专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等）（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 19 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，， ①求证：．②若，则的长为__________． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（24-25八年级下·广东佛山·培优）如图，四边形中，，平分，于点．，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，和的角平分线，相交于点，于点 ，连接． 下列结论： 平分 ；；若，则 ；若 的周长为， ， 则 其中正确的是 ．（请填写序号） 例3（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．    例4（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点．求证：．请写出完整的证明过程：… (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图3，在中，，平分于点，点在上，，若，则的长为______． (3)【拓展】如图4，在中，平分交于点于点，若，，，则的面积为____． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 例2（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，中，，，点是的中点，若平分，，线段的长为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    例4（24-25八年级上·重庆·期末）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据______证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 例2（24-25四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 例3（24-25八年级上·山西吕梁·期中）问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 例4（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 1．（24-25·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC中，＝90°，AB＝AC，BD平分交AC于点D，DE⊥BC于点E，下面结论：①AB＝EB；②AD＝DC；③；④AD＝EC，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25·广东惠州·八年级校考开学考试）如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 5．（24-25·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，平分，，，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 6．（24-25·江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 7．（24-25江苏八年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________． 8．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为 ． 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在四边形中，，，则的值是 ． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）探索角的平分线的画法． （1）画法1：利用直尺和圆规 请在图中用直尺和圆规画出的平分线；（不写画法不需证明，保留作图痕迹） （2）画法2：利用等宽直尺． 如图，将一把等宽直尺的一边依次落在的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O．画射线，则射线是的平分线．这种角的平分线的画法依据的是______． A．    B．    C．    D． （3）画法3：利用刻度尺 已知：如图，在的两条边上分别画，，连接、，交点为点O，画射线． 求证：是的平分线． （4）画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法．请在图中画出的平分线，写出画法，并加以证明． 11．（24-25山东八年级课时练习）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 12．（24-25·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小． 13．（24-25江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题． (1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． (2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC． 14．（24-25·浙江·八年级开学考试）已知在中，，AD是的平分线． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，线段还存在（1）中的等量关系吗？说明理由． 15．（24-25辽宁沈阳·八年级校考期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________. (2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想. (3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.        16．（24-25四川·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 17．（24-25·安徽·九年级期末）如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 18．（24-25·广西钦州·八年级校考阶段练习） (1)感知：如图，平分，，易知：（不需证明） (2)探究：如图，平分，，求证：． (3)应用：如图，四边形中，，，，，求证：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 19 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于，则， ∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴米，，， ∵，， ∴，∴，∴， ∴米，即此时甲、乙两人的距离为米．故答案为：50． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，， ①求证：．②若，则的长为__________． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 【答案】(1)(2)①见解析；②(3)平方米． 【详解】（1）解：平分，，， 又，，故答案为：； （2）解：①如图，延长交于点， 平分，，，， 又，，，，， ，，； ②由①可知，， ，，； （3）解：①如图，延长交于点， 同理可证，，，米， 和是等高三角形，米，， 面积为20平方米，平方米，平方米， 答：划出的的面积为平方米． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（24-25八年级下·广东佛山·培优）如图，四边形中，，平分，于点．，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，，∴，， 在和中，，∴， ∴， 在和中，，∴，∴， ∴， ∴，故选：． 例2（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，和的角平分线，相交于点，于点 ，连接． 下列结论： 平分 ；；若，则 ；若 的周长为， ， 则 其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】 【详解】解：过点作于，于，如图所示： ∵和的角平分线，相交于点，， ∴，，∴，∴点在的平分线上，∴平分，故结论正确； ∵在中, ，∴， ∵和的角平分线，相交于点，∴，， ∴， 在中，， ∴，故结论不正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵，∴，∴ ∵和的角平分线，相交于点，∴，， 在和中，，∴，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，故结论正确； 如图所示：由（）可知：，∵， ，， ∴， ∵的周长为，，∴， ∴，故结论不正确；综上所述：正确的结论是，故答案为：． 例3（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．    【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：过点作于，    ∵，平分，∴， ∵点为的中点，∴，∴，又∵，∴平分； （2）证明：在和中，，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （3）证明：∵，∴， ∵，∴，∵，∴． 例4（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点．求证：．请写出完整的证明过程：… (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图3，在中，，平分于点，点在上，，若，则的长为______． (3)【拓展】如图4，在中，平分交于点于点，若，，，则的面积为____． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：是的平分线，， ，，， 又，，； （2）解：，，平分，， 同（1）法可得：，，， ，，又，，，， ，，， ∵，∴，；故答案为：； （3）解：过点作，交于点，如图， 平分交于点，，，， ，，，，， ∵，，；故答案为：． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 【答案】3 【详解】解：如下图，延长交于点， ∵，，，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴．故答案为：3． 例2（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，中，，，点是的中点，若平分，，线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，延长交于点， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中， ，∴， ∴，，∴， 又∵点为的中点，∴是的中位线，∴，故选：． 例3（24-25广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    【答案】 【详解】解：如图：延长，交点于，    平分，，，， 在和中，，，，； ，，即；  ，， 当时，取最大值，即取最大值．．故答案为：． 例4（24-25八年级上·重庆·期末）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据______证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】[问题情境]；[类比解答]；[拓展延伸]，证明见解析 【详解】解：[问题情境]∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，，故答案为：； [类比解答]延长交于点，如图， 由问题情境可知，，∴， ∵，∴，故答案为：； [拓展延伸]，证明如下：延长、交于点，如图，则， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，由问题情境可知，，∴； 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，，，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，， ，．故选：B． 例2（24-25四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析 【详解】证明：（1）在上取一点，使得，连接 ∵ ∴∴， ∵∴∴ ∵∴ 即与互补． （2）由（1） ∵ ∴ 又∵ ∴即 ∴∴∵∴． 例3（24-25八年级上·山西吕梁·期中）问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析； （3）线段，，之间的数量关系为． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴，由折叠的性质可得，，， 在和中，，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴，∵，∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴． （3）解：，证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线，∴，在和中，， ∴，∴，， 设，∵，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 例4（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4） 【详解】（1）补充证明如下：∵，∴， 又∵∴，∴ ∵点是边的中点，∴，又∵∴， 在中，∴∴， 又，∴，即； （2）∵，∴， ∵为的角平分线，∴ ∴，故答案为：． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵，∴，∵是的角平分线，∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴， 又∵∴∵是的角平分线，∴， 在中，∴∴∴； （4）解：如图所示，在上截取，∵平分∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴∴， ∴，∴ 故答案为：． 1．（24-25·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：如图，过D作于E，    ∵，，∴，∴， ∵，即，是的角平分线，∴，故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC中，＝90°，AB＝AC，BD平分交AC于点D，DE⊥BC于点E，下面结论：①AB＝EB；②AD＝DC；③；④AD＝EC，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，∴AD=ED， 又∵BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴AB=EB，故①正确； 在Rt△DEC中，CD＞DE，∴CD＞AD=DE，故②错误； ∵AB=AC，∴△DEC的周长=DE+CD+EC=AD+CD+CE=AC+CE=AB+CE=BE+CE=BC，故③正确； ∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，∴∠C=45°， ∴∠EDC=∠C=45°，∴DE=CE=AD，故④正确；故选C． 3．（24-25·广东惠州·八年级校考开学考试）如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：作，垂足为D，交延长线于点E，则，    ∵平分，，，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，故选：A． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 【答案】B 【详解】解：延长交于E， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，故选B． 5．（24-25·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，平分，，，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，交的延长线于点，    平分，于点，于点， ，， 在和中，，，， 在和中，，，， ，，，．故选：． 6．（24-25·江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示延长交于点E， ∵平分，，∴ ，， 在与中，∵ ， ，， ∴∴ ， ， ∵∴ ，∵，∴ ， ∴当，最大，即最大， ∴答案为． 7．（24-25江苏八年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________． 【答案】2 【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， 在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF， ∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF， 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF， ∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2． 8．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为 ． 【答案】11 【详解】解：如图，过点D作于H，如图， ∵是的角平分线，，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵和的面积分别为60和38， ∴，∴．故答案为：11． 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在四边形中，，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作并交的延长线于点， ∵，∴，∴， 设，则，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）探索角的平分线的画法． （1）画法1：利用直尺和圆规 请在图中用直尺和圆规画出的平分线；（不写画法不需证明，保留作图痕迹） （2）画法2：利用等宽直尺． 如图，将一把等宽直尺的一边依次落在的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O．画射线，则射线是的平分线．这种角的平分线的画法依据的是______． A．    B．    C．    D． （3）画法3：利用刻度尺 已知：如图，在的两条边上分别画，，连接、，交点为点O，画射线． 求证：是的平分线． （4）画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法．请在图中画出的平分线，写出画法，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【详解】解：（1）如图①中，射线即为所求． （2）如图②中，是等宽直尺， 点到两边的距离相等，根据可以利用全等三角形的性质证明是角平分线．故选D． （3）如图③中，在和中，，，， ，，， 在和中，，，， 在和中，，，，平分． （4）如图，在的两边上截取，利用直角尺作，，交于，作射线，射线即为所求． 理由：在和中，，， ，射线平分． 11．（24-25山东八年级课时练习）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13 【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD， ∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD． （2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°， ∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE， ∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD． （3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示： 同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE， ∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1， ∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3， ∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°， ∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13． 12．（24-25·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小． 【答案】28° 【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F， ∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF， 又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC， 又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°， ∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°． 13．（24-25江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题． (1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． (2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC． 【答案】(1)=(2)见解析 【详解】（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°∴∠C=90° ∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠BAD ∵AD=AD∴△ACD≌△ABD（AAS）∴BD=CD （2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE ∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD ∵AD=AD，AC=AE∴△ACD≌△AED（SAS）∴DC=DE，∠AED=∠C ∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°∴∠DEB=∠B∴DE=DB∴DB=DC 14．（24-25·浙江·八年级开学考试）已知在中，，AD是的平分线． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，线段还存在（1）中的等量关系吗？说明理由． 【答案】(1)过程见解析(2)存在，过程见解析 【详解】（1）证明：过D作，交AB于点E，如图1所示， ∵AD为的平分线，，， 在和中， ，，则； （2）存在，理由为：在AB上截取，如图2所示， ∵AD为的平分线，， 在和中，，， ， 又，则． 15．（24-25辽宁沈阳·八年级校考期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E： (1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________. (2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想. (3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.        【答案】（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD. 【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD， ∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CD=DE=AD，故答案为CD=AD （2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE， 在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°， ∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=DE=AD. （3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°． ∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG． ∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°， ∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED． 在△DAF和△DEG中，，∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED． ∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC， ∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE． ∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD． 16．（24-25四川·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE． 【详解】证明(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE， ∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS）， ∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，∴BD垂直平分AF． （2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G， ∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE， ∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA， 又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE， （3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H， ∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH， ∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC， ∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN， ∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE， 又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE． 17．（24-25·安徽·九年级期末）如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解 【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，∴在中，， ∴∠ABC＝45°， ∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD， ∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD， 在RT△ADC和RT△ADM中，，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL）， ∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD； （2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2， ∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠KAD， 在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS）， ∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°−α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°−α， ∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°； （3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°， ∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°， 在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD， ∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD， ∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD， ∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD． 18．（24-25·广西钦州·八年级校考阶段练习） (1)感知：如图，平分，，易知：（不需证明） (2)探究：如图，平分，，求证：． (3)应用：如图，四边形中，，，，，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1），，， 平分，， 在和中，≌，； （2）作于，于，如图所示： 平分，，，， ，，， 在和中，，≌，； （3）连接，作于点，如图所示： ，，，， 在和中， ≌，，， 在和中，，≌，， ，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $