4．1成比例线段 (1) 导学案　　 2025—2026学年北师大版数学九年级上册

4．1成比例线段 (1) 导学案 【学习目标】了解线段的比和成比例线段；了解比例的基本性质． 【学习重难点】了解成比例线段，比例的基本性质； 【导学过程】 一.知识回顾： 比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．比例尺=图上距离：实际距离． 例如：A、B两地的距离为900千米，画在比例尺为1∶30000000的地图上，图上距离是 厘米． 二.探究新知： 1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n，或写成．其中AB，CD分别叫做这个线段比的 和 ．如果把表示成比值k，那么 ．两条线段的比实际上就是 ． 2．成比例线段：四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即： ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质：如果，那么 ．如果ad=bc（a，b，c，d都不等于 )，那么 ． 三.典例与练习：A B C E D A′´ B′´ C′´ E′´ D′´ 例1：如图,，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB=5cm，A′B′=3cm． （1）AB：A′B′= ， （2） 两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系，但 ． 练习1：如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上： （1） 那么AB，AD，EH，EF的长度分别是多少？分别计算的值，你发现了什么？ （2） 图中AB，EH，AD，EF是成比例线段吗？AB，AD，EH，EF也是成比例线段吗？ 练习2：（1）把ad=bc写成比例式的形式： ． （2）如图，一块矩形绸布的长AB=am，AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即，那么a的值应当是多少？A E B C F D 例2：已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A＝30°,斜边AB＝2。求⑴，⑵ 练习3.已知某一时刻物体高度与其影长的比值为2：5，某天同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为_______米. 四.课堂小结： 1.两条线段的比就是它们长度的比，它是一个数,它没有单位.2.两条线段比与所选的长度单位无关. 3.两条线段的比是有顺序的;4.求两条线段比时.如果单位不同.那么必须先化成同一单位.再求它们的比 五.分层过关： 1．在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是（　　）． A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km 2．已知线段AB=2.5米，线段CD=400厘米，则（1）线段AB和CD的比是 ______ ；（2）这个线段的比的前项是______，后项是_______。 3．若线段c满足，则c叫a,b的比例中项；当线段a=4cm，b=9cm，则线段c= ． 4．如果，那么= ． 5．如图，已知点C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AB∶BD=3∶2，AB∶AC=5∶3，AC=3．6，求AD的长．A C B D 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=30°，AD=10．AE为BC边上的高，垂足E为BC中点． 求:AE∶BC． C B D A E 7.如图，已知，AD=6.4cm，DB=4.8cm，EC=4.2cm，求AC的长． 思考题：如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比是多少？C B D A F E 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4．1成比例线段 (1) 导学案 【学习目标】了解线段的比和成比例线段；了解比例的基本性质． 【学习重难点】了解成比例线段，比例的基本性质； 【导学过程】 一.知识回顾 比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．比例尺=图上距离：实际距离． 例如：A、B两地的距离为900千米，画在比例尺为1∶30000000的地图上，图上距离是3厘米． 二.探究新知： 1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n，或写成．其中AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么AB=k•CD．两条线段的比实际上就是两个数的比． 2．成比例线段：四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即： ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质：如果，那么ad=bc．如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0)，那么 ． 三.典例与练习： 例1：如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB=5cm，A′B′=0.03m． （1） AB：A′B′=5:3，A B C E D A′´ B′´ C′´ E′´ D′´ （2） 两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系，但两条线段的长度单位要统一． 练习1： 如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上： (1)AB，AD，EH，EF的长度分别是多少？分别计算的值，你发现了什么？AB=8,AD=,EF=,EH=4;AB:EH=AD:EF=2. (2)图中AB，EH，AD，EF是成比例线段吗？AB，AD，EH，EF也是成比例线段吗？ ∵AB:EH=AD:EF=2∴AB，EH，AD，EF是成比例线段;∵AB:AD=EH:EF∴AB.AD.EH.EF也是成比例线段. 练习2： （1）把ad=bc写成比例式的形式：a:b=c:d或a:c=b:d或b:a=d:c或c:a=d:b． （2）如图，一块矩形绸布的长AB=am，AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即，那么a的值应当是多少？A E B C F D 解：由题意得：AB=am,AE=am,AD=1m∴,∴a=(舍去负值)a= 例2：已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A＝30°,斜边AB＝2。求⑴，⑵ 解：(1)，（2） 练习3.已知某一时刻物体高度与其影长的比值为2：5，某天同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为_12_米. 四.课堂小结： 1.两条线段的比就是它们长度的比，它是一个数,它没有单位.2.两条线段比与所选的长度单位无关. 3.两条线段的比是有顺序的;4.求两条线段比时.如果单位不同.那么必须先化成同一单位.再求它们的比. 五.分层过关： 1．在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是（D）． A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km 2．已知线段AB=2.5米，线段CD=400厘米，则（1）线段AB和CD的比是5：8；（2）这个线段的比的前项是AB，后项是CD. 3．若线段c满足，则c叫a,b的比例中项；当线段a=4cm，b=9cm，则线段c=6． 4．如果2x=5y，那么x:y=5:2． 5．如图，已知点C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AB∶BD=3∶2，AB∶AC=5∶3，AC=3．6，求AD的长．A C B D 解：由题知：∵AC=3.6∴AB=6∴BD=4∴AD=10 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=30°，AD=10．AE为BC边上的高，垂足E为BC中点． 求:AE∶BC． 解：在Rt△ABE中,∠B=300∴AB=2AE.∵BC=AD=10,E是BC中点, ∴BE=5,由勾股定理可得C B D A E 7.如图，已知，AD=6.4cm，DB=4.8cm，EC=4.2cm，求AC的长． 解：∵，AD=6.4，DB=4.8，EC=4.2∴AE=5.6∴AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8(cm） 思考题：如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比是多少？C B D A F E 解：由题知：∴AD2=AE×AB=2AE2∴AD=AE=AB ∴即：原来矩形的长边与短边的比是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$