第13章 勾股定理学业质量测评卷-【步步为赢·全程无忧大单元整体设计与评价】八年级上册数学（华东师大版2024）

全程无忧·测评卷 八年级数学·HS·上 步步为赢 第13章学业质量测评卷 （时间：100分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为 邮1 A.5 B.√7 C.5或7 D.1 1 2.已知△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，则下列条件： 阃 ①a=3,b=4,c=5;②a2:b2:c2=1:2:3;③∠A:∠B:∠C=3 :4:5;④∠A=2∠B=2∠C中，能判断△ABC是直角三角形的 有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.若点A,B,C,D,E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则 ∠BAC+∠CDE= () A.30° B.45 C.50° D.60° I 救 国 D 第3题图 第4题图 4.如图，在平面直角坐标系x0y中，已知点A(3,0),B(0,2),过点 B作y轴的垂线L,P为直线1上一动点，连接PO,PA,则PO+PA 的最小值为 (） A.5 B.3 C.2 D.6 5.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池 可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分 32 的截面是直径为⊙二米的半圆，其边缘AB=CD=16米，点E在CD 上，CE=4米.一滑板爱好者从点A滑到点E,则他滑行的最短距 厨 离为 A.18米 B.20米 C.22米 D.24米 32 16 挺 第5题图 第6题图 训16.如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”.记图中正方形 ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3·若正 方形EFGH的边长为√6，则S1+S2+S3的值为 A.16 B.17 C.18 D.20 7.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△DEC,点A,B 的对应点分别是D,E,连接AD,点E恰好落在线段AD上.若AB =1,AE=3,则CE2的值是 () A.4 B.5 C.8 D.10 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点D在BC上，将 △ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处.设BD=x,则可 得方程为 () A.x2=(8-x)2+62 B.x2=(8-x)2+42 C.x=8-x+4 D.x2=62+82 9.如图，四边形ABFE,AJKC,BCIH分别是以Rt△ABC的三边为一 边的正方形，过点C作AB的垂线，交AB于点D,交FE于点G, 连接HA,CF.有下列结论： ①△ABH≌△FBC; ②S正方形BCIH=2S△ABH ③S长方形BFGD=2S△cBP; ④BD2+AD2+CD2=BF2. 其中正确的结论是 A.①②③ B.①③④ C.①③ D.①②③④ 10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀 算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外 作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最 大正方形内.下列选项中一定正确的是 () ③ ② 图1 图2 A.S阴影=直角三角形的面积 B.S阴影=S正方形① C.S阴影=S正方形② D.S阴影=两个较小正方形重叠部分的面积 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足关系式Jc2+a2-b2+√a-c =0,则△ABC的形状为 第13章学业质量测评卷 12.某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m、高5m的台 阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为4m,地毯的价格为 120元/m2,则购买地毯需花费 元 13 第12题图 第13题图 13.如图，一圆柱高12cm,底面半径是3cm,一只蚂蚁绕着圆柱向 上螺旋式爬行.假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B,圆周率π 取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 14.如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索 却行，去本八尺而索尽.问索长几何.译文：今有一竖直着的木柱， 在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地 面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱 底部8尺(BC=8)处时而绳索用尽.则木柱长为 尺 15.如图，已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,∠DAC =2LABC.若BC=8,SAARG=12,则BD= D 三、解答题（共75分】 16.(10分)如图，王师傅在铁片△ABC中剪切下△ABD,且∠ADB= 90°，AD=9cm,BD=12cm. (1)求AB的长； (2)若BC=20cm,AC=25cm,求图中阴影部分的面积. D R 7 17.(10分)如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶.已 知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A,B的距离分别 为150m和200m,又AB=250m,环卫车周围130m以内为受 噪声影响区域。 (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学 校持续的时间有多少分钟？ 18.(10分)定义：在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,且a,b,c满 足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上 定义解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)如图，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AC= BC,AB>AC,求∠A的度数 19.（10分)图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测 得支架AC=12dm,AB=5dm,两轮中心的距离BC=13dm,滚 轮半径r=1dm. (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=5dm,AE= 3dm,且AE⊥DE,AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的 左边缘D到地面的距离.（结果精确到0.1dm) 图 图2 8 20.(平顶山市郏县期中)(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥ CD,BC=AD=8,AB=CD=20,∠DCB=90°，E为CD边上的 点，DE=14,动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿 边AB向点B运动，连接BE,PE,设点P运动的时间为ts. (1)求BE的长； (2)若△BPE为等腰三角形，且BE为其中一条腰，求t的值. 21.（12分)如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架 ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋 转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=5,DM=3. 图1 图2 (1)在旋转过程中， ①当A,D,M三点在同一直线上时，AM的长为 ； ②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时，AM的长为 ； (2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点 D1转到其内的点D2处，即满足AD1=AD2,∠D1AD2=0°，连接 D1D2,BD2,CD2,如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=6,求BD2 的长 第13章学业质量测评卷 22.(13分)我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角 形拼成如图1所示的图形，其中四边形ABED和四边形CFGH 都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a,b,c 之间的一个重要结论：a2+b2=c2. 图1 图2 图3 (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整； 已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.求证：a2 圆 +b2=c2 证明：由图1可知S正方形ABED=4S△MBC+S正方形CFGH, :S正方形ABED=C2,SAARC= ,正方形CFGH的边长为 ..c-4xab+(a-b)2-2ab+a2-2ab+b,a'+b=c. (2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c,以AB 为直角边在AB的右侧作等腰直角△ABD,其中AB=BD,∠ABD =90°，过点D作DE L CB,垂足为E.你用两种不同的方法表示 梯形ACED的面积，并证明a2+b2=c2; 国 (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长 相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”.若a=12,b=9, “数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个 风车图案的面积 网 扫码看答案.∠AFD=∠FDC. .AF∥CD. ②AD⊥BD 21.(1)证明：：∠BAC=∠EAD, ∴.∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC, 即∠BAE=∠CAD. 又AB=AC,AE=AD, '.△ABE≌△ACD(SAS). (2)BD=BF+EF.证明如下： 如图，在BD上截取BG=BF,连接EG,AG AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=∠C=45. ·AF∥BC, .∠FAE=∠ABC=45. BA平分∠FBD, ∴.∠FBE=∠GBE. BF=BG,BE=BE, .△BFE≌△BGE(SAS). .EF=EG,∠BEF=∠BEG. ∴.180°-∠BEF=180°-∠BEG,即∠AEF=∠AEG AE=AE, .△AFE≌△AGE(SAS). ∴.∠GAE=∠FAE=45°. ∴.∠DAG=∠BAC-∠EAG=45°=∠EAG. AD=AE,AG=AG, .∴.△DAG≌△EAG(SAS): .DG=EG. .EF=DG. .·.BD=BG+DG=BF+EF 22.(1)证明：.∠BAC=∠DAE, .∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠CAE =∠BAD. (AC=AB, 在△AEC和△ADB中，{∠CAE=∠BAD, AE=AD, ∴.△AEC≌△ADB(SAS). (2)解：①AD=AE,∠DAE=90°， ∴.∠ADE=∠AED=45 .∴.∠ADB=180°-∠ADE=180°-45°=135° 同(1)得△AEC≌△ADB(SAS), .∠AEC=∠ADB=135. ∴.∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°. ②如图，过点A作AG⊥DE于点G,则∠FGA =90°. 由①可知，∠FEC=90°， .∴.LFGA=∠FEC. F为AC的中点， ∴.AF=CF 又LAFG=∠CFE, ∴.△AGF≌△CEF(AAS). ∴.AG=CE=2,GF=EF .AD=AE,∠DAE=90°， ∴.DG=EG=AG=2. G.CF=EF-7EG=1. .S=2SAmr=2XCEBF=2x1-2. 2 (3)AF的长为6. 第13章学业质量测评卷 1.C2.C3.B4.A5.B6.C7.B8.B9.A 10.D 11.等腰直角三角形 12.816013.15cm14.55 15.10 6 ·18· 16.解：(1)在Rt△ABD中，根据勾股定理可得 AB=√JAD2+BD2=√92+122=15(cm) (2)AB2=152=225,BC2=202=400,AC2=252 =625, ..AB2+BC2=AC2. ..∠ABC=90. .S阴影= 2XABXBC-1 ×ADXBD=96cm2. 17.解：(1)学校C会受噪声影响.理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于点D. AC=150m,BC=200m,AB=250m, ..AC2+BC2=AB2. ∴.△ABC是直角三角形. 1 Sac=2AC·BC=2CD·AB, .·.150×200=250×CD. .∴.CD=120m: :环卫车周围130m以内为受噪声影响区域， ∴.学校C会受噪声影响， (2)如图，当EC=130m,FC=130m时，环卫车在 EF上行驶时，正好影响学校C. :ED=√EC2-CD2=√1302-1202=50(m), 同理DF=50m, .EF=100m. .·环卫车的行驶速度为每分钟50米， ∴.100÷50=2（分钟） .环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟 18.解：(1)等边三角形不是“类勾股三角形”.理由 如下： 设等边三角形的三边长分别为a,b,c,且a=b=c, 则ab+a2=a2+a2=2a2>c2 .等边三角形不是“类勾股三角形” 。19· (2).等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AC= BC,AB>AC, .AC·BC+AC2=AB2. ..BC2+AC2=AB2. ∴.△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. AC=BC, ∴.∠A=∠B=45° 19.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下： .AC2+AB2=122+52=169,BC2=132=169, ..AC2+AB2=BC2. ∴.△ABC是直角三角形 (2)AE⊥DE, ∴.∠E=90° 在Rt△ADE中，DE=√AD2-AE=√52-32=4(dm). 如图，过点A作AG⊥BC于点G. S△ABC= 24B,AC=2 C·AG, .AC=AB AC_60 BC=13 dm. ∴.购物车上篮子的左边缘D到地面的距离为DE +AG+r=4+60 +13+1=9.6(dm). 20.解：(1)AB=CD=20,DE=14, ∴.CE=CD-DE=20-14=6. :∠DCB=90°， ∴.△BCE是直角三角形 BC=8,CE=6, ∴.BE=√BC2+CE2=√82+62=10. (2)①当BE=BP时， BE=10, ∴.BP=10. ∴.AP=AB-BP=20-10=10. ∴.t=10÷2=5; ②当BE=PE时，如图，过点E作EF⊥BP,交BP 于点F .AB∥CD,∠DCB=90°，EF⊥BP, .EF=CB=8. 在Rt△BEF中，BF=√BE-EF=√102-82=6. BE=PE, ∴.EF是△BPE的中线. .BP=6×2=12. ∴.AP=AB-BP=20-12=8. .t=8÷2=4. 综上所述，t的值为4或5. 21.解：(1)①2或8②4或√34 (2)如图，连接CD1· 由旋转90可得AD1=AD2=5,∠D2AD1=90°， .∠AD2D1=∠AD1D2=45° .DD2=√AD22+AD12=√50 .∠D1D2C=∠AD2C-∠AD2D1=135°-45°=90°. 在Rt△D,D2C中，由勾股定理可得 D1C=√/D1D22+CD22=√50+36=√86. :△ABC为等腰直角三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=90°=∠D2AD1 ∴.∠BAC-∠D2AC=∠D2AD1-∠D2AC, 即∠BAD2=∠CAD1 .AD2=AD, .△BAD2≌△CAD(SAS). ∴.BD2=D1C=√86 22.解：(1)2ba-b (2),DE⊥BC, ∴.∠DBE+∠BDE=90°. :∠ABD=90°， ∴.∠ABC+∠DBE=90°. ∴.∠ABC=∠BDE. 又∠C=∠BED=90°，AB=BD, ∴.△ABC≌△BDE(AAS). ∴.BC=DE=a,AC=BE=b. 1 :S梯形ACED=S△ABc+S△MBn+S△BED= . 又S梯形ACED= 上2(AC+DE)(CB+BE) 1 =2(a+b)(a+b) 1 =2(a+b)2, a*62=a6+7 1 ∴a2+2ab+b2=2ab+c2. .a2+b2=c2. (3)由题意，如图所示. ,“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长 度为108， ∴.AD+BD=108÷4=27. 设AD=x,则BD=27-x 在△BCD中，BC2+CD2=BD2, .a2+(b+x)2=(27-x)2. 将a=12,b=9代入，可得 (9+x)2+144=(27-x)2. 解得x=7. ∴.CD=AC+AD=9+7=16. .小正方形的边长为a-b=12-9=3, ·风车的面积为)-BCXCDX4+3x3= 2 2×12×16x4 ·20·