重难点15：破解圆锥曲线弦长：圆锥曲线中斜率、弦长、周长、面积问题讲义-2026届高三数学一轮复习

重难点15：破解圆锥曲线弦长：圆锥曲线中斜率、弦长、周长与面积问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 4 题型一、求直线斜率 4 题型二、求周长 7 题型三、求弦长 11 题型四、已知弦长或弦长关系求参数 14 题型五、已知中点弦求参数 17 题型六、求面积 19 题型七、已知面积或面积关系求参数 23 题型精析・方法突破提能力 26 知识网络・核心根基深扎牢 一、解题思路 圆锥曲线中斜率、弦长与面积问题是高考解析几何的核心考点，其本质是代数方法解决几何问题，核心工具是 “联立方程 + 韦达定理”，同时需结合几何图形的性质简化运算。所有此类问题均围绕 “直线与圆锥曲线相交” 展开，通用解题思路如下： 步骤 1：设方程：定曲线与动直线 圆锥曲线方程：直接使用标准方程（椭圆、双曲线、抛物线等），明确参数的已知条件。 直线方程：根据斜率是否存在分类讨论（避免漏解）： 若斜率存在且不为 0：设为），便于联立消元； 若斜率不存在：设为，适用于抛物线或对称问题）； 若斜率为 0：设轴，较少单独使用）。 步骤 2：联立与消元：构建一元二次方程 将直线方程代入圆锥曲线方程，消去（优先消去 “次数较低” 的变量，如抛物线，得到关于单个变量的一元二次方程：。 步骤 3：判韦达：用判别式与韦达定理定关系 相交，由此可得到的不等关系（关键约束条件，常用于后续求范围或最值）。设交点为（若消去）；（若消去）。 步骤 4：转代数：将几何条件译为代数表达式 根据题目要求（求斜率、弦长、面积、参数），将几何量用韦达定理的结果表示（核心步骤）。 步骤 5：解方程求最值：结合约束条件求解 代入韦达定理的表达式，化简后解方程（求斜率、参数），或结合等约束条件求范围、最值（常用二次函数、基本不等式、三角函数等工具）。 二、方法技巧 知识点1：弦长公式（韦达定理） 设直线，两点间距离为： ； ； 设直线，两点间距离为： ； ； 注意：直线与圆锥曲线联立的一元二次方程利用韦达定理求，，， 知识点2：弦长公式（硬解定理） 设直线， 联立消去x得到：，两点间距离为：； 联立消去y得到：，两点间距离为：； 设直线， 联立消去x得到：，两点间距离为：； 联立消去y得到：，两点间距离为：； 知识点3：面积公式（任意三角形） 设平面内三点：直线与曲线交点，△PAB 的面积： ； 设平面内三点：直线与曲线交点，△PAB 的面积： ； 知识点4：面积公式（焦点三角形） 椭 圆：设椭圆椭圆，焦点为椭圆上一点，，，则面积为： 基本公式： 坐标公式： 角度关联公式： 双曲线：设双曲线，焦点为双曲线上一点，，则面积为： 基本公式： 坐标公式：，面积可无限增大； 角度关联公式： 注意：当处于椭圆短轴端点时，最大。 知识点5：面积公式（含焦点三角形） 设过焦点的直线与椭圆或双曲线交于，焦点 则 注意：该公式可推广到如图的三角形求面积 则 知识点6：圆锥曲线弦中点性质（用点差法） 椭 圆：设椭圆，过椭圆内一点的弦为中点），则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：设双曲线，过双曲线内（或外，需保证弦存在）一点的弦为点），则弦的斜率之积为定值 。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、求直线斜率 典例探究 【典型例题】已知点A，B在椭圆上，点A在第一象限，O为坐标原点，且．若是等腰三角形（点O，A，B按顺时针排列），则OA的斜率为（    ） A． 或 B．或 B． C．或 D．或 举一反三 【1-1】若直线与抛物线交于两个不同的点，抛物线的焦点为，且成等差数列，则 （　　） A． B． C． D． 【1-2】已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【1-3】已知椭圆C：的离心率为，过左焦点F作一条斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，满足，则实数k的值为（    ） A．1 B． C． D．2 题型二、求周长 典例探究 【典型例题】已知椭圆的上顶点为，左右焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（    ） A．19 B．14 C． D．13 举一反三 【2-1】已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，为坐标原点，若点是线段的中点，则的周长为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 【2-2】已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【2-3】已知椭圆C：，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为，，的面积为，焦距为2，过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，则的周长是（    ） A． B．8 C． D．16 题型三、求弦长 典例探究 【典型例题】已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 举一反三 【3-1】已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 【3-2】过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【3-3】已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 题型四、已知弦长或弦长关系求参数 典例探究 【典型例题】已知直线与抛物线交于两点，且，则（    ） A． B．3 C． D． 举一反三 【4-1】已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【4-2】过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【4-3】已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（    ） A．1 B．－1 C． D． 题型五、已知中点弦求参数 典例探究 【典型例题】过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 举一反三 【5-1】已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【5-2】已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【5-3】已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型六、求面积 典例探究 【典型例题】已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（   ） A． B． C． D．1 举一反三 【6-1】已知抛物线C：的焦点为F，过点及点F的直线与C交于M，N两点（M在第一象限），与C的准线交于点P，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【6-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，关于原点对称的点在上，若，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【6-3】设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 题型七、已知面积或面积关系求参数 典例探究 【典型例题】已知双曲线的左、右焦点为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则（    ） A． B．或6 C． D．或 举一反三 【7-1】已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【7-2】由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【7-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，设为坐标原点，为上一点，若的面积为，则（） A． B． C． D． 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知椭圆上，过F1的直线l与椭圆E交于A、B两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率k的值为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・2】椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【突破提升训练・3】已知椭圆C：的两个焦点分别为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（   ） A．8 B．10 C． D．12 【突破提升训练・4】已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・5】椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・6】直线y＝x+m与椭圆交于A，B两点，若弦长，则实数m的值为（    ） A． B．±1 C． D．±2 【突破提升训练・7】椭圆，过原点O斜率为的直线与椭圆交于C，D，若，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・8】已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・9】已知抛物线E：的焦点为F，过点F的直线与E交于A，B两点，过点A，B分别作E的切线．若两条切线的交点为P，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・10】已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・11】已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【突破提升训练・12】已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线交l于P，Q两点，若，且的面积为，则（   ） A． B．4 C． D．6 【突破提升训练・13】已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【突破提升训练・14】已知椭圆，其中离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 【突破提升训练・15】已知椭圆C：，，P是椭圆C上任意一点，F是椭圆C的右焦点，且的最小值是1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程． 【突破提升训练・16】已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． (1)求的方程； (2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 【突破提升训练・17】已知双曲线的左焦点为，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求. 【突破提升训练・18】已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 【突破提升训练・19】已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【突破提升训练・20】已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【突破提升训练・21】已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 【突破提升训练・22】已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【突破提升训练・23】已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点.若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【突破提升训练・24】过点作抛物线的弦，弦恰被点P平分. (1)求弦所在直线的方程； (2)求弦的长度. 【突破提升训练・25】已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 【突破提升训练・26】已知椭圆的离心率为，经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设为的右顶点，过点的直线交于两点，若为的中点，求的面积． 【突破提升训练・27】已知点在双曲线C：上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．若，求的面积． 【突破提升训练・28】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若C的离心率为2，点在C上，过的直线l交C的右支于P，Q两点． (1)求直线AP，AQ的斜率之积； (2)若的面积为，求l的方程． 【突破提升训练・29】已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【突破提升训练・30】已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点15：破解圆锥曲线弦长：圆锥曲线中斜率、弦长与面积问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 4 题型一、求直线斜率 4 题型二、求周长 7 题型三、求弦长 11 题型四、已知弦长或弦长关系求参数 14 题型五、已知中点弦求参数 17 题型六、求面积 19 题型七、已知面积或面积关系求参数 23 题型精析・方法突破提能力 26 知识网络・核心根基深扎牢 一、解题思路 圆锥曲线中斜率、弦长与面积问题是高考解析几何的核心考点，其本质是代数方法解决几何问题，核心工具是 “联立方程 + 韦达定理”，同时需结合几何图形的性质简化运算。所有此类问题均围绕 “直线与圆锥曲线相交” 展开，通用解题思路如下： 步骤 1：设方程：定曲线与动直线 圆锥曲线方程：直接使用标准方程（椭圆、双曲线、抛物线等），明确参数的已知条件。 直线方程：根据斜率是否存在分类讨论（避免漏解）： 若斜率存在且不为 0：设为），便于联立消元； 若斜率不存在：设为，适用于抛物线或对称问题）； 若斜率为 0：设轴，较少单独使用）。 步骤 2：联立与消元：构建一元二次方程 将直线方程代入圆锥曲线方程，消去（优先消去 “次数较低” 的变量，如抛物线，得到关于单个变量的一元二次方程：。 步骤 3：判韦达：用判别式与韦达定理定关系 相交，由此可得到的不等关系（关键约束条件，常用于后续求范围或最值）。设交点为（若消去）；（若消去）。 步骤 4：转代数：将几何条件译为代数表达式 根据题目要求（求斜率、弦长、面积、参数），将几何量用韦达定理的结果表示（核心步骤）。 步骤 5：解方程求最值：结合约束条件求解 代入韦达定理的表达式，化简后解方程（求斜率、参数），或结合等约束条件求范围、最值（常用二次函数、基本不等式、三角函数等工具）。 二、方法技巧 知识点1：弦长公式（韦达定理） 设直线，两点间距离为： ； ； 设直线，两点间距离为： ； ； 注意：直线与圆锥曲线联立的一元二次方程利用韦达定理求，，， 知识点2：弦长公式（硬解定理） 设直线， 联立消去x得到：，两点间距离为：； 联立消去y得到：，两点间距离为：； 设直线， 联立消去x得到：，两点间距离为：； 联立消去y得到：，两点间距离为：； 知识点3：面积公式（任意三角形） 设平面内三点：直线与曲线交点，△PAB 的面积： ； 设平面内三点：直线与曲线交点，△PAB 的面积： ； 知识点4：面积公式（焦点三角形） 椭 圆：设椭圆椭圆，焦点为椭圆上一点，，，则面积为： 基本公式： 坐标公式： 角度关联公式： 双曲线：设双曲线，焦点为双曲线上一点，，则面积为： 基本公式： 坐标公式：，面积可无限增大； 角度关联公式： 注意：当处于椭圆短轴端点时，最大。 知识点5：面积公式（含焦点三角形） 设过焦点的直线与椭圆或双曲线交于，焦点 则 注意：该公式可推广到如图的三角形求面积 则 知识点6：圆锥曲线弦中点性质（用点差法） 椭 圆：设椭圆，过椭圆内一点的弦为中点），则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：设双曲线，过双曲线内（或外，需保证弦存在）一点的弦为点），则弦的斜率之积为定值 。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、求直线斜率 典例探究 【典型例题】已知点A，B在椭圆上，点A在第一象限，O为坐标原点，且．若是等腰三角形（点O，A，B按顺时针排列），则OA的斜率为（    ） A． 或 B．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】依题意设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，设，，分别联立直线、方程与椭圆方程，即可得到、，再根据，由弦长公式得到，代入、，即可得到关于的方程，解得即可； 【详解】解：设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 为等腰直角三角形，直线的斜率为或， ， 设，，，， 由，即，即， 由，即，即， 由可得， ， 整理可得， 解得 故选：A 举一反三 【1-1】若直线与抛物线交于两个不同的点，抛物线的焦点为，且成等差数列，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设.由得，由韦达定理得，因为直线与抛物线交于两个不同的点，所以即， 由抛物线的性质可知，再结合条件有，进而得而出答案. 【详解】设.由消去，得， 故，解得，且. 由，且成等差数列， 得，得， 所以，解得又，故， 故选：D 【1-2】已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设直线方程，根据得纵坐标关系，结合韦达定理求解. 【详解】由题：椭圆，右焦点， 过右焦点且斜率为的直线， 设， 联立，得：， ，，所以 ，得，即，， 所以 故选：B 【1-3】已知椭圆C：的离心率为，过左焦点F作一条斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，满足，则实数k的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，由得到A、B两点的纵坐标的关系，进而得到方程，求出实数k的值. 【详解】因为离心率，所以，设直线方程为：，则与椭圆联立得：，设，不妨令，由可得：，其中①，②，将代入①②可得：，，从而，解得：，因为，所以. 故选：B 题型二、求周长 典例探究 【典型例题】已知椭圆的上顶点为，左右焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（    ） A．19 B．14 C． D．13 【答案】D 【分析】由离心率为，得到a，b，c之间的关系，做出简图，分析可得直线的方程为：，且直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值. 【详解】因为椭圆的离心率为，所以，， 如图，，所以为正三角形，又因为直线过且垂直于，所以，直线的方程为：， 设点D坐标，点E坐标， 将直线方程与椭圆方程联立，得， 则，， 所以， 得，. 由图，直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于. 故选：D. 举一反三 【2-1】已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，为坐标原点，若点是线段的中点，则的周长为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 【答案】B 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，进而得的周长为，即可得答案. 【详解】解：由题知，， 设椭圆的右焦点为，连接， 因为点是线段的中点，为线段中点， 所以，， 所以，的周长为 故选：B 【2-2】已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据焦点三角形的周长即可求解. 【详解】由椭圆方程可知，则， 所以是椭圆的焦点， 所以的周长为. 故选:.    【2-3】已知椭圆C：，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为，，的面积为，焦距为2，过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，则的周长是（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】B 【分析】先根据的面积为，焦距为2，求得椭圆方程为，然后根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解. 【详解】因为的面积为，焦距为2，所以， 所以，故椭圆方程为， 假设为椭圆C的上顶点，因为两个焦点为，， 所以，，故, 所以为等边三角形，又因为过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点， 所以，, 由椭圆的定义可知：， ， 所以的周长为 ， 故选：. 题型三、求弦长 典例探究 【典型例题】已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 举一反三 【3-1】已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，， 故选：C.    【3-2】过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【详解】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B.    【3-3】已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，进而可求直线的方程，联立方程组可求弦长. 【详解】由，得. 双曲线的渐近线方程为，， 因为到的渐近线的距离为，所以，解得，所以， 过的直线与圆相切于，则可得， 所以， 过且与圆相切的直线方程为， 联立方程组，消去得.设， 则，所以. 故选：D. 题型四、已知弦长或弦长关系求参数 典例探究 【典型例题】已知直线与抛物线交于两点，且，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】设， 联立，得， 则，解得，，， ，解得. 故选：C. 举一反三 【4-1】已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立曲线方程后借助焦点弦公式计算即可得. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得， 所以直线l的斜率为.    故选：B. 【4-2】过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 【4-3】已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的横截式方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求解出值，则结果可求. 【详解】设， 联立，消去化简整理得， 所以， 于是 ， 解得， 故直线的方程为， 令，解得，所以直线在轴上的截距为， 故选：D. 题型五、已知中点弦求参数 典例探究 【典型例题】过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 举一反三 【5-1】已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点差法结合直线斜率可求出，即可得到椭圆的离心率. 【详解】 由题意得，. 设，则， ∵点在椭圆上，∴， 两式相减得，，即， ∴，∴， ∴C的离心率. 故选：B. 【5-2】已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 【5-3】已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点为，根据易知确定坐标值，再应用点差法及直线斜率的两点公式得到，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率. 【详解】设中点为，由题设易知，故， 因为，故， 所以，而，故， 故，故. 故选：A 题型六、求面积 典例探究 【典型例题】已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】设，根据向量加法的平行四边形法则得到，再根据其模长可得关于的等式，联立椭圆方程即可求出的值，再利用纵坐标的绝对值求三角形面积即可. 【详解】 设，为坐标原点，由， ，与，， . 故选：C. 举一反三 【6-1】已知抛物线C：的焦点为F，过点及点F的直线与C交于M，N两点（M在第一象限），与C的准线交于点P，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知焦点，过点N作准线的垂线，垂足为点，可得，进而可得直线FA的斜率为，然后可得，联立直线方程与抛物线方程组，可得，，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】 由抛物线C：方程可知：焦点，准线方程. 过点N作准线的垂线，垂足为点，如图所示，则由抛物线的定义可知. 又，所以，所以，所以，所以直线FA的斜率为. 由直线的点斜式方程可知：直线FA的方程为，即. 令，得，则，所以抛物线C方程为. 联立方程组，消去化简整理得， 即，解得或， 所以，，则. 故选：A. 【6-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，关于原点对称的点在上，若，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由对称性，且，四边形是矩形，则结合定义求即可. 【详解】由已知，，， 则， 由已知，关于原点对称，且，则四边形是矩形， 则，， 联立解方程，可得. 故选：B. 【6-3】设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积. 【详解】 如图，由可知，， 由对称性，不妨设点在第一象限， 设，由定义， ， ， 的面积为. 故选：B 题型七、已知面积或面积关系求参数 典例探究 【典型例题】已知双曲线的左、右焦点为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则（    ） A． B．或6 C． D．或 【答案】C 【分析】利用面积关系，得到线段比例关系，设出直线与轴交点后求参数即可. 【详解】 易得，故，设，， 直线与轴交点，面积为，面积为， 由题意得面积是面积的2倍，则， 化简得，结合， 故，解得，即，故，解得. 故选：C. 举一反三 【7-1】已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【分析】双曲线定义结合对称性，根据三角形面积公式列方程求出，然后利用余弦定理求解可得. 【详解】由于，则由双曲线定义知，所以． 如图，根据双曲线对称性知四边形为平行四边形，则， 结合， 所以， 解得， 又为锐角，故，则. 在中，由余弦定理可知，则， 所以． 故选：B 【7-2】由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需根据题目条件求得，再结合椭圆面积公式即可求解. 【详解】由，可得，则. 因为的面积为，所以，则， 从而，即. 又的离心率为，所以，解得， 从而，则的面积为. 故选：D. 【7-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，设为坐标原点，为上一点，若的面积为，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面积求出点的纵坐标，代入椭圆可出的坐标. 【详解】，， 设，则 ， 故选：A 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知椭圆上，过F1的直线l与椭圆E交于A、B两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，与椭圆联立，根据向量关系可得，代入韦达定理即可求出. 【详解】由椭圆方程可得，设直线方程为，设， 联立方程组，可得， 则，， 由得，则， 代入上式得，，解得，则， 则直线的斜率为，又点A位于x轴上方，所以斜率为. 故选：C. 【突破提升训练・2】椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】根据椭圆定义进行求解. 【详解】由题意得， 由椭圆定义可知，， 所以的周长为. 故选：D 【突破提升训练・3】已知椭圆C：的两个焦点分别为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（   ） A．8 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得：，所以的周长等于 【详解】因为，，所以，故的周长为． 故选：B 【突破提升训练・4】已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 【突破提升训练・5】椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可先根据椭圆的标准方程求出相关参数，再结合椭圆的定义求出的周长表达式，最后根据椭圆上点的坐标范围确定周长的取值范围。 【详解】对于椭圆，根据椭圆的标准方程， 其中为长半轴长,为短半轴长,为半焦距且 可得，则,，所以 已知椭圆的左顶点，右焦点 根据椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，且（为椭圆的左焦点） 椭圆的左焦点,则,即 的周长,其中 所以 根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得 ,即 所以, 又因为当共线时， 此时或，所以，D正确. 答选：D 【突破提升训练・6】直线y＝x+m与椭圆交于A，B两点，若弦长，则实数m的值为（    ） A． B．±1 C． D．±2 【答案】B 【分析】联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，结合求得的值. 【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：3x2+4mx+2m2﹣2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝， 所以弦长|AB|＝＝＝， 由题意可得：＝，解得：. 故选：B 【突破提升训练・7】椭圆，过原点O斜率为的直线与椭圆交于C，D，若，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用直线斜率和弦长求出点的坐标，然后将点代入椭圆方程，解出，从而得到椭圆方程. 【详解】由题意可知，直线的方程为，直线倾斜角为， 不妨设点在第一象限，则，因此可得， 又点在椭圆上，所以， 所以椭圆的标准方程为， 故选：D. 【突破提升训练・8】已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 【突破提升训练・9】已知抛物线E：的焦点为F，过点F的直线与E交于A，B两点，过点A，B分别作E的切线．若两条切线的交点为P，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可设，，求得中点，进而利用导数求得切线AP，BP的方程，进而求得的坐标，可得轴，利用，可求面积的最小值. 【详解】由题可设，，AB的中点为M，则． 因为，所以，故切线AP的方程为， 化简得．同理，切线BP的方程为． 两式联立得，故轴， 则． 直线的斜率不存在时，与抛物线不存在两个交点，故的斜率存在， 设的直线方程为，代入抛物线方程得， ，所以， 所以， 当时，最小，最小值为， 所以． 故选：B. 【突破提升训练・10】已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的方程与几何性质结合三角形面积公式计算. 【详解】由题意知点的横坐标为，代入得， 又， 所以的面积为. 故选：B 【突破提升训练・11】已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】根据焦点可得抛物线方程，进而由面积公式可得点的坐标，即可根据焦半径公式求解. 【详解】由，得，即，故抛物线的方程为. 设，则的面积为，得， 将代入，得， 由焦半径公式. 故选：D. 【突破提升训练・12】已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线交l于P，Q两点，若，且的面积为，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】如图，过点B作交直线AP于点M，交x轴于点N，设点，，由题意可得，，进而根据，可求. 【详解】如图，过点B作交直线AP于点M，交x轴于点N， 设点，，因为， 所以，即①． 又因为，所以，所以， 所以②， 由①②可解得，． 当时，；当时，． 所以，解得． 故选：D. 【突破提升训练・13】已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【详解】（1）由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 【突破提升训练・14】已知椭圆，其中离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据离心率和过点列方程组求解即可； （2）分直线l斜率存在和不存在时讨论，当直线l斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出弦长，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意得，解得，， ∴椭圆的标准方程为． （2）分直线斜率是否存在讨论： 当斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符合题意； 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立得， 设直线与椭圆的交点为，， 则，，， 则， 化简得, 解得, ∴直线的方程为． 综上，或. 【突破提升训练・15】已知椭圆C：，，P是椭圆C上任意一点，F是椭圆C的右焦点，且的最小值是1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由，结合最小值得到方程，求出，得到椭圆方程； （2）当过点的直线的斜率为0时不合要求，当过点的直线的斜率不为0时，设出方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出直线方程. 【详解】（1）因，，所以，，即． 当P是椭圆右顶点时，取得最小值，最小值为，故， 则，，椭圆C的方程为． （2）当过点F的直线l的斜率为0时，，不符合要求． 当过点F的直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为， 代入，得，恒成立． 设，，则，， 故， 故，解得， 故直线l的方程为． 【突破提升训练・16】已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． (1)求的方程； (2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意可得椭圆的焦点，即可得，且，利用计算可得的值，从而得出椭圆方程； （2）根据题意写出直线的方程，与椭圆方程联立可得，利用韦达定理结合弦长公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为和，即， 且， ，解得， ，， 椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率，其方程为， 联立可得， 设， 根据韦达定理，则有， . 所以. 【突破提升训练・17】已知双曲线的左焦点为，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求，由关系求，写出方程； （2）由已知可得，求出直线方程，联立-消元-韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】（1）由已知可得，所以，所以， 所以的方程为. （2）因为是中点，所以点的横坐标为2，所以， 所以直线的斜率，方程为， 由，得， 设，则， 所以. 【突破提升训练・18】已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，结合已知条件求出的值，进而得抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用向量关系得到坐标关系，再结合韦达定理求出直线方程中的参数，最后根据弦长公式求出. 【详解】（1）设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得，抛物线的方程为，所以， 又过点的直线与交于、两点，      设直线：，，， 则，联立化简得， 所以，，， 又，则， 所以联立方程，解得， 根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长， 得， 将，，代入上式， 可得， 又，得. 【突破提升训练・19】已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设直线的方程为，、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦点弦长公式可得出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）椭圆的焦点坐标为， 抛物线的焦点坐标为，，即. 抛物线的方程为. （2）易知直线不与轴重合，又直线过焦点， 设直线的方程为，、， 联立，消去并整理得，则， ，， ，解得. 直线的方程为或. 【突破提升训练・20】已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，消得到，结合条件，利用韦达定理和弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由题可得，则， 又由得 ，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组，消得到， 则， 由于，又， 则，整理得到，解得， 又时，，所以满足题意. 【突破提升训练・21】已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，或. 【分析】（1）设动点，根据及斜率两点式列方程求轨迹； （2）设直线与曲线C的交点为，联立轨迹C并应用韦达定理、弦长公式求参数k，即可得结果. 【详解】（1）设动点， 由题意，化简整理得， 故点P的轨迹C的方程是. （2）直线斜率不存在时不合题意， 斜率存在时，设直线与曲线C的交点为， 由，得，， 则，， ，整理得，解得或（舍）. 经检验，符合题意，直线l的方程为，即或. 【突破提升训练・22】已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与椭圆，利用方程组与两个交点，求出的范围. （2）设交点，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）联立 的取值范围 （2）设 由得. 线段中点的横坐标为 【突破提升训练・23】已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点.若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】 【分析】设，根据题意利用点差法可得直线的斜率，即可得方程，注意检验. 【详解】设，则，直线的斜率， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即，经检验符合题意， 所以直线的方程为，即. 【突破提升训练・24】过点作抛物线的弦，弦恰被点P平分. (1)求弦所在直线的方程； (2)求弦的长度. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直线斜率存在，设，代入抛物线方程相减求得直线斜率后可得直线方程； （2）直线方程与抛物线方程联立后，用韦达定理求得弦长． 【详解】（1）点在抛物线内部，过点的所有斜率不为0的直线都与抛物线相交， 又是中点，直线斜率存在， 设，则， 则，相减得， 所以， 所以直线方程为，即； （2）由，得， 则， 所以． 【突破提升训练・25】已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)依题意分析当直线l⊥y轴时，用表示A、B两点坐标，根据,可求得的值,进而得到抛物线C的标准方程. (2)联立直线与抛物线方程，可得到两点坐标关系，进而求得△ABO的面积. 【详解】（1）由题可知：.    当直线l⊥y轴时，可得，.所以. 因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为． （2）由（１）知：，所以直线. 联立直线l与抛物线C方程，得， 设点A，B,则，， 所以.    所以△ABO的面积． 【突破提升训练・26】已知椭圆的离心率为，经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设为的右顶点，过点的直线交于两点，若为的中点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件及即可求解； （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及为的中点即可求出斜率，进而求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题知，由，则， 所以椭圆的方程为． （2） 由题意可知直线的斜率存在， 设的方程为， 由消去得，， 因为为的中点，所以，解得， 从而，的方程为， 所以， 而，所以点到直线的距离， 所以的面积． 【突破提升训练・27】已知点在双曲线C：上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．若，求的面积． 【答案】． 【分析】点代入求得双曲线方程，直线AP，AQ的斜率之和为0．得直线倾斜角关系，然后由求得直线的斜率、方程，直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理求得，再由面积公式得结论. 【详解】将点代入C得， 解得．所以C的方程为． 不妨设直线的倾斜角， 则或． 因为C的渐近线的斜率为， 由得， 解得或（舍）或（舍）或（舍）， 所以，． 故直线的方程为， 直线的方程为， 联立消去得， ，， 所以 ． 联立消去得， ，， 同理． 由得， 所以． 【突破提升训练・28】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若C的离心率为2，点在C上，过的直线l交C的右支于P，Q两点． (1)求直线AP，AQ的斜率之积； (2)若的面积为，求l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件求出双曲线方程为：，设l的方程为，，，与双曲线方程联立，由韦达定理可得，，代入化简即可求解. （2）化简，由，解出的值，判断其合理性即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以C的方程为． 所以，由于直线l的斜率不为0，设l的方程为，，， 联立消去得， 由， 得，则，， 故 ． （2）由（1）得，， 所以 所以， 即，即， 解得或， 因为直线l交C的右支于P，Q两点， 所以且， 即，， 解得，所以仅有满足题意， 所以直线l的方程为或． 【突破提升训练・29】已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，进而解出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解. 【详解】（1）由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. （2）设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为，    则，解得或，满足， 则或. 【突破提升训练・30】已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为或抛物线的标准方程为，准线方程为. (2) 【分析】（1）根据题意分开讨论抛物线的开口方向，求出抛物线的标准方程与准线方程. （2）首先求出和直线的方程，然后求出点的纵坐标，最后根据面积公式求出的面积即可. 【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $