重难点14：破解圆锥曲线离心率：圆锥曲线中离心率的值与范围问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

重难点14：破解圆锥曲线离心率：圆锥曲线中离心率的值与范围问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 5 题型一、定义法求离心率 5 题型二、利用双曲线渐近线求离心率 7 题型三、构造a,c的一、二次方程或不等式求离心率 9 题型四、利用正弦余弦定理求离心率 12 题型五、利用圆锥曲线焦半径求离心率 16 题型六、利用圆锥曲线共焦点求离心率 18 题型七、利用焦点三角形求离心率 20 题型精析・方法突破提能力 24 知识网络・核心根基深扎牢 一、解题思路 圆锥曲线求解离心率的解题步骤遵循 “目标导向、条件转化、代数运算” 的核心逻辑，无论题目条件如何变化，最终均需回归到离心率的定义式。以下是一套通用且可落地的四步解题法，并结合典型示例说明，帮助快速拆解问题、高效求解。 步骤 1：定曲线、明目标：确定曲线类型——明确题目考查的是椭圆还是双曲线。明确核心目标——最终需求比例式”，因此所有条件均需向 “消去 转化。 步骤 2：抓条件、建模型：题目给出的条件多为几何语言（如角度、距离、位置关系），需先识别条件对应的 “核心模型”，再调用模型的性质拆解条件。 步骤 3：转等式、消参数：将第二步拆解的条件转化为含的代数等式，再利用 的方程。 步骤 4：求比值、验范围：求比值——将含的比例式（即，直接求解。验范围——结合椭圆的离心率范围，剔除不合理的解（如负数、超出范围的值）。 二、方法技巧 知识点1：圆锥曲线第一定义 椭 圆：平面内与两个定点的点的轨迹叫做椭圆。数学表达式：为轨迹上任意一点，，为两焦点间的距离）。 注意：若常数等于，轨迹为线段；若常数小于，无轨迹。 双曲线：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于且大于 0）的点的轨迹叫做双曲线。数学表达式：为轨迹上任意一点，，2c为两焦点间的距离）； 注意：若常数等于，轨迹为以为端点的两条射线；若常数等于0，轨迹为线段的垂直平分线；若常数大于，无轨迹。 知识点2：圆锥曲线第二定义 椭 圆：平面内与一个定点F的距离和到一条定直线l（定点F不在定直线l上）的距离之比等于常数e（）的点的轨迹叫做椭圆。数学表达式：（其中P为轨迹上任意一点，F为焦点，d为点P到定直线l（准线）的距离。 注意：定点必须不在定直线上，常数e的取值范围是，超出此范围轨迹不为椭圆。 双曲线：平面内与一个定点F的距离和到一条定直线l（定点F不在定直线l上）的距离之比等于常数e（）的点的轨迹叫做双曲线。数学表达式：（其中P为轨迹上任意一点，F为焦点，d为点P到定直线l（准线）的距离。 注意：定点必须不在定直线上，常数e的取值范围是，若则轨迹为抛物线。 知识点3：圆锥曲线第三定义 椭 圆：平面内与两个定点（此两点为椭圆的两个顶点，且关于原点对称，通常为长轴顶点）连线的斜率之积等于常数的点的轨迹(除去两个定点)叫做椭圆。数学表达式：若，则（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴长。 注意：定点需关于原点对称，斜率之积为负常数且绝对值小于1，轨迹需除去定点。 双曲线：平面内与两个定点（此两点为双曲线的两个顶点，且关于原点对称，通常为实轴顶点）连线的斜率之积等于常数（）的点的轨迹(除去两个定点)叫做双曲线。 数学表达式：若为轨迹上任意一点，则（其中，且，分别为双曲线的实半轴、虚半轴长）； 注意：定点需关于原点对称，斜率之积为正常数，轨迹需除去定点。 知识点4：圆锥曲线弦中点性质 椭 圆：设椭圆，过椭圆内一点的弦为中点），则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：设双曲线，过双曲线内（或外，需保证弦存在）一点的弦为点），则弦的斜率之积为定值 。 知识点5：圆锥曲线焦半径与点坐标的性质 椭 圆：为椭圆上任意一点 焦点在x轴时：左焦半径：； 焦点在y轴时：下焦半径。 双曲线：为双曲线上任意一点 焦点在x轴时：当在右支上时：，，当在左支上时：； 焦点在y轴时：当在上支上时：，当在下支上时：。 知识点6：圆锥曲线焦半径与倾斜角的性质 椭 圆：设椭圆方程为，焦点为，过焦点的直线A,B与椭圆交于A,B点，直线的倾斜角为（与 x 轴正方向夹角，，则： ，，，，，其中，。 双曲线：设双曲线方程为，焦点为，过焦点的直线与双曲线交于A,B点，直线的倾斜角为，则： ，，，，，其中，。（当A,B位于y轴同侧取正，否则取负） 注意：若焦点在y轴，则换成，换成 知识点7：双曲线渐近线 1.双曲线（焦点在x轴）的渐近线方程为：。 2.双曲线（焦点在y轴）的渐近线方程为：。 3.与双曲线共渐近线的双曲线方程可表示为：，时焦点在x轴，时焦点在y轴。 4.等轴双曲线：当时，双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为，两渐近线互相垂直，离心率。 5.共轭双曲线：双曲线互为共轭双曲线，二者渐近线相同（均为，离心率分别为，满足。 知识点8：圆锥曲线焦点三角形面积 椭 圆：设椭圆椭圆，焦点为椭圆上一点，，，则面积为： 基本公式： 坐标公式： 角度关联公式： 双曲线：设双曲线，焦点为双曲线上一点，，则面积为： 基本公式： 坐标公式：，面积可无限增大； 角度关联公式： 注意：当处于椭圆短轴端点时，最大。 知识点9：圆锥曲线焦点三角形内切圆 椭 圆：设椭圆，焦点为椭圆上一点，的内切圆圆心为。则： ，， 双曲线：设双曲线，焦点为双曲线上一点（右支），的内切圆圆心为。则： ，=（），=（）。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、圆锥曲线定义法求离心率 典例探究 【典型例题】已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题求解椭圆的离心率，思路是先根据椭圆的定义和已知线段比例关系，设出相关线段长度，再利用余弦定理在两个三角形中建立方程，求出椭圆的长半轴，结合已知的半焦距，进而求出离心率. 【详解】【解答】解：椭圆E的焦点为，则， 如图，由已知可设，则， 由椭圆的定义有， 在中，由余弦定理推论得， 在中，由余弦定理得，解得， ， 所求椭圆E的离心率为. 故答案为：B． 举一反三 【1-1】已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】易知，由勾股定理求出，利用双曲线定义求得，代入离心率公式求解即可. 【详解】易知， 因为，，所以， 所以，则. 故答案为：C. 【1-2】设椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 是C上的点 ，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义及勾股定理得解 【解析】 ， , ， 故答案为：D 【1-3】已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】易知，由勾股定理求出，利用双曲线定义求得，代入离心率公式求解即可, 【解析】易知， 因为，，所以， 所以，则. 故答案为：C. 题型二、利用双曲线渐近线求离心率 典例探究 【典型例题】若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线（　　） A．离心率为，焦距为10 B．离心率为，焦距为10 C．离心率为，焦距无法确定 D．离心率为，焦距无法确定 【答案】D 【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以，结合，据此得出离心率 【解析】因为双曲线焦点在轴上， 双曲线的一条渐近线方程为，所以， 即，根据双曲线中得：， 所以，所以，由于双曲线中已知， 关于的方程只有两个，所以求不出的值，即焦距无法确定. 故答案为：D. 举一反三 【2-1】已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线离心率计算公式可得，再结合双曲线的性质可得，代入双曲线的渐近线方程即可得出结果. 【解析】因为双曲线离心率为，所以，可得， 又，即可得； 由题意可得双曲线的渐近线方程为. 故选：C 【2-2】已知双曲线一条渐近线的斜率为，则的离心率为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】利用离心率与渐近线斜率关系即可求解. 【解析】【解答】解：已知双曲线的渐近线的斜率为，则， 则的离心率． 故答案为：A. 【2-3】已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再由离心率公式计算即可. 【解析】【解答】解：由题意可得：，则的离心率为. 故答案为：B. 题型三、构造a,c的一、二次方程或不等式求离心率 典例探究 【典型例题】已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，求出直线的方程后结合距离公式可求M的坐标，代入椭圆方程后可求离心率. 【解析】【解答】解：设椭圆的半焦距为c，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为2c， 故其方程为：， 令，则，结合A在y轴正半轴上，故， 令，则或，故. 故，可得直线. 设， 因为A在y轴的正半轴上，在x轴的负半轴上，故， 而， 故，整理得到：， 故，故， 所以，整理得到：，故， 故答案为：D. 举一反三 【3-1】已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设，，的中点为点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【解析】【解答】椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点设，，的中点为点， 则，两式相减得， 化简得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 因为，得，即，得， 所以. 故答案为：A 【3-2】已知双曲线的右焦点为，若关于直线的对称点在上，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点坐标，再代入双曲线方程结合双曲线离心率公式变形，从而得出双曲线C的离心率. 【解析】【解答】解：设， 因为关于直线的对称点为， 所以， 解得， 因为点在上， 所以 则 所以或（舍），则. 故答案为：A. 【3-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，再利用椭圆的定义以及的位置关系及长度，构造齐次方程求离心率即可. 【解析】【解答】解：因为为的中点，且，所以， 由椭圆的定义，则， 又因为为的中点，所以， 又因为，由勾股定理可得，即； 由，代入整理得：，即，解得. 故答案为：C. 题型四、利用正余弦定理求离心率 典例探究 【典型例题】已知F是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交于 两点，且 ，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将 与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围. 【解析】如图设 分别为椭圆的左、右焦点，设直线 与椭圆相交于 ，连接 . 根据椭圆的对称性可得：四边形 为平行四边形. 由椭圆的定义有： 由余弦定理有： 即 所以 当且仅当 时取等号，又 的斜率存在，故 不可能在 轴上. 所以等号不能成立，即即 ，所以 故答案为：A 举一反三 【4-1】已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】围绕椭圆性质展开，需结合椭圆定义、正弦定理、角度关系及向量条件，推导边的关系，最终用离心率公式求解.用椭圆定义和向量条件，通过正弦定理建立角度与边的联系，结合垂直条件得出边的等量关系，再用余弦定理或椭圆关系求离心率. 【解析】由椭圆定义可知，由，故，，点满足，即，则，又，，即， 又，故，则，即，即平分， 又，故，则，则， ，，由， 故，即，即，又， 故 . 故答案为：B. 【4-2】设分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作切线交轴于点，若，，则该双曲线的离心率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设点在第一象限，连接，由双曲线的光学性质可知：切线为的角平分线，由题意，求得各个内角，结合正弦定理求解即可. 【解析】【解答】解：不妨设点在第一象限，连接，如图所示： 由双曲线的光学性质可知：切线为的角平分线， 由，可得， 又因为，所以，所以， 在中，由正弦定理， 可得，即， 则. 故答案为：D. 【4-3】已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作直线交双曲线右支于两点（点在轴上方），使得.若，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】取的中点，连接，根据题意求得，结合双曲线定义求得，在与中，分别利用余弦定理，结合列出方程得到，求离心率即可. 【解析】【解答】解：取的中点，连接，如图所示： 因为为的中点，所以， 若，则，即， 则，由双曲线定义可得：， 则，又因为，所以， 在与中， 由余弦定理可得：， 因为，所以， 则，解得，即. 故答案为：D. 题型五、利用圆锥曲线焦半径求离心率 典例探究 【答案】B【典型例题】已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则 A．1 B． C． D．2 【分析】利用椭圆的离心率公式结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出a，b的关系式，从而求出椭圆的标准方程与a的关系式，再利用椭圆的标准方程求出焦点坐标，再利用点斜式求出过椭圆右焦点 且斜率为 的直线方程，再利用直线与 相交于 两点，联立二者方程求出交点坐标，再利用向量共线的坐标表示，结合椭圆的第二定义，从而求出a的值，进而求出与a有关的直线斜率k的值。 【解析】因为 ，所以 ，从而 ，则椭圆方程为 。依题意可得直线方程为 ，联立 可得 设 坐标分别为 ，则 因为 ，所以 ，从而有 ① 再由 可得 ，根据椭圆第二定义可得 ，即 ② 由①②可得 ，所以 ，则 ，解得 。因为 ，所以 ， 故答案为：B 举一反三 【5-1】已知椭圆的右焦点为经过点的直线的倾斜角为且直线交该椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可知直线的方程为，与椭圆方程联立消y可得，利用韦达定理写出两根关系可知，，结合条件，进而求得A，B的横坐标的表达式，代入到韦达定理中的中，化简求得a与c的关系，进而即可求得离心率. 【解析】由题意可知，直线的方程为，设，， 联立，整理得， 所以， 因为，所以，所以，所以， 由，解得，， 所以， 整理得，所以，所以离心率， 故选：C. 【5-2】已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由向量的关系求出A， B的纵坐标的关系，与两根之和及两根之积联立求出a， c的关系，进而求出椭圆的离心率. 【解析】【解答】解：根据题意，设，，方程为， 代其入椭圆方程得：． ①，②． ，，， ③． ∴由①③得，④ ∴将④代入②得：， ，所以， ， ∴椭圆的离心率． 故答案为：B 【5-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.先利用椭圆焦半径公式求出，再根据向量关系式可得：，进而列出方程，解方程可求出的关系，利用椭圆的离心率计算公式可求出答案. 【解析】【解答】解：根据题意，，所以直线的倾斜角为， 由椭圆焦半径公式得，， ，，即， 化简得，. 故答案为：D. 题型六、利用圆锥曲线共焦点求离心率 典例探究 【答案】D【典型例题】设椭圆的右焦点为.为上一点，的半径为，过作轴的垂线，交于两点，在的左侧.记的离心率为，点轨迹的离心率为，点轨迹的离心率为，则（　　） A． B． C． D． 【分析】设点，利用两点间距离公式求得，再分类讨论得出离心率大小关系即可. 【解析】设， 由题意可得：， ， 则，因为点在椭圆上，所以， 同理得，由，有， 则，，故. 故答案为：D. 举一反三 【6-1】已知椭圆与双曲线有共同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值. 【解析】【解答】解：设两曲线的半焦距为， 由余弦定理得． 在椭圆中，， 得， 在双曲线中，， 得， 则，得， 则， 即，即． 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为：B. 【6-2】已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【6-3】】已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则 A．4 B． C．2 D．3 【答案】A 题型七、利用圆锥曲线共焦点求离心率 典例探究 【答案】B【典型例题】已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一点，点满足，，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，过点作，交的延长线于点，由双曲线的定义结合余弦定理代入计算，再由离心率的计算公式，即可得到结果. 【解析】解： 由，得，． 因为，所以点在线段上，且． 如图，过点作，交的延长线于点，则， 所以，所以． 设，则，所以． 由双曲线的定义可知，所以， 则．设，则． 在中，由余弦定理，得， 即，所以， 则（负值已舍去）． 故答案为：B． 【6-1】已知圆经过椭圆的两个焦点，，圆C和椭圆在第二象限的交点为N，，则椭圆的离心率为（　　）举一反三 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆与轴的交点求出椭圆的焦点，再利用圆周角的性质求出，进而根据余弦定理结合椭圆的定义求出，即可得椭圆的离心率. 【解析】解：圆，化为标准方程，则圆心为，半径为， 当时，，即椭圆的焦点为， 当时，，即如图点，又圆和椭圆在第二象限的交点为，由圆周角的性质可得， 则， 又由， 可得， 又得，解得，所以离心率. 故答案为：C. 【6-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．，，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，结合双曲线定义用m表示、，再在、中分别用余弦定理列式即可求解. 【解析】【解答】依题意，设，，由双曲线的定义得，， 在中，，由余弦定理， 得，解得，即， 设双曲线的焦距为2c，在中利用余弦定理有，解得， 所以双曲线的离心率为． 故答案为：C 【6-3】双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定义和得到边长之间的关系，再结合勾股定理得到方程组，从而解方程组和双曲线的离心率公式，进而求出双曲线的离心率. 【解析】【解答】解：设， 则，， 由双曲线定义得，故， 由勾股定理得，即①， 连接，则，故， 由勾股定理得，即②， 由②得，代入①得，故. 故选：C. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】双曲线 的离心率为（　　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化双曲线方程为标准方程，根据离心率公式求解即可. 【解析】【解答】解：双曲线的标准方程为，则离心率. 故答案为：B. 【突破提升训练・2】已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部．则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.已知，根据直径所对的圆周角等于90°可得：在为直径的圆上，可得出圆的方程，又知在圆在椭圆内部，可推出，代入离心率公式可求出离心率的取值范围 【解析】【解答】解：，故在为直径的圆上，即，又知在圆在椭圆内部，故，，故. 故答案为：B. 【突破提升训练・3】如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【突破提升训练・4】已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可知，，， 作与AF交于点T， 因为四边形是正方形，所以，， 由对称性可知，， 因为在双曲线上， 所以，即， 即，化简整理得， 即，所以， 即， 又，所以，解得或（舍去）. 故选：C． 【分析】利用已知条件和双曲线的对称性可求得，将其代入双曲线上，整理得到，即，即，解方程求得e的值即可求得双曲线的离心率. 【突破提升训练・5】已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】设A（，），B（，），又的中点为，则 又因为A、B在椭圆上 所以 两式相减，得： ∵， ∴，∴，平方可得， ∴=，， 故答案为：A. 【分析】设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，由AB的中点为 ，可得由PF// ，可得，由，作差代入即可得出椭圆的离心率。 【突破提升训练・6】已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为K（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若，则K =（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】【解答】作椭圆的右准线，从分别作准线的垂线，垂足为， 作，垂足为，根据椭圆的第二定义，，，，，，，，又因为， 所以，所以，设直线的倾斜角是θ，即有， 所以直线的斜率. 【突破提升训练・7】已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，为左支上一点，与的右支交于点中点为，若，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得：垂直平分，则， 由双曲线定义可得：，故，又因为， 所以， 因为是的中点，所以是的中位线，， 又因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得，化简得， 即，故． 故答案为：D. 【分析】由题意结合双曲线的定义可得，再由，可得，最后利用余弦定理化简即可求得双曲线的离心率. 【突破提升训练・8】已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：因为线段的中点为，且满足，所以， 故为等腰三角形，又因为，所以为正三角形， 根据双曲线定义知：， 设，则，解得， 在中，由余弦定理可得：，解得. 故答案为：D. 【分析】由题意，利用等腰三角形的性质、双曲线的定义结合余弦定理求解即可. 【突破提升训练・9】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】设，因为 所以，又因为与等高， 所以， 又，，∴， 所以，∴， 在中，， ∵， 在中，， 化简可得，解得， 故答案为：A． 【分析】由三角形面积关系且与等高，得出，再由勾股定理及椭圆定义求出，利用余弦定理及建立关系，根据离心率定义求解即可. 【突破提升训练・10】F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】试题分析：如图所示，设，因为，所以 ，所以，解得 ，所以，，在中，由余弦定理得 ，化为，所以 ，化简得，所以， 故答案为：A． 【分析】设， 根据椭圆的定义得、、， 利用余弦定理列出关于的方程，结合椭圆离心率定义，即可求解. 【突破提升训练・11】已知双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【解析】【解答】解：因双曲线的一条渐近线方程为， 依题意，，则其离心率为 故答案为：D. 【分析】关联渐近线方程与、关系，再结合离心率公式（涉及、，且 ）来推导. 【突破提升训练・12】已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得：，令，则 因为，所以， 即，∴，， 在中，， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得，则的离心率为. 故答案为：A. 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理用表示出，在中求出，再在中，利用余弦定理得到与的关系，化简求离心率即可. 【突破提升训练・13】设椭圆的左，右焦点分别为，直线过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设，由已知可得，，根据椭圆的定义有，又，所以， 在中，由余弦定理可得，， 即，整理得， 解方程得或(舍去)， 故答案为：D. 【分析】围绕椭圆离心率求解，结合椭圆定义、向量数量积、余弦定理，通过设角、用定义表示边长，再利用向量关系和余弦定理建立等式，最终转化为关于离心率（ ，为焦距半长，为长半轴 ）的方程求解. 【突破提升训练・14】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(-c.0)，F2(c，0)，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：如图， 因为， 所以，取的中点M， 则， 所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 从而，， 由椭圆定义知， 所以， 又，， 由，得， 所以， 在和中，由余弦定理得： ， 即， 化简整理得：，即， 所以C的离心率为. 故答案为：B 【分析】画图，取的中点M，由四边形为平行四边形以及椭圆焦距可得，利用向量数量积运算可得关系，再结合椭圆的定义以及余弦定理建立关于a，c的关系，根据算出即可. 【突破提升训练・15】设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的离心率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：不妨设椭圆的焦点在轴上，如图所示： 因为，所以， 又，所以，， 所以， 由余弦定理知：， 整理得，即，解得或， 又，所以. 故答案为：B. 【分析】由题意，不妨设设椭圆的焦点在轴上，由，结合椭圆定义依次得的表达式，分别在中利用余弦定理，结合离心率公式求解即可. 【突破提升训练・16】已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则 （　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】【解答】因为 ，所以 ，从而 ，则椭圆方程为 。依题意可得直线方程为 ，联立 可得 设 坐标分别为 ，则 因为 ，所以 ，从而有 ① 再由 可得 ，根据椭圆第二定义可得 ，即 ② 由①②可得 ，所以 ，则 ，解得 。因为 ，所以 ， 故答案为：B 【分析】先由已知得到椭圆方程为 ，与直线方程联立，得到，再由利用向量的坐标表示列式，结合椭圆第二定义，可得 ，由解得 ，即可求出k的值. 【突破提升训练・17】已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示： 根据椭圆和双曲线的定义，可得. 因为，， 所以∽， 所以， 又因为，， 所以 ， 当且仅当时，即当时取“”. 故答案为：C. 【分析】先根据椭圆、双曲线的定义，再结合三角形的相似判断方法得出∽，则探索出的关系，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值. 【突破提升训练・18】费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，延长交的延长线于点， 因为是的角平分线上的一点，且， 所以点为的点， 所以， 又因为为的中点， 所以， 所以， 所以，则， 将点代入， 可得，解得， 则双曲线C的离心率为. 故答案为：B. 【分析】根据线段中点和角平分线的性质，从而可得，再根据双曲线定义得出a的值，再代入点到双曲线方程可得的值，则根据双曲线离心率公式得出双曲线的离心率的值. 【突破提升训练・19】已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=3，则k=　 　 【答案】 【解析】【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵=3∴y1=﹣3y2， ∵e=，设a=2t，c=t，b=t， ∴x2+4y2﹣4t2=0①， 设直线AB方程为x=sy+t， 代入①中消去x，可得（s2+4）y2+2sty﹣t2=0， ∴ 解得s2=，k=． 故答案：． 【分析】A（x1，y1），B（x2，y2），设a=2t，c=t，b=t，设直线AB方程为x=sy+t，由此可知k=． 【突破提升训练・20】已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：已知，由椭圆的定义可得， 所以，， 因为， 由余弦定理可得 所以， 整理可得，所以，即. 故答案为：A. 【分析】先利用椭圆的定义及已知条件可得，，再利用余弦定理可得，结合离心率的定义即可求解. 【突破提升训练・21】已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：已知如图上所示： 由题意可得， 故焦点坐标为、，椭圆的离心率为， 因为，，则， 过点作于点， 可得，， 因为，可得， 则，， 由双曲线定义可知，，可得， 则离心率为， 所以与的离心率之和为. 故答案为：B. 【分析】根据方程可得，进而可得椭圆的离心率，过点作于点，根据题意结合椭圆双曲线的定义和性质可得，进而可得双曲线离心率. 【突破提升训练・22】已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：设椭圆长半轴为，双曲线长半轴为，焦距，不妨设点在第一象限， 则，求得， ，，即， ，，又，，求得， ， ，，根据对勾函数的性质知. 故答案为：C. 【分析】不妨设点在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到，再利用余弦定理求得，结合得到，进而代入求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点14：破解圆锥曲线离心率：圆锥曲线中离心率的值与范围问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 5 题型一、定义法求离心率 5 题型二、利用双曲线渐近线求离心率 6 题型三、构造a,c的一、二次方程或不等式求离心率 7 题型四、利用正弦余弦定理求离心率 8 题型五、利用圆锥曲线焦半径求离心率 9 题型六、利用圆锥曲线共焦点求离心率 10 题型七、利用焦点三角形求离心率 10 题型精析・方法突破提能力 11 知识网络・核心根基深扎牢 一、解题思路 圆锥曲线求解离心率的解题步骤遵循 “目标导向、条件转化、代数运算” 的核心逻辑，无论题目条件如何变化，最终均需回归到离心率的定义式。以下是一套通用且可落地的四步解题法，并结合典型示例说明，帮助快速拆解问题、高效求解。 步骤 1：定曲线、明目标：确定曲线类型——明确题目考查的是椭圆还是双曲线。明确核心目标——最终需求比例式”，因此所有条件均需向 “消去 转化。 步骤 2：抓条件、建模型：题目给出的条件多为几何语言（如角度、距离、位置关系），需先识别条件对应的 “核心模型”，再调用模型的性质拆解条件。 步骤 3：转等式、消参数：将第二步拆解的条件转化为含的代数等式，再利用 的方程。 步骤 4：求比值、验范围：求比值——将含的比例式（即，直接求解。验范围——结合椭圆的离心率范围，剔除不合理的解（如负数、超出范围的值）。 二、方法技巧 知识点1：圆锥曲线第一定义 椭 圆：平面内与两个定点的点的轨迹叫做椭圆。数学表达式：为轨迹上任意一点，，为两焦点间的距离）。 注意：若常数等于，轨迹为线段；若常数小于，无轨迹。 双曲线：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于且大于 0）的点的轨迹叫做双曲线。数学表达式：为轨迹上任意一点，，2c为两焦点间的距离）； 注意：若常数等于，轨迹为以为端点的两条射线；若常数等于0，轨迹为线段的垂直平分线；若常数大于，无轨迹。 知识点2：圆锥曲线第二定义 椭 圆：平面内与一个定点F的距离和到一条定直线l（定点F不在定直线l上）的距离之比等于常数e（）的点的轨迹叫做椭圆。数学表达式：（其中P为轨迹上任意一点，F为焦点，d为点P到定直线l（准线）的距离。 注意：定点必须不在定直线上，常数e的取值范围是，超出此范围轨迹不为椭圆。 双曲线：平面内与一个定点F的距离和到一条定直线l（定点F不在定直线l上）的距离之比等于常数e（）的点的轨迹叫做双曲线。数学表达式：（其中P为轨迹上任意一点，F为焦点，d为点P到定直线l（准线）的距离。 注意：定点必须不在定直线上，常数e的取值范围是，若则轨迹为抛物线。 知识点3：圆锥曲线第三定义 椭 圆：平面内与两个定点（此两点为椭圆的两个顶点，且关于原点对称，通常为长轴顶点）连线的斜率之积等于常数的点的轨迹(除去两个定点)叫做椭圆。数学表达式：若，则（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴长。 注意：定点需关于原点对称，斜率之积为负常数且绝对值小于1，轨迹需除去定点。 双曲线：平面内与两个定点（此两点为双曲线的两个顶点，且关于原点对称，通常为实轴顶点）连线的斜率之积等于常数（）的点的轨迹(除去两个定点)叫做双曲线。 数学表达式：若为轨迹上任意一点，则（其中，且，分别为双曲线的实半轴、虚半轴长）； 注意：定点需关于原点对称，斜率之积为正常数，轨迹需除去定点。 知识点4：圆锥曲线弦中点性质 椭 圆：设椭圆，过椭圆内一点的弦为中点），则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：设双曲线，过双曲线内（或外，需保证弦存在）一点的弦为点），则弦的斜率之积为定值 。 知识点5：圆锥曲线焦半径与点坐标的性质 椭 圆：为椭圆上任意一点 焦点在x轴时：左焦半径：； 焦点在y轴时：下焦半径。 双曲线：为双曲线上任意一点 焦点在x轴时：当在右支上时：，，当在左支上时：； 焦点在y轴时：当在上支上时：，当在下支上时：。 知识点6：圆锥曲线焦半径与倾斜角的性质 椭 圆：设椭圆方程为，焦点为，过焦点的直线A,B与椭圆交于A,B点，直线的倾斜角为（与 x 轴正方向夹角，，则： ，，，，，其中，。 双曲线：设双曲线方程为，焦点为，过焦点的直线与双曲线交于A,B点，直线的倾斜角为，则： ，，，，，其中，。（当A,B位于y轴同侧取正，否则取负） 注意：若焦点在y轴，则换成，换成 知识点7：双曲线渐近线 1.双曲线（焦点在x轴）的渐近线方程为：。 2.双曲线（焦点在y轴）的渐近线方程为：。 3.与双曲线共渐近线的双曲线方程可表示为：，时焦点在x轴，时焦点在y轴。 4.等轴双曲线：当时，双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为，两渐近线互相垂直，离心率。 5.共轭双曲线：双曲线互为共轭双曲线，二者渐近线相同（均为，离心率分别为，满足。 知识点8：圆锥曲线焦点三角形面积 椭 圆：设椭圆椭圆，焦点为椭圆上一点，，，则面积为： 基本公式： 坐标公式： 角度关联公式： 双曲线：设双曲线，焦点为双曲线上一点，，则面积为： 基本公式： 坐标公式：，面积可无限增大； 角度关联公式： 注意：当处于椭圆短轴端点时，最大。 知识点9：圆锥曲线焦点三角形内切圆 椭 圆：设椭圆，焦点为椭圆上一点，的内切圆圆心为。则： ，， 双曲线：设双曲线，焦点为双曲线上一点（右支），的内切圆圆心为。则： ，=（），=（）。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、圆锥曲线定义法求离心率 典例探究 【典型例题】已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 举一反三 【1-1】已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D．3 【1-2】设椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 是C上的点 ，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【1-3】已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D．3 题型二、利用双曲线渐近线求离心率 典例探究 【典型例题】若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线（　　） A．离心率为，焦距为10 B．离心率为，焦距为10 C．离心率为，焦距无法确定 D．离心率为，焦距无法确定 举一反三 【2-1】已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【2-2】已知双曲线一条渐近线的斜率为，则的离心率为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【2-3】已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 题型三、构造a,c的一、二次方程或不等式求离心率 典例探究 【典型例题】已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 举一反三 【3-1】已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【3-2】已知双曲线的右焦点为，若关于直线的对称点在上，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【3-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 题型四、利用正余弦定理求离心率 典例探究 【典型例题】已知F是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交于 两点，且 ，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 举一反三 【4-1】已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【4-2】设分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作切线交轴于点，若，，则该双曲线的离心率是（　　） A． B． C． D． 【4-3】已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作直线交双曲线右支于两点（点在轴上方），使得.若，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．2 题型五、利用圆锥曲线焦半径求离心率 典例探究 【典型例题】已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则 A．1 B． C． D．2 举一反三 【5-1】已知椭圆的右焦点为经过点的直线的倾斜角为且直线交该椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【5-2】已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【5-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 题型六、利用圆锥曲线共焦点求离心率 典例探究 【典型例题】设椭圆的右焦点为.为上一点，的半径为，过作轴的垂线，交于两点，在的左侧.记的离心率为，点轨迹的离心率为，点轨迹的离心率为，则（　　） A． B． C． D． 举一反三 【6-1】已知椭圆与双曲线有共同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为（　　） A． B． C． D． 【6-2】已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 【6-3】】已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则 A．4 B． C．2 D．3 题型七、利用圆锥曲线共焦点求离心率 典例探究 【典型例题】已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一点，点满足，，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【6-1】已知圆经过椭圆的两个焦点，，圆C和椭圆在第二象限的交点为N，，则椭圆的离心率为（　　）举一反三 A． B． C． D． 【6-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．，，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 【6-3】双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（　　） A． B． C． D． 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】双曲线 的离心率为（　　）。 A． B． C． D． 【突破提升训练・2】已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部．则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・3】如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・4】已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・5】已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・6】已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为K（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若，则K =（　　） A．1 B． C． D．2 【突破提升训练・7】已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，为左支上一点，与的右支交于点中点为，若，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・8】已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・9】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・10】F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【突破提升训练・11】已知双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【突破提升训练・12】已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・13】设椭圆的左，右焦点分别为，直线过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・14】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(-c.0)，F2(c，0)，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 【突破提升训练・15】设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的离心率（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・16】已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则 （　　） A．1 B． C． D．2 【突破提升训练・17】已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・18】费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 【突破提升训练・19】已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=3，则k=　 　 【突破提升训练・20】已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・21】已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（　　） A． B． C． D． 【突破提升训练・22】已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $