第四章 2 平行线分线段成比例-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

2平行线分线段成比例 要点提示 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所裁，所得的对&线段成比俐。 平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角对一边的立线与其他两边相交，藏得的对发线复成比州 ◆O1固基础念 知识点2平行线分线段成比例的基本事 实的推论 知识点1平行线分线段成比例的基本事实 4.(2024一2025九江期中)如图，已知AB,CD 1.如图，ls∥l∥5,1和3分别与4s,4,4相 相交于点O,OA=4,OC=3,EF是△ODB 交于点A,B,C,D,E,F,则下列结论不成立 的中位线，且AC∥EF,OE=2,那么OB的 的是 ( 长为 () A6器 BAG-DE 16 A.3 B. C.2 3 D.8 C.BC_EF AC DF D.AB_DE EF BC 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，DE∥BC,G为BC上 第1题图 第2题图 点，连接AG交DE于点F.若AF=2,AG 2.如图，在6×6的正方形网格中，连接两格点 6,EC=5,则AC= (小正方形的顶点)A,B,线段AB与网格线 6.如下图，DE∥BC,EF∥CG,AD:AB=1: 的其中两个交点为M,N,则下列结论不正 3,AE-4. 确的是 ( (1)求EC的值. -号 B是 (2)求证：AD·AG=AF·AB. c n能-号 3.(2025萍乡期未)如右图，已知 AB∥CD∥EF,它们依次交直 线l,l2于点A,D,F和点B, C,E.如果AD=6,DF=3,BC =5,求BE的长 数学九年级S版 易错点运用平行线分线段成比例的基 的顶点C,分别交边AB和AD的延长线于 本事实的推论时找不准对应关 点P,Q,BP=AB,求证：DQ=2AB. 系而致错 7.如图，在△ABC中，点D, E分别在AB,AC上，DE ∥BC,则下列结论不成立 的是 第？题周 A品能 B品 C.AB_AE AC D.AD_DB AD AE EC 02提能力◆ O3拓思维) 4+。4 8.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平 12.请阅读以下材料，并回答相应的问题. 行横线组成的，同一条直线上的三个点A, 角平分线分线段成比例定理：三角形任意 B,C都在横线上.若线段AB-3,则线段BC 两边之比等于它们夹角的平分线分对边之 的长是 ( 比.如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC, B.1 D.2 则哈把-0下面是这个定理的部分证明 过程 证明：如图②，过点C作CE∥DA,交BA 的延长线于点E… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的 第8题图 第9题图 剩余部分 9.如图，l,l2,l,4是一组平行线，l5,l6与这 (2)如图③，已知在Rt△ABC中，AB-3, 组平行线依次相交于点A,B,C,D和点E, BC=4,∠ABC=90°，AD平分∠BAC,则 F,G,H.AB:BC:CD=2:3:4,EG= 10,则EH的长为 ( △ABD的周长是 A.14 B.16 C.18 D.20 10.(2024一2025衢州期中)如 图，在矩形ABCD中，AB< BC,点E,F分别在CD,AD 边上，且△BCE与△BFE关 第10题图 于直线BE对称，点G在AB边上，GC分 别与BF,BE交于P,Q两点若C-, cE-0Q.则8 11.(教材变式)如下图，直线PQ经过菱形ABCD 上册第四章由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次漠 出的小球颜色恰好不同的结果有6种， 两次装出的小球颜色恰好不同的概率为一号 9.解：(1)2950.595(2)0.60.6 (3)由题意可知，要使获得“手工作品”的可能性不小 于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品“区域 的扇形的圆心角至少还要增加360°×0.5-一360×0.4 =36°. 本章小结 1.C2A3A4是5号6.公平7.号 8.解：号 (2)画树状图如图。 d a+50-13-25-8311-29 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中a十b>0 的结果有4种，a十<0的结果有4种， 小聪，小明获胜的概率均为号，这个游戏公平。 9.B10.B11.0.9512.413.0.14 第四章图形的相似 1成比例线段 第1课时线段的比和成比例线段 1.D2.D3.D4.10 5.解：：AD=20cm,BD=12cm, .AB=20+12=32(cm). 设AE=xcm. .CE=9 cm,..AC=(z+9)cm. 铝怨 器千解得15 ..AE=15 cm 6.解：设QY=x,则XQ=1一x. :PQ刚好将这个八边形平分成两个面积相等的 部分， ×5× :PQ下面的部分的面积为S三十S正=之 1+0+1=号×10， 怒得x=子Q-是则XQ=1-x-1-号- 5 2 .XQ52 …Q331 5 第2课时比例的基本性质和等比性质 1.D2.B3.12 4解：1)：号=音==2025，号=二音 180 数学九年级B$版 2025. :6d4f0,6特-音-2025 (2号---2025号---2025 6+2d-5j0小新-号-号-2025 :+2d-5f 1 'a+2c-5e2025 5.A6.号7.等边 8.解：(1)b+d=0,.b=-d. 又“号-京马身音∴ad=-cd,即a+e0d=0. 由分-号可知d≠0，a+c=0. (2)当a+6+c≠0时，叶c==+b=t b 2a+b+e=2,2-t-2=2-2-2=0: a+b+c 当a+b+c■0时，b+c■一a,a十c■一b,a+b=-c, 6+c-a十c-a+b=t=-1. a .2-t-2=(-1)°-(-10-2=0. 综上所述，产一t一2的值为0. 2平行线分线段成比例 1.D2.C 3解：AB/CD/EF,架-距即g-品 .65 解得CE=2.5, ∴.BE=BC+CE=5+2.5=7.5. 4.B5.7.5 6,DE/BC铝能 又8日AE=4花司 41 解得AC-12, ,.EC=AC-AE=12-4=8. (2)证明：：DE∥BC,EF∥CG, 铝能怨 AD·AG=AF·AB. 7.c8.C9.C10. 3 11.证明：：四边形ABCD是菱形， .BC∥AD,AB=DA=BC=CD,AB∥CD, 器器器品 又P-号AB,再器-名 .BP-CP_DA 1 AB QC DQ 2 AB=AD器-2D0-2AB 12.解：(1)证明：：CE∥AD, 器∠2-∠AcE,∠1-∠E AD平分∠BAC,∠1=∠2，∠ACE=∠E, AE=AC…小2-0 (2)9+35 2 3相似多边形 1.D2.A3.甲和丙4.A5.86.5 7.解：1D83 (2):四边形ABCD四边形A'B'CD', 滑器-品得C-是 A8-2BC-12 8.A9.A10.2311.2 12.解：(1)不相似.理由如下： 由题意，得AB=30,A'B'=28,BC-20,B'C-18 :2818 ·30201 ∴.矩形ABCD与矩形A'B'CD'不相似 (2)由题意，得AB=30,A'B'=30-2x,BC=20, B'C=18. 若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似， g瓷提脂 30' 解得x=1.5或x=9. 故当x为1.5或9时，矩形ABCD与矩形A'B'CD 相似. 13.解：设点M,N的运动时间为ts(0<t≤8) .'AB-12 cm,BC-16 cm.AE=DF-8 cm. ∴.CF=BE=AB-AE=4cm. ①当E形CNMF矩形AEFD时，是-需 即号-。解得=1： 西当矩形CFMN矩形AEFD时，是-器 即专一得解得一4 综上所述，当点M,N运动1s或4s时，矩形CFMN 与矩形AEFD相似. 4探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 1.D2.D 3.解：(1)△ADE△ABC, .AE DE 1 AC-BC3 2能-号AE-4 ∴.AC=3AE=12. 4.A5.B 6.解：∠1=∠2，∠APC=∠BPD,△BPD∽ △APC8肥-8B即吧-是BD-8 7.2波号8.D9.C10.51.9 12.解：(1)证明：：DB平分∠ADC, .∠ADB=∠CDB. 又：∠ABD=∠BCD=90°， ·△ABD∽△BCD, 部0 .BD=AD·CD (2):BM∥CD,∴.∠MBD=∠BDC, .∠ADB=∠MBD, .BM=MD,∠MAB=∠MBA, BM-MD-AM-TAD-4. BD=AD·CD,且CD=6,AD=8, .BD=48, .BC BD-CD =12. ,BM∥CD, .∠MBC=180°-∠BCD=90°， .MC=MB+BC=28, .MC=27. '∠MNB=∠CND,∴.△MNBc∽△CND, 0深号MN- 5 13解：号支9 (2)四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等.理由 如下： 如图，过点P作PH⊥BC于点H, 则∠PHC=∠B=90 :∠PCH=∠ACB,∴.△CPH c△CAB, 2.PH_PC B 器1” 10 ÷PH-30=6,当四边形ABQP与△CPQ的面积 5 相等时，SaAc-Sacg=Sage,即Sac=2SacQ, 日×6×8=2×号…0。整理，得f-红+ 5 20=0.,△=(-5)2-4×20=-55<0，∴.此方程无 实数解， ∴.四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等， 第2课时两边成比例且夹角相等的判定方法 1B2D3B4把-福（答案不理-）5.90 6约 7,证明：：CA平分∠BCD,.∠ACB=∠DCA. AG-CD.BC 181 上册参考签案