第四章 一次函数（4大考点+4大易错+易错训练）（知识清单）数学北师大版2024八年级上册

第四章 一次函数 知识点01 函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 知识点02 一次函数的表达式 形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 知识点03 一次函数的图象与性质 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 知识点04 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 易错点1 利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错 1. 要明确一次函数y = kx + b中k≠ 0，若忽略此条件，会导致参数取值范围错误。例如y=(m - 1)x + 2是一次函数，需保证m - 1≠0即m≠1。 2. 对于正比例函数y = kx，除k ≠ 0外，还需注意b = 0的隐含条件。如y=(n + 2)x + n是正比例函数，需同时满足n + 2≠0且n = 0，即n = 0。 例题：已知函数 是一次函数，则 ． 【答案】5 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解，掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1，是解题关键． 【详解】解：根据题意得：且 解得：． 故答案为：． 易错点2 对正比例函数的定义理解不透彻致错 1. 需明确正比例函数是一次函数的特殊形式，需同时满足**y = kx（k≠0）**，即系数k不为0且不含常数项。若忽略k≠0，如y = mx，当m = 0时就不是正比例函数；若遗漏常数项为0的条件，如y = 3x + 1，因含常数项1，也不符合定义。 2. 遇到含参数的正比例函数问题，要同时验证k eq0和常数项为0两个条件。例如y=(a + 1)x + a是正比例函数，需满足a + 1≠0且a = 0，即a = 0，若只考虑其一，会导致参数求解错误。 例题：已知：y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点在这个函数的图像上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值等知识．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入得，，可求，进而可得y与x之间的函数关系式； （2）将代入得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：将代入得，， 解得，． 易错点3 实际问题中忽略自变量的取值范围致错 1. 实际问题中，自变量取值需结合实际意义确定，如时间、数量等不能为负数或超出合理范围。若忽略，如“租车费用函数”中，租车数量为负数就不符合实际，会导致函数应用错误。 2. 解决实际问题时，需先分析自变量的取值限制，再结合一次函数性质求解。例如“销售利润函数”，销售量不能为负，需确定自变量取值范围后，再找利润的最值或其他结果，否则会得出不符合实际的结论。 例题：综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【答案】（1）①图见解析，②一次函数，；（2）①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米，②当箭尺读数为厘米时是点钟． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，掌握相关知识是解题的关键． （1）①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可； ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出箭尺的读数； ②利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解． 【详解】解：（1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图， ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数， 设这条直线所对应的函数表达式为：，把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数表达式为：， 故答案为：一次函数，； （2）当时，， ∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米； 当时，则， 解得：， ∴供水时间为15小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午8：00， ， ∴当箭尺读数为厘米时是点钟． 易错点4 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错 1. 一次函数与坐标轴交点位置受k、b符号影响，若未考虑其多种组合情况易漏解。如求y = kx + b与两坐标轴围成三角形面积时，需分k、b正负讨论交点在轴上的位置，忽略则会少算情况。 2. 解决此类问题时，需先分析k、b的可能符号组合，再分别确定交点坐标。例如已知一次函数与两坐标轴交点到原点距离，需考虑交点在坐标轴正、负半轴的不同情况，逐一求解避免漏解。 例题：如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点． (1)求的面积． (2)若轴上有一点，且，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）先求出，得到，再根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求结合三角形面积计算公式得到，则或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 设直线的解析式为， 当时，则，解得， ∴直线的解析式为， 同理可得当时，直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 2．（2024七年级下·全国·专题练习）某景区有一根长cm的特大蜡烛，若每小时燃烧cm，那么蜡烛剩余长度（cm）与燃烧时间（小时）之间的函数关系式用图象表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的题目，根据题意求得函数关系式是解题的关键． 根据蜡烛剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以得出函数的关系式，再由蜡烛长为非负数可求出自变量的取值范围，据此就可以得出函数图象． 【详解】解：由题意得， ．， ， ， ， 是函数值随着的增大而减小的函数且图象是一条线段． 故选B． 3．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，与正比例函数的图象交于点A．若动点M在射线上运动，当的面积是的面积的时，此时点M的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了直线与坐标轴的交点，直线与坐标轴围成的三角形的面积等知识，熟练掌握直线与坐标轴围成的三角形的面积是是解题的关键．首先联立求出，然后求出，，利用的面积是的面积的求出或，然后分别求解即可． 【详解】由得， ． 对于，令，解得，令，解得， ，． ， ． 由题意，得，即， ， 或． 当时，在中令，得， ， 当时，在中令，得， ， 综上所述，M的坐标为：或． 故选：C． 4．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1，    ， ， ； ②当时，如图2，    ， ， ， 综上所述：的长为或4． 故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫一次函数，根据一次函数的定义得出，，计算即可得解． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出的耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，从而得出关系式． 【详解】解：每行驶耗油，则每行驶耗油为：，由余油量=原有油量耗油量得， ， 油可行驶， ∴自变量的取值范围为， 故答案为：，． 7．（24-25八年级上·全国·期末）长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为 ． 【答案】2或5 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的平移及一次函数的性质，分为当直线在的下方时及当直线在的上方时，两种情况进行分类讨论，根据一次函数平移的性质结合几何图形求解即可． 【详解】解：长方形的边在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为， ， ， 设将直线沿y轴向上平移个单位后与轴交于点D，与轴交于点E， 如图，当直线在的下方时， 平移后的直线将长方形的面积分成的两部分， ， 平移后的函数关系式为， 令，得，解得：， ， 令，得， ， ， ， （负值舍去）， 如图，当直线在的上方时，设直线交于点M，交于点N， 平移后的直线将长方形的面积分成的两部分， ， 平移后的函数关系式为， 令，得，解得：， ， ， 令，得， ， ， ， 或9（舍去）， 故答案为：2或5． 8．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先求出，则为等腰直角三角形，则，可得，则，然后分两种情况讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵直线分别与x轴交于A，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当时，如图： ∴， ∴， ∴； 当时，如图： ∴，， ∴， ∴， 综上：点D的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知函数是关于的一次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义条件是：、为常数，是解题关键．根据一次函数的定义条件即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， ∴． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，且当时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若的取值范围为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． （1）根据题意设，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）将点代入求解即可； （3）根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 将代入，得， 解得， 所以，即． （2）解：将点代入， 得， 解得． （3）在中， 因为， 所以随的增大而增大， 所以当取最小值时，值最小． 当时，， 解得， 所以的最小值为． 11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，，三角形的面积是6；    (1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标； (2)点的坐标是，连接、，并用含字母的式子表示的面积； (3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积的，如果存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， (2) (3)或 【分析】此题考查了求函数解析式、坐标与图形、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据三角形的面积得到，解得，即可求出答案； （2）作于点，分三种情况画出图形分别进行解答即可； （3）根据（2）列方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵三角形的面积是6 ∴ 解得 ∴， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， （2）作于点， 如图，当时， 如图，当时， 如图，当时， 综上可知， （3）当时， 或， 解得或， ∴点P的坐标为或 12．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动（点不与重合），设运动时间为秒，的面积为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)见解析 (3)1或 【分析】（1）根据，为中点，得到，根据题意，得，当时，；当时，；解答即可． （2）根据两点确定一条直线，画图即可，根据图象，写出一条性质即可； （3）根据两种解析式，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵，为中点， ∴， 根据题意，得， 当时，； 当时，； 综上所述，． （2）解：根据题意，得， 画图如下： 当时，S随t的增大而减小；当时，S随t的增大而增大． （3）解：当时，根据题意，得， 解得； 符合题意； 当时，根据题意，得， 解得； 符合题意； 故t的值 1或． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，画函数图形，获取函数的性质，分类计算，函数的解析式，熟练掌握性质，解析式是解题的关键． 13．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 14．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. 设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. （2）解：点，，， ，， . （3）解：分两种情况： ①如图1，当时，，. ， ， ，. 把代入，得， 点. ②如图2，当时，， . 直线的函数解析式为， 直线的函数解析式为. 将与联立，解得 点. 综上所述，点的坐标为或． 15．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图①，在平面直角坐标系中，交轴和轴于两点，其坐标分别为，满足． (1)求点的坐标； (2)如图②，过点作，截取，点在第一象限内，过点作轴于点，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，连接，若点运动的时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接，在坐标轴上是否存在点，使与全等?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与全等时，点M的坐标为或 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）过点D作于H，证明，分和两种情况，列分段函数； （3）点M可能在x轴上，也可能在y轴上，因此需要分两种情况分别计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图①，过点D作于H， ， ， 在和中， ， ， 当时， 由题意得：则， ； 当时，， ， 则 （3）解：如图②， ， ， ， ， 当时，， ， ∴点M在x轴上． ， ， 当时，， ∵点在轴上， ， ， ， 综上所述：与全等时，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的判定和性质，动点问题的函数解析式，熟练运用分类讨论思想是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 知识点01 函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个 ，y都有 确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 知识点02 一次函数的表达式 形如 （k，b为常数， ）的函数叫做一次函数。当 时， （ ）叫做正比例函数。 知识点03 一次函数的图象与性质 一次函数y = kx + b的图象是一条 ，可通过两点法（如( , )和( , )）画出。当k>0时，y随x的增大而 ；当k<0时，y随x的增大而 。b决定直线与y轴的交点( , )。 知识点04 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立 ，再结合图象或性质求解。 易错点1 利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错 1. 要明确一次函数y = kx + b中k≠ 0，若忽略此条件，会导致参数取值范围错误。例如y=(m - 1)x + 2是一次函数，需保证m - 1≠0即m≠1。 2. 对于正比例函数y = kx，除k ≠ 0外，还需注意b = 0的隐含条件。如y=(n + 2)x + n是正比例函数，需同时满足n + 2≠0且n = 0，即n = 0。 例题：已知函数 是一次函数，则 ． 易错点2 对正比例函数的定义理解不透彻致错 1. 需明确正比例函数是一次函数的特殊形式，需同时满足**y = kx（k≠0）**，即系数k不为0且不含常数项。若忽略k≠0，如y = mx，当m = 0时就不是正比例函数；若遗漏常数项为0的条件，如y = 3x + 1，因含常数项1，也不符合定义。 2. 遇到含参数的正比例函数问题，要同时验证k eq0和常数项为0两个条件。例如y=(a + 1)x + a是正比例函数，需满足a + 1≠0且a = 0，即a = 0，若只考虑其一，会导致参数求解错误。 例题：已知：y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点在这个函数的图像上，求m的值． 易错点3 实际问题中忽略自变量的取值范围致错 1. 实际问题中，自变量取值需结合实际意义确定，如时间、数量等不能为负数或超出合理范围。若忽略，如“租车费用函数”中，租车数量为负数就不符合实际，会导致函数应用错误。 2. 解决实际问题时，需先分析自变量的取值限制，再结合一次函数性质求解。例如“销售利润函数”，销售量不能为负，需确定自变量取值范围后，再找利润的最值或其他结果，否则会得出不符合实际的结论。 例题：综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 易错点4 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错 1. 一次函数与坐标轴交点位置受k、b符号影响，若未考虑其多种组合情况易漏解。如求y = kx + b与两坐标轴围成三角形面积时，需分k、b正负讨论交点在轴上的位置，忽略则会少算情况。 2. 解决此类问题时，需先分析k、b的可能符号组合，再分别确定交点坐标。例如已知一次函数与两坐标轴交点到原点距离，需考虑交点在坐标轴正、负半轴的不同情况，逐一求解避免漏解。 例题：如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点． (1)求的面积． (2)若轴上有一点，且，求直线的表达式． 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 2．（2024七年级下·全国·专题练习）某景区有一根长cm的特大蜡烛，若每小时燃烧cm，那么蜡烛剩余长度（cm）与燃烧时间（小时）之间的函数关系式用图象表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，与正比例函数的图象交于点A．若动点M在射线上运动，当的面积是的面积的时，此时点M的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 二、填空题 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·全国·期末）长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为 ． 8．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知函数是关于的一次函数，求的值． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，且当时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若的取值范围为，求的最小值． 11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，，三角形的面积是6；    (1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标； (2)点的坐标是，连接、，并用含字母的式子表示的面积； (3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积的，如果存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由． 12．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动（点不与重合），设运动时间为秒，的面积为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值．（保留一位小数，误差不超过） 13．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 14．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 15．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图①，在平面直角坐标系中，交轴和轴于两点，其坐标分别为，满足． (1)求点的坐标； (2)如图②，过点作，截取，点在第一象限内，过点作轴于点，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，连接，若点运动的时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接，在坐标轴上是否存在点，使与全等?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $