样的，（即 ），利用等式的性质，在2×6=4×3的等号两边同时除以8，能得到 . （2）若 ，且 ，利用等式的性质，等式两边同时除以 ，即可得 . ◆3. 知识归纳 比例的基本性质： 正向：若 （），则 （外项积=内项积）； 反向：若 （），则 （或其他比例式，如 ） 练一练 1.（1）若（均不为0），根据比例的基本性质，可得； （2）若（均不为0），将其转化为比例式（写出一种即可）： 解：或都可以 2. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）若mn=pq，则mq=np； （2）若ab=cd，则ac=db（a,b,c,d均为实数）. 解：（1）正确。理由：根据比例的基本性质，若（，比例式分母不为0），则两外项与的乘积等于两内项与的乘积，即。因此该说法正确。 （2）不正确。理由：若，转化为比例式需要满足分母且。题目中仅说明均为实数，未限制不为0，因此当或时，或无意义，无法推出。因此该说法不正确。 典例分析 例1：如图，一块矩形绸布的长AB＝a m，宽AD＝1 m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？ 【分析】本题是比例性质应用问题，结合矩形裁剪情境，核心是利用比例的基本性质（交叉相乘）建立方程求解未知量. 【解答】根据题意可知，AB＝a m，AE＝a m，AD＝1 m. 由，得 即 . 开平方，得a＝（a＝－舍去，长度为正数）. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.共同探讨如何得出比例的基本性质； B.合作探究比例的基本性质的双向推导. C.交流例题的解决方法. 1.已知线段 cm， cm， cm， cm，下列比例式成立的是（ A ） A. B. C. D. 2.若四条线段 、、、 成比例，且 ，，，则 的值为（ A ） A. 8 B. 4.5 C. 2 D. 12 3.下列说法正确的是（ C ） A. 若 ，则 ， B. 线段的比与所采用的长度单位有关 C. 若 （ 均不为 0），则 D. 成比例线段的四条线段必须按顺序排列 4.已知 （），则下列等式成立的是（ B ） A. B. C. D. 5.形状相同的两个矩形，其中一个矩形的长和宽分别为 5 cm 和 4 cm，另一个矩形的宽为 6 cm，则其长为（ B ） A. 7 cm B. 7.5 cm C. 8 cm D. 8.5 cm 6.若 ，且 ，则 4. 7.已知线段 cm， dm（1 dm = 10 cm），则 3：10 8.若 （），则 . 9. 某工厂要生产一种零件，设计图纸上零件的长为 10 cm，实际生产的零件长为 50 mm（1 cm = 10 mm），图纸上零件的宽为 6 cm。 （1）求图纸上零件与实际零件的长度比； （2）根据比例的基本性质，求实际生产零件的宽。 解：（1）长度比计算 图纸上零件长，实际长，故图纸与实际的长度比为. （2）实际宽计算 设实际生产零件的宽为，根据比例关系，得，解得. 故实际生产零件的宽为3cm. 题型一：线段的比与单位统一 1.（2024・山东青岛模拟）已知线段 ，，则 的值为（ A ） A. B. C. D. 【分析】此题的单位不统一，需将 bb的单位换算为 "cm" （1 cm = 10 mm）. 【解答】统一单位： 计算比值： . 【点评】本题关键在单位统一，避免直接用“3 cm : 50 mm”计算导致错误. 2. （2.（2023・江苏苏州中考改编）线段 ，（），则 的最简比为（ A ） A. B. C. D. 【分析】单位不统一：m 的单位是 "dm" ，n的单位是 "m" ，需统一单位（1 m = 10 dm）. 【解答】统一单位：n=0.4 "m"=0.4×10=4 "dm" 计算比值：m:n=2 "dm":4 "dm"=2:4=1:2 【点评】易错点：未化简“2:4”，错选 B；或单位换算错误（如将 0.4 "m" 换算为 0.4 dm），错选 C. 3. （2025・湖北武汉模拟）若线段 ，线段 的长度是 的 2 倍，则 1:2 【分析】先求出 CD的长度，再计算 AB与 CD的比. 【解答求 CD 的长度：CD=2×AB=2×4 "cm"=8 "cm" 计算比值：AB:CD=4 "cm":8 "cm"=4:8=1:2. 【点评】关键步骤：明确“CD 是 AB 的 2 倍”即 CD=2AB，避免将比写成2:1. 4. （2024・浙江杭州模拟）已知线段 ，，则 5. 【分析】单位不统一：x 的单位是 "cm" ，y 的单位是 "mm" ，需统一单位（1 cm = 10 mm）. 【解答】统一单位： 计算比值： 【点评】技巧：小数比可通过“分子分母同乘 10 的倍数”化为整数比，再计算． 题型二： 成比例线段的判断 5.（2023・四川成都中考）已知四条线段 ，，，，下列说法错误的是（ C ） A. 成比例（） B. 成比例（） C. 成比例（） D. 以上都不对 【分析】分别验证各选项的比例式是否成立，即计算“前项比后项”是否相等． 【解答】选项 A：，，则 ，故 成比例，A 正确 选项 B：，，则 ​，故 成比例，B 正确 选项 C： ​， ​，​，C 错误 【点评】关键：成比例线段的顺序可调整，只要存在两组线段比相等即可. 6.（2024・广东深圳模拟）四条线段的长度分别为 3，5，6，10，则这四条线段（ A ） A. 成比例 B. 不成比例 C. 只有两组成比例 D. 无法判断 【分析】尝试不同顺序组合，判断是否存在 .． 【解答】组合 1：，，则 ​，比值相等，故四条线段成比例 【点评】技巧：先将四条线段按从小到大排序（3，5，6，10），再验证“最小:较小 = 较大:最大”是否成立（），快速判断成比例. 7.（2025・河南郑州模拟）若四条线段 ，，，，则 是成比例线段（填“是”或“不是”） 【分析】验证是否存在 或其他组合即可． 【解答】（分母有理化），则 ​，比值相等 【点评】理数比：含根号的线段比可通过分母有理化后比较 8.（2023・湖南长沙模拟）已知线段 ，，，，判断 与 是否相等，并说明这四条线段是否成比例。 【分析】分别计算 和 ，若相等则四条线段成比例． 【解答】计算比值： ​， ​，故 . 判断成比例：由 ​，可知四条线段 成比例（顺序为 ） 【点评】顺序调整：成比例线段的顺序不唯一，只要满足“两组比相等”即可. 题型三 比例基本性质 9.（2024・陕西西安中考改编）若 （），则下列等式成立的是（ A ） A. B. C. D. 【分析】利用比例基本性质“交叉相乘”转化为等积式. 【解答】由 ，交叉相乘得 （外项积 = 内项积），故 A 正确。 选项 B：应为 ，B 错误； 选项 C： ​，C 错误； 选项 D：需用合比性质验证，但题目未要求，D 不成立. 【点评】核心技巧：比例式 ​ 与等积式 互化是解比例问题的“万能工具”. 10.（2023・重庆中考）已知 （ 均不为 0），则下列比例式错误的是（ D ） A. B. C. D. 【分析】验证各选项是否满足“外项积 = 内项积”（即 ab=cd） 【解答】选项 A： → 外项积 ，内项积 ，，正确； 选项 B： ​ → 外项积 ，内项积 ，，正确； 选项 C： → 外项积 ，内项积 ，，正确； 选项 D：→ 外项积 ，内项积 ，即 ，与 不符，错误 【点评】验证方法：比例式正误判断的本质是“外项积是否等于内项积”，与已知等积式对比即可. 11.（2025・江苏南京模拟）若 （），则 【分析】将等积式 转化为比例式 . 【解答】等式 两边同时除以 （），得 . 【点评】等积式化比例式时，“的系数”作为后项，“的系数”作为前项. 12.（2024・山东济南模拟）已知 ，且 ，则 6 【分析】设 ，（），代入 求解. 【解答】设参数：设 ， 代入方程：3 → → 求 ：， 【点评】比例问题中，设“比例系数 ”可将两个变量转化为一个变量，简化计算. 题型四 比例性质的计算应用 13.（2023・浙江宁波中考改编）已知 ，，则 （ B ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 【分析】利用比例基本性质“交叉相乘”求 a. 【解答】由 ​，得 代入 ：→ 【点评】比例式中已知三个量，可通过“外项积 = 内项积”求第四个量 14（2024・河北石家庄模拟）若 ，则 （ C ） A. B. C. D. 【分析】利用合比性质： 【解答】 . 【点评】合比性质：避免繁琐的参数法，直接将分式拆分为“”，快速计算. 15.（2025・辽宁沈阳模拟）已知 ，则 . 【分析】将 拆分为 ,解方程求 【解答】 ​ → 【点评】拆分法：将分子为多项式的分式拆分为两个分式的差或和，简化计算 16.（2023・安徽合肥模拟）若 （），且 ，求 的值. 【分析】设比例系数 ，表示 ，，，代入方程求解. 【解答】设参数：设 ，则 ，，。 代入方程： → → → 【点评】连比设 ：遇到多个相等的比（连比），设比例系数 是通用方法，可将多个变量统一为单变量 题型五 比例性质的计算应用 17.（2024・福建福州中考）某地图的比例尺为 ，若图上距离为 ，则实际距离为（ A ） A. B. C. D. 【分析】比例尺 = 图上距离 : 实际距离，设实际距离为 ，列比例式求解，注意单位换算（1 m = 100 cm）. 【解答】列比例式： ​ → 单位换算： 【点评】比例尺定义：比例尺 = 图上距离 / 实际距离，注意实际距离的单位换算（由 cm 化为 m 或 km） 18.（2023・四川绵阳模拟）小明用复印机复印文件，复印前后文件的形状相同，复印前文件的长为 ，宽为 ，复印后文件的宽为 ，则复印后文件的长约为（ A ） A. B. C. D. 【分析】形状相同即对应边成比例，列比例式 【解答】设新长为 ，列比例式： 求解： → → 【点评】相似图形性质：形状相同的图形对应边成比例，是解决缩放问题的关键. 19.（2024・北京中考改编）美术课上老师用投影仪展示作业，投影仪镜头到作业的距离为 ，镜头到屏幕的距离为 （），若作业上某线段长为 ，则屏幕上对应线段的长为多少？ 【分析】投影前后线段成比例，比例 = 镜头到屏幕距离 : 镜头到作业距离 【解答】统一单位： 设屏幕上线段长为 ，列比例式：​（屏幕距离 : 作业距离 = 屏幕线段长 : 作业线段长） → 【点评】比例关系：投影仪的“物距”（镜头到作业距离）与“像距”（镜头到屏幕距离）之比等于“作业线段长”与“屏幕线段长”之比，注意顺序对应 成比例线段: 1. 线段的比：用同一长度单位测量两条线段的长度，其比值即为这两条线段的比. 2. 成比例线段的定义. 四条线段a,，b,，c,，d中，若a与b的比等于c与d的比（即 = ），则这四条线段叫做成比例线段（简称比例线段） 3. 比例的基本性质： 正向：若 （），则 （外项积=内项积）； 反向：若 （），则 （或其他比例式，如 ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $