上海市大同中学2025-2026学年高二上学期数学周练1

大同中学2025-2026学年第一学期高二年级数学周练1 2025.9 一、填空题（共12题，每题3分） 1．已知的三个内角所对的边分别为，则 ． 2．已知等差数列中，，则数列的通项公式是 ． 3．函数的最小正周期是 ． 4．已知，且与共线，则 ． 5．函数的对称中心为 ． 6．与向量垂直的所有单位向量为 ． 7．已知，则的值为 ． 8．在一个半径为的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，此矩形的面积为 ． 9．已知关于的实系数方程两个虚根为，且，则 ． 10．已知函数的部分图像如图所示，为图像上的点且满足四边形为平行四边形，若，则 ． 11．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合，给出下列3个结论： （1）若与均为等差数列，则中最多有1个元素； （2）若与均为等比数列，则中最多有2个元素； （3）若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； 其中正确结论的序号是 ． 12．已知是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是 ． 二、选择题（共4题，每题4分） 13．设是向量，则＂是＂或＂的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．若奇函数在上为严格减函数，又为锐角三角形两内角，则（ ）. A． B． C． D． 15．将七个边长相等的正六边形拼成如图所示的图形，其中为中间六边形的中心，且．设点是图中所有正六边形中的任意一个顶点，以下结论： （1）若，则的所有取值的和为0； （2）若，则的取值集合为，则（ ）. A．（1）成立，（2）成立 B．（1）成立，（2）不成立 C．（1）不成立，（2）成立 D．（1）不成立，（2）不成立 16．已知，函数在区间上最小值为S，在区间［］上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）. A．且 B．且 C．且 D．且 三、解答题（共5题，共48分） 17．（本题8分）已知等比数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18．（本题8分）已知复数是实系数一元二次方程的两根，且复数在复平面内对应的点在第一象限，若，其中i是虚数单位． （1）求复数； （2）若复数满足，求的最大值和最小值． 19．（本题10分）如图，设是半径为1的圆上的动点，且分别在第一、二象限，是圆与轴正半轴的交点，为等边三角形，记以轴正半轴为始边、射线OA为终边的角为． （1）若点A的坐标为，求值； （2）设，求函数的解析式和值域． 20．（本题10分）设数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 21．（本题12分）已知集合，从中选取个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列. （1）对于第1项为的K列，写出它的第2项. （2）设为K列，且中的项满足：当为奇数时，：当为偶数时，.判断能否同时为中的项，并说明理由； （3）证明：由的全部元素组成的序列都不是K列. 大同中学2025-2026学年第一学期高二年级数学周练1 2025.9 一、填空题（共12题，每题3分） 1．已知的三个内角所对的边分别为，则 ． 【答案】 2．已知等差数列中，，则数列的通项公式是 ． 【答案】 3．函数的最小正周期是 ． 【答案】1 4．已知，且与共线，则 ． 【答案】 5．函数的对称中心为 ． 【答案】 6．与向量垂直的所有单位向量为 ． 【答案】 7．已知，则的值为 ． 【答案】 8．在一个半径为的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，此矩形的面积为 ． 【答案】 9．已知关于的实系数方程两个虚根为，且，则 ． 【答案】 【解析】，所以 ， 设，所以 ，即，即 由，即，解得或． 又，则，所以所以 10．已知函数的部分图像如图所示，为图像上的点且满足四边形为平行四边形，若，则 ． 【答案】 【解析】如图，设中点为．因为四边形为平行四边形， 所以关于点对称，则可设，由得， 解得，则的最小正周期，所以， 则，由点在图象上，可知, 解得，又，则，则 又由，可知，解得，则， 故． 11．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合，给出下列3个结论： （1）若与均为等差数列，则中最多有1个元素； （2）若与均为等比数列，则中最多有2个元素； （3）若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； 其中正确结论的序号是 ． 【答案】（1）（3） 【解析】对于（1），因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故（1）正确． 对于（2），取，则均为等比数列，但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故（2）错误. 对于（3），设， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反，方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解，因为不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即中最多有3个元素， 取，则，故（3）正确． 12．已知是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故．不妨设 则，不妨设， 则，则，则 ， 由，则 故． 二、选择题（共4题，每题4分） 13．设是向量，则＂是＂或＂的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 14．若奇函数在上为严格减函数，又为锐角三角形两内角，则（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 15．将七个边长相等的正六边形拼成如图所示的图形，其中为中间六边形的中心，且．设点是图中所有正六边形中的任意一个顶点，以下结论： （1）若，则的所有取值的和为0； （2）若，则的取值集合为，则（ ）. A．（1）成立，（2）成立 B．（1）成立，（2）不成立 C．（1）不成立，（2）成立 D．（1）不成立，（2）不成立 【答案】B 【解析】正六边形的边长为2 对于（1），由对称性可知所有取值的和为0，故（1）正确， 对于（2），由题意得，故，而， 由题意得，则我们进行如下讨论， 当与重合时，， 但-22不在内，则的取值集合不可能为，故（2）错误． 16．已知，函数在区间上最小值为S，在区间［］上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）. A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内区间即可，当时，，而， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间［］的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能.故选C. 三、解答题（共5题，共48分） 17．（本题8分）已知等比数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故． （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前项和 18．（本题8分）已知复数是实系数一元二次方程的两根，且复数在复平面内对应的点在第一象限，若，其中i是虚数单位． （1）求复数； （2）若复数满足，求的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）最大值6，最小值4. 【解析】（1）因为，所以实系数一元二次方程有两个互为共轭的复数根，因此复数互为共轭复数，因为复数在复平面内对应的点在第一象限， 所以设，则， 所以，所以； （2）因为复数满足，设，所以， 所以复数在复平面上对应的点在单位圆上， 表示点到圆上一点的距离， 显然的最大值为，最小值为． 所以的最大值6，最小值4. 19．（本题10分）如图，设是半径为1的圆上的动点，且分别在第一、二象限，是圆与轴正半轴的交点，为等边三角形，记以轴正半轴为始边、射线OA为终边的角为． （1）若点A的坐标为，求值； （2）设，求函数的解析式和值域． 【答案】（1）3 （2） 【解析】（1）∵的坐标为，以轴正半轴为始边，射线OA为终边的角为 ∴根据三角函数的定义可知 （2）∵为正三角形，∴ 所以． 20．（本题10分）设数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）［方法一］由题意可得， 由数列的前三项可猜想数列是以3为首项，2为公差的等差数列，即． 证明如下：当时，成立；假设时，成立． 那么时，也成立. 则对任意的，都有成立； ［方法二］构造法：由题意可得. 由得．，则， 两式相减得.令，且，所以， 两边同时减去2，得，且，所以，即， 又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以. ［方法三］累加法：由题意可得． 由得，即， . 以上各式等号两边相加得， 所以．所以．当时也符合上式． 综上所述，． ［方法四］构造法：，猜想． 由于，所以可设，其中为常数. 整理得.故，解得. 所以. 又，所以是各项均为0的常数列，故，即． （2）由（1）可知， ［方法一］错位相减法： ，① ② 由①－②得： ，即. ［方法二］裂项相消法： ， 所以 ［方法三］：构造法： 当时，，设， 即，则，解得. 所以，即为常数列， 而，所以．故． ［方法四］： 因为， 令，则 所以．故 21．（本题12分）已知集合，从中选取个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列. （1）对于第1项为的K列，写出它的第2项. （2）设为K列，且中的项满足：当为奇数时，：当为偶数时，.判断能否同时为中的项，并说明理由； （3）证明：由的全部元素组成的序列都不是K列. 【答案】（1）或； （2）不可能同时在中，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或-1不符合题意（不在集合A中），所以下一项是或； （2）解法一：假设二者同时出现在中，由于列取反序后仍是列， 故可以不妨设在之前． 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， 所以从到必定要向下一项走奇数次． 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中， 所以从到必定要向下一项走偶数次．这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中． 解法二：依题意可知在K列中，相邻两项应满足 ①，②，③，④ 或⑤，⑥，⑦，⑧ 由①，⑤均可得出；由③，⑥均可得出； 由②，⑦均可得出；由④，⑧均可得出； 综上，或 因此，和不可能同时在中. 解法三：假设在中为第项，在中为第项（不妨设） 若为偶数，，设，则其下一项为， 而为奇数，，又且， 而列中必同时满足或且或， 所以和不可能同时在中， 同理，若为奇数时，和也不可能同时在中， 综上，和不可能同时在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项，这样的项共有16个，由题知其下一项为，共计16个， 而， 因为只能6由2来，3只能由7来，横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由的全部元素组成的序列都不是K列. 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设 ． 则和都包含32个元素，且中元素的相邻项必定在中． 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目，所以至多存在一对相邻的项属于． 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和，否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时． 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后64－2m项中，第奇数项属于，第偶数项属于． 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况． 这意味着必定存在，使得． 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得． 从而有． 这就得到． 再设 . 则同理有． 这意味着． 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由的全部元素组成的序列都不是K列. 解法二：设列元素为， 令，由相邻两项满足或， 当时，则或7； 或1； 当时，则或7； 或7； 由此可知，与同为奇数或同为偶数；与同为奇数或同为偶数， 即的奇偶性奇偶性相同 因为， 中共有个元素，若构成K列，则从到，经过次变换， 因为与必同为奇数或同为偶数，与必同为奇数或同为偶数， 但在的所有可能的值中，最小的为，最大的为， 且经过上述变换，无法同时满足所有的64个元素都符合K列的条件； 同理时，也无法同时满足所有的64个元素都符合K列的条件， 综上，中的所有元素都不构成K列. 学科网（北京）股份有限公司 $