第二十六章 解直角三角形（复习课件）数学冀教版九年级上册

该初中数学课件聚焦解直角三角形单元复习，系统梳理锐角三角函数定义、特殊角值、解直角三角形方法及实际应用（仰角俯角、坡度坡角等），通过考点分类与题型对应构建知识网络，清晰呈现知识点内在逻辑。 其亮点在于“口诀记忆-题型分层-实际应用”复习模式，如用“对比邻”“正弦对斜”等口诀强化定义理解，设计从基础计算到变式训练再到仰角测量等实际问题，培养数学眼光与思维，分层练习助力学生巩固知识，便于教师精准开展复习教学。

单元复习课件 第二十六章 解直角三角形 冀教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解正弦、余弦、正切的概念，掌握它们与直角三角形边长的对应关系，熟记30°、45°、60°的三角函数值，并能熟练运用于计算。利用勾股定理和三角函数求解其余边和角。 3.能将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，如测量、工程、航海。 2.能运用直角三角形的边角关系解决实际问题，如测量高度、距离、坡度等。 单元学习目标 正切 解直角三角形 由已知元素，求出所有元素的过程 锐角三角形 简单应用 锐角关系：A+B=90 解三角形 简单应用 概念 依据 解与仰角、俯角有关的实际问题 正弦 三边关系：勾股定理 解与方向角有关的实际问题 解与坡角、坡度有关的实际问题 解与生活有关的其他问题 定义 余弦 单元知识图谱 考点一、 锐角三角函数的定义 在Rt ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦:sinA= 余弦:cosA= 正切：tanA= ∠A的对边 斜边 ∠A的斜边 斜边 ∠A的对边 邻边 考点串讲 考点二、 特殊角的三角函数值 ​ α sinα cosα tanα 30° 60° 90° ​ ​ ​ ​ ​ ​ 1 ​ ​ 考点串讲 五​ 考点三、解直角三角形 解直角三角形 + ​ 1.在直角三角形中，除直角外，一共有____个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做_____________. 2.解直角三角形的常用关系: 在Rt ABC中，∠C=90°, 则:(1)三边关系: (2)两锐角关系: ∠A+∠B =90° 考点串讲 考点四、解直角三角形的应用 1.仰角和俯角 仰角:在视线与水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫做仰角 俯角:在视线与水平线所成的角中，视线在水平线_______的角叫做俯角 2.坡度和坡角 坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的______， 坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα. 坡度越大，α角越_____，坡面越_____. 上方 下方 坡度 大 陡 考点串讲 考点四、解直角三角形的应用 小于 3.方向角(或方位角) 指北或指南方向线与目标方向线所成的________90°的水平角叫做方向角. 北偏东30度 西南方向 北 东 西 南 考点串讲 例1：  题型一、正切 10 解析：∵tan A=  =  , ∴设BC=5x,AC=12x(x>0), ∴AB= =13x=26,∴x=2,∴BC=5x=10. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=26,tan A=_________ , 那么BC=　　　    . 题型剖析 题型一、正切 在直角三角形中，∠A的正切记为 tanA， tanA= 口诀：对比邻 题型剖析 变式： 题型一、正切    如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, tanA=  ,BC=2,求AB的长.   在Rt△ABC中,∠C=90°,∴tanA =  =  . ∵BC=2, ∴ =  , ∴AC =6. ∵AB2=AC2+BC2=40,∴AB=2 . 解析 ： 题型剖析 题型二、特殊角的正切值 例2： 解析:原式=   ×  =  ×  =-a-b, ∵a=3tan 30°=3×  =  ,b=  tan 45°=  ×1=  , ∴原式=-  -  =-2  . 　 先化简,再求值:  ÷ , 其中a=3tan 30°, b=  tan 45°. 题型剖析 题型二、特殊角的正切值 tan30° = = ，tan45°= 1，tan60°= ：1 = 口诀： 特殊角，记心间，三十、四十五、六十。 一比根三三分一，一比一是四十五，根三比一是六十。 题型剖析 题型二、特殊角的正切值 变式： D 在2tan 30°,-1,tan 45°,tan 60°四个数中, 最大的数是 (　    ) A.2tan 30°　　    B.-1 C.tan 45°　　    D.tan 60° 解析　∵tan 60°=  ,tan 45°=1,2tan 30°=  , ∴-1<tan 45°<2tan 30°<tan 60°, ∴四个数中,最大的数是tan 60°. 题型剖析 题型三、正弦与余弦 例3： 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线, 已知CD=4,cosA=  ,则AC的长是　　　    .   6 解析　∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,CD=4, ∴AB= 2CD=8, ∵cos A=  =  ,∴AC=6. 题型剖析 题型三、正弦与余弦 定义（直角三角形中）： 正弦 sinA = 余弦 cosA = 口诀：正弦对斜，余弦邻斜 题型剖析 变式： 题型三、正弦与余弦 在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=   , 则BC∶AC=　　　    .  ∶2 解析　∵cosA=  =  , ∴设AC=2a,则AB=3a, ∴BC= = a, ∴BC∶AC= ∶2. 题型剖析 题型四、特殊角的正弦值、余弦值 例4： 若4sin 30°·cosα= ,则锐角α等于 (　    ) A.15°　　    B.30°　　    C.45° 　　    D.60° B 解析：　∵4sin 30°·cosα=  , ∴4×  ×cosα= , ∴cosα=  ,∴锐角α=30°. 题型剖析 sin30°= , sin45°=, sin60°= 题型四、特殊角的正弦值、余弦值 cos30°= ， cos60°= cos60°= 口诀： 特殊角，记心间，一二三来反向记。 题型剖析 变式： 题型四、特殊角的正弦值、余弦值 在△ABC中,若sin A=  , cosB=  ,∠A,∠B都是锐角,则∠C的度数是 (　    ) A.105°　　    B.90°　　    C.75°　　    D.120° C 解析：∵sin A= ,cosB=  ,∠A,∠B都是锐角, ∴∠A=45°, ∠B=60°,∴∠C=180°-(∠A+∠B)=75°. 题型剖析 题型五、直角三角形中的数量关系 解析：在Rt△ABC中,∠CAB=α,AB=x米, ∴AC=  =  米, ∴A,C两处相距  米. 例5： 如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距 (　    ) A. 米　　      B. 米 C.x·sin α米　   D.x·cos α米 D 题型剖析 题型五、直角三角形中的数量关系 步骤： 1. 明确已知条件：确定已知的边和角。 2. 确定所求：需要求的边和角。 3. 选择公式：根据已知和所求，选择适当的三角函数公式（正弦、余弦、正切）或勾股定理。 4. 求解未知数。 题型剖析 变式： 题型五、直角三角形中的数量关系 解析:由题意,得∠ABC=90°,∴tan∠BAC=  , ∴BC=AB·tan∠BAC≈50× =37.5(m). 　 如图,在民心河改造工程某处,河岸AB,CD互相平行,桥BC垂直于两岸, 从A处看桥的两端B,C,夹角∠BAC=37°,测得AB=50 m, 则桥长BC=　　　    m  [sin 37°≈  ,cos 37°≈  ,tan 37°≈  , 结果精确到0.1 m .]   37.5 题型剖析 题型六、求非直角三角形的边与角 解析：　如图,过点C 作CE⊥BA交BA的延长线于E. ∵∠BAC=120°,∴∠CAE=180°-120°=60°, ∴AE=AC·cos 60°=4,EC=AC·sin 60°=4 , ∵AB=4,∴BE=AB+AE =8, ∴BC= =  =4 .   例6： 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AC=8,AB=4,则BC的长是 (　    )   A.4 　　    B.4 　　    C.6　　    D.8 B 题型剖析 题型六、求非直角三角形的边与角 技巧： 1.做垂线，构建直角三角形 2.利用正弦、余弦、正切解三角形有关的边角问题 题型剖析 变式： 题型六、求非直角三角形的边与角 解析: 已知△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且 +|tan B-1|=0. (1)求△ABC三个内角的度数; (2)若AC=2,求AB的长度.     (1)∵ +|tan B-1|=0, ≥0,|tan B-1|≥0, ∴cosA- =0,tan B-1=0,∴cos A=  ,tan B=1, ∴∠A=60°,∠B=45°,∴∠C=180°-∠A-∠B=75°. 故∠A=60°,∠B=45°,∠C=75°. 题型剖析 变式： 题型六、求非直角三角形的边与角 已知△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且 +|tan B-1|=0. (2)若AC=2,求AB的长度. (2)过点C作CH⊥AB于H,如图, 在Rt△ACH中,AC=2,∠A=60°,∴AH=AC·cos A=2× =1, CH=AC·sin A=2× = , 在Rt△CHB中,∵∠B=45°,∴BH=CH= , ∴AB=AH+BH=1+ . 题型剖析 题型七、与仰角、俯角有关的实际问题 解析： 例7： 如图所示,小颖在家里的窗户A处,测量楼前的一棵树CD 的高. 现测得树顶C处的俯角为45°,树底D处的俯角为60°,楼底到大树的距离BD为30米,则树的高度为　　　 　    (结果保留根号) (30 -30)米 如图,过点A作AE∥BD交DC的延长线于点E, 则∠AEC=∠BDC=90°. ∵∠EAC=45°,AE=BD=30米,∴EC=AE=30米. ∵tan∠ADB=tan∠EAD= ,∴AB=30·tan 60°=30(米), ∴CD=ED-EC=AB-EC=(30 -30)米,即树的高度为(30 -30)米. 题型剖析 题型七、与仰角、俯角有关的实际问题 核心技巧： 画出“生命线”——水平线： 核心技巧：建立数学模型——“化身”为直角三角形 核心技巧：灵活运用三角比——选择合适的公式 题型剖析 变式： 题型七、与仰角、俯角有关的实际问题 超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且A、D、B、F在同一直线上.点C、E到AB的距离分别为CD、EF,且CD=EF=7 m,CE=895 m,在C处测得A点的俯角为30°,在E处测得B点的俯角为45°,小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s. 求A、B两点之间的距离(结果精确到1 m); (参考数据: ≈1.4, ≈1.7)   题型剖析 变式： 题型七、与仰角、俯角有关的实际问题 解析:   根据题意,可知四边形CDFE是矩形,∠CAD=30°, ∠EBF=45°,∴DF=CE=895 m, 在Rt△EBF中,BF= =  =7(m), ∴DB=DF-BF=895-7=888(m), 在Rt△ACD中,AD= =   =7 (m), ∴AB=AD+BD=7 +888≈900(m), ∴A、B两点之间的距离约为900 m. 题型剖析 题型八、与坡度、坡角有关的实际问题 例8： 如图,为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度),把一根长5 m的竹杆AC斜靠在石坝旁,量出杆长1 m处的D点离地面的高度DE=0.6 m,又量得杆底与坝脚的距离AB=3 m,则石坝的坡度为　　　    .   3∶1 题型剖析 题型八、与坡度、坡角有关的实际问题 解析： 例8： 如图,过C作CF⊥AB,垂足为F,则DE∥CF, ∴△ADE∽△ACF, ∴ = ,即  = ,解得CF=3 m. 在Rt△ACF中,AF = = =4(m), 又∵AB=3 m,∴BF=AF-AB=4-3=1(m), ∴  =  ,即石坝的坡度为3∶1. 题型剖析 题型八、与坡度、坡角有关的实际问题 第一步：构造直角三角形 第二步：建立关系，选择公式 已知 h 和 l，求 α：用 tan(α) = h ÷ l， 已知 i (即 tanα) 和 h，求 l：用 l = h ÷ i。 已知 i (即 tanα) 和 l，求 h：用 h = i × l。 题型剖析 变式： 题型八、与坡度、坡角有关的实际问题 如图所示的是一防洪堤背水坡的横截面,斜坡AB的长为12 m,它的坡角度数为45°.为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡度为1∶ 的斜坡AD,在CB方向上距B点6 m处有一座房屋. (参考数据: ≈2.45, ≈1.414) (1)求∠DAB的度数. (2)在改造背水坡的施工过程中,此房屋是否需要拆除?请说明理由. 题型剖析 题型八、与坡度、坡角有关的实际问题 解析: (1)∵AD是坡度为1∶ 的斜坡, ∴tan∠ADC= = = , ∴∠ADC=30°,∴∠DAC=60°, 由题意知∠ABC=45°, ∴∠BAC=∠ABC=45°,∴∠DAB=60°-45°=15°. (2)需要拆除.理由:∵AB=12 m,∠BAC=∠ABC=45°, ∴BC=AC= ×12=6 (m), 题型剖析 1.若 tan(α+10°)=1,则锐角α的度数是(　    ) A.20°　　    B.30°　　    C.40°　　    D.50° 解析   ∵ tan(α+10°)=1, ∴tan(α+10°)=  , ∴α+10°=30°, ∴α=20°. A 针对训练 2． 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c, 且满足a2+|c-10|+  =12a-36, 则sin B的值为　　　    . 解析：∵a2+|c-10|+ =12a-36,∴(a-6)2+|c-10|+ =0, ∴a-6=0,c-10=0,b-8=0,解得a=6,c=10,b=8,∴a2+b2=62+82=100 =102=c2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°, ∴sinB=   =   =  . 针对训练 3． 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D在边AB上,连接CD. 若BD=CD,  =  ,则tan B= 　　       . 解析：设AD=t, ∵BD=CD,  =  , ∴BD=CD=3t, ∴AC= =2 t, AB=AD+BD=4t, ∴tanB=  =  =  . 针对训练 4． 解析：　 如图,在△ABC中,sin B=  ,tan C=  , AB=4,则AC的长为　　　    .   如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D, 在Rt△ABD中,sin B=  ,AB=4, ∴AD=AB·sin B=4×  =1, 在Rt△ADC中,tan C=  , ∴DC= =2, ∴AC=  =  = .  针对训练 5． 在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边. (1)已知c=2 ,b=  ,求∠B; (2)已知c=12,sin A=  ,求b. 解析： (1)∵sin B= =  =  , ∴∠B=45°. (2)∵c=12,sin A=  = , ∴a=4, ∴b= = =8 . 针对训练 6． 如图,为了测量河两岸A,B两点间的距离,在河的一岸与AB垂直的方向上取一点C,测得AC=200米,∠ACB=α,则AB= (　    ) A.200tan α米　　    B.200sin α米 C.200cos α米　　    D. 米 解析：∵tan∠ACB=tanα= = , ∴AB=200tanα米.   A 针对训练 7.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=  ,AB=20,则AC的长为 (　    ) A.6　　    B.16　　    C.12　　    D.4 解析：在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA= =  , 设BC=3x(x>0),则AC=4x,∴AB= =5x, ∴5x=20,解得x=4,∴AC=4x =16. B 针对训练 8． 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= ,点D是AC上一点,连接BD.若tanA=  ,tan∠ABD=  ,则CD的长为 (　    ) A.2 　　    B.3　　    C. 　　    D.2 c 针对训练 8． 解析：　 过D点作DE⊥AB于E,如图, ∵tanA= =  ,tan∠ABD= =  , ∴AE=2DE,BE=3DE,∴AB=2DE+3DE=5DE, 在Rt△ABC中,tanA= = ,∴AC=2BC=2 , ∴AB= =5,∴DE= AB=1,∴AE=2DE=2, ∴AD= =  ,∴CD=AC-AD=  . 针对训练 8． 如图,我国某军舰在执行巡航任务,某时军舰在位于我国海域的A处,发现一艘国外军舰位于北偏东65°方向,距离该军舰70 n mile的B处,外国军舰沿正南方向航行一段时间后,到达位于我国军舰正东方向的C处,国外军舰已进入我国海域边缘,此时,该军舰向国外军舰发出警示,国外军舰收到警示后,沿正南方向继续航行,到达我国军舰南偏东37°方向的D处. 针对训练 8． (1)求C处距离我国军舰有多远; (2)求D处距离我国军舰有多远(结果精确到1 n mile).(参考数 据:sin 25°≈0.42,cos 25°≈0.91,tan 25°≈0.47; sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)   针对训练 8． 解析　  (1)由题意,得AB=70 n mile,∠BAC=90°-65°=25°, 在Rt△ABC中,AC=AB·cos∠BAC=70×cos 25°≈63.7(n mile). ∴C处距离我国军舰约有63.7 n mile. (2)在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=63.7 n mile,∠ADC=37°, ∴AD= =  ≈106(n mile). ∴D处距离我国军舰约有106 n mile. 针对训练 ✅ 知识构建：解直角三角形 锐角三角函数的概念 锐角三角函数的计算方法 解直角三角形的步骤与技巧 解直角三角形的实际应用 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 ✅ 思想方法： 转化思想：把已知角、边转化为三角函数关系，求解未知量。 实验探究：通过绘图或使用量角器、直尺进行实测，验证公式的正确性。 数形结合：将代数式（如 sin、cos、tan）与几何图形对应，帮助直观理解并快速求解。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $