4.3.2 对数的运算（导学案）数学人教A版2019必修第一册

4.3 4.3.2 对数的运算 导学案 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件． 2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 3.掌握换底公式及其推论． 4.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 教学重点：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能用换底公式进行求值、化简． 教学难点：1.理解和掌握对数的性质2.掌握对数式与指数式的关系 ,学会对数式与指数式的互化 知识点一　对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝ ； (2)loga＝ ； (3)logaMn＝ (n∈R)． [拓展]　推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(a>0，且a≠1，Nk＞0，k∈N＋)． 知识点二　换底公式 (1)对数的换底公式： (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝ a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝ (a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝ (a>0，b>0，且a≠1，m≠0)． 导入1：手机电量焦虑 【情境】“我的充电宝标称容量是20000mAh，但给3000mAh的手机充电时，只能充4次就没电了，是不是虚标？” 【追问】若充电宝实际容量为标称的80%，每次充电损耗5%，如何计算真实充电次数？（引出：log₀.₉₅0.8的求解需求） 【设计意图】用“电量焦虑”引发共鸣，揭示“非整数指数”问题的普遍性及换底公式的必要性。 导入2：银行存款的“复利翻倍” 情景描述 小张的妈妈将1万元存入银行，选择“复利计息”方式（即每年利息计入下一年本金），年利率为3%。银行工作人员告知：“按照这个利率，本金翻倍需要一定年限”，妈妈想知道大约需要存多少年，本金才能从1万元变成2万元。 追问设计 1. 复利计息下，本金P与存款年限t的关系为。若本金翻倍（即P=20000），可列出方程，这里t是指数，如何将t单独求解出来？ 1. 尝试用“试值法”估算t的范围（比如t=23时，；t=24时，），观察数值变化，说说试值法的局限性是什么？ 1. 若想精准计算t的值，是否需要新的数学工具？结合对数的定义，思考如何用对数表示t，并尝试用常用对数（以10为底）计算t的近似值。 设计意图 1. 生活实用性：银行存款、复利计息与家庭财务相关，学生能感知数学在“理财计算”中的实际作用，增强学习主动性。 1. 认知冲突：学生能列出指数方程，但无法直接求解指数t，试值法也只能得到近似范围，自然产生对“对数工具”的需求，契合本节课“对数运算解决指数求解问题”的核心目标。 探究点1：对数的运算性质 同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等．从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起到了重要作一、对数的运算性质 问题1　将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)? 问题2　结合问题1，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？ 问题3　结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？ 引导语上一节课中我们研究了对数函数的概念、图象和性质.按照研究的基本路径，接下来要应用 对数函数解决问题.为此，请你填写对数函数的概念、图象和性质表.并回忆在指数函数的应用中解决了 哪些问题，是如何解决的. 在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？ 探究 我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？ 设，因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得 这样，就得到了对数的一个运算性质：． 同样地，同学们可以仿照上述过程，由和，自己推出对数运算的其他性质． 于是，我们得到如下的对数运算性质． 如果，且，，，那么 （1）； （2）； （3）． 探究点2：利用对数的运算性质化简、求值 例3 求下列各式的值： （1）； （2） 【变式】求下列各式的值： （1）；     （2）； （3）；     （4）； （5）；      （6）. 例4 用表示． 【变式】已知lg6＝a, lg15＝b，试用a，b表示lg24和lg120. 探究点3：换底公式的“发现” 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数． 探究 （1）利用计算工具求，的近似值； （2）根据对数的定义，你能利用，的值求的值吗？ （3）根据对数的定义，你能用表示（，且；，且）吗？ 探究点4：换底公式的“证明” 设，则，于是． 根据性质（3）得，即 （，且；，且）． 我们把上式叫做对数换底公式． 在4.2.1的问题1中，求经过多少年地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值．由换底公式，可得，利用计算工具，可得． 由此可得，大约经过7年，地景区的游客人次就达到2001年的2倍．类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数． 探究点5：换底公式的“证明” 例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为 ． 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍． 想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？ 【变式】科学家研究发现，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系是.据中国地震台网测定，2022年1月8日，11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震，1时45分在中国青海海北州门源县发生6.9级地震，设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为，门源县地震所释放的能量为，则的近似值为（    ） A．15 B．20 C．32 D．35 1.（2020高三·全国·专题练习） （    ） A． B． C． D． 2.（21-22高一·全国·课前预习）已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是（    ） A．a－2 B．5a－2 C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2 3.（20-21高一·江苏·课后作业）若，则（    ） A．-3 B．9 C． D． 4.（20-21高一·全国·课后作业）设，则x的值等于（    ） A．10 B．13 C．100 D． 5.（2022高二下·浙江宁波·学业考试）计算：（    ） A．10 B．1 C．2 D． 6.（2020高一·上海·专题练习）已知，那么用表示是（    ） A． B． C． D． 7.（多选题）（21-22高一上·江苏南京·阶段练习）设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 8.（多选题）（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9.（多选题）（20-21高一上·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10.（多选题）（21-22高一上·全国·课后作业）下列正确的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 1.（20-21高一上·全国·课后作业）计算的结果是（　　） A．1 B．2 C．lg2 D．lg5 2.（多选题）（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3.（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 4.（19-20高三上·四川泸州·阶段练习）实数满足，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)对数运算性质的运用． (3)利用对数的运算性质化简、求值． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则． 教科书第140〜141页习题4. 4第3、5、9、10、12、13题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 4.3.2 对数的运算 导学案 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件． 2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 3.掌握换底公式及其推论． 4.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 教学重点：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能用换底公式进行求值、化简． 教学难点：1.理解和掌握对数的性质2.掌握对数式与指数式的关系 ,学会对数式与指数式的互化 知识点一　对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． [拓展]　推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(a>0，且a≠1，Nk＞0，k∈N＋)． 知识点二　换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且a≠1，m≠0)． [点拨]　(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)在具体运算中，习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝. 导入1：手机电量焦虑 【情境】“我的充电宝标称容量是20000mAh，但给3000mAh的手机充电时，只能充4次就没电了，是不是虚标？” 【追问】若充电宝实际容量为标称的80%，每次充电损耗5%，如何计算真实充电次数？（引出：log₀.₉₅0.8的求解需求） 【设计意图】用“电量焦虑”引发共鸣，揭示“非整数指数”问题的普遍性及换底公式的必要性。 导入2：银行存款的“复利翻倍” 情景描述 小张的妈妈将1万元存入银行，选择“复利计息”方式（即每年利息计入下一年本金），年利率为3%。银行工作人员告知：“按照这个利率，本金翻倍需要一定年限”，妈妈想知道大约需要存多少年，本金才能从1万元变成2万元。 追问设计 1. 复利计息下，本金P与存款年限t的关系为。若本金翻倍（即P=20000），可列出方程，这里t是指数，如何将t单独求解出来？ 1. 尝试用“试值法”估算t的范围（比如t=23时，；t=24时，），观察数值变化，说说试值法的局限性是什么？ 1. 若想精准计算t的值，是否需要新的数学工具？结合对数的定义，思考如何用对数表示t，并尝试用常用对数（以10为底）计算t的近似值。 设计意图 1. 生活实用性：银行存款、复利计息与家庭财务相关，学生能感知数学在“理财计算”中的实际作用，增强学习主动性。 1. 认知冲突：学生能列出指数方程，但无法直接求解指数t，试值法也只能得到近似范围，自然产生对“对数工具”的需求，契合本节课“对数运算解决指数求解问题”的核心目标。 探究点1：对数的运算性质 同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等．从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起到了重要作一、对数的运算性质 问题1　将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)? 提示　由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN. 由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN)． 从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)． 问题2　结合问题1，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？ 提示　将指数式＝ap－q化为对数式，得 loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)． 问题3　结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？ 提示　由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R)． 引导语上一节课中我们研究了对数函数的概念、图象和性质.按照研究的基本路径，接下来要应用 对数函数解决问题.为此，请你填写对数函数的概念、图象和性质表.并回忆在指数函数的应用中解决了 哪些问题，是如何解决的. 在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？ 探究 我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？ 设，因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得 这样，就得到了对数的一个运算性质：． 同样地，同学们可以仿照上述过程，由和，自己推出对数运算的其他性质． 于是，我们得到如下的对数运算性质． 如果，且，，，那么 （1）； （2）； （3）． 探究点2：利用对数的运算性质化简、求值 例3 求下列各式的值： （1）； （2） 解：（1）； （2） 【变式】求下列各式的值： （1）；     （2）； （3）；     （4）； （5）；      （6）. 【答案】（1）4；（2）27；（3）；（4）2；（5）；（6）1. 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算 【解析】（1）直接根据指数幂的运算性质进行运算； （2）直接根据指数幂的运算性质进行运算； （3）直接根据对数的运算性质进行运算； （4）先用换底公式化为同底的对数，再根据对数的运算性质进行运算； （5）先用换底公式化为同底的对数，再根据对数的运算性质进行运算； （6）直接根据换底公式进行运算． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算性质，考查换底公式的应用，属于基础题． 例4 用表示． 解：． 【变式】已知lg6＝a, lg15＝b，试用a，b表示lg24和lg120. 【答案】lg24＝2a－b＋1，lg120＝. 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据条件可得lg2＋lg3＝a，lg5＋lg3＝1－lg2＋lg3＝b，可得lg2和lg3，进而根据对数的运算可得解. 【详解】由lg6＝a，得lg2＋lg3＝a．① 由lg15＝b, 得lg5＋lg3＝1－lg2＋lg3＝b．② 由①②得lg2＝， lg3＝. 故lg24＝lg3＋3lg2＝2a－b＋1，lg120＝1＋2lg2＋lg3＝. 探究点3：换底公式的“发现” 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数． 探究 （1）利用计算工具求，的近似值； （2）根据对数的定义，你能利用，的值求的值吗？ （3）根据对数的定义，你能用表示（，且；，且）吗？ 探究点4：换底公式的“证明” 设，则，于是． 根据性质（3）得，即 （，且；，且）． 我们把上式叫做对数换底公式． 在4.2.1的问题1中，求经过多少年地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值．由换底公式，可得，利用计算工具，可得． 由此可得，大约经过7年，地景区的游客人次就达到2001年的2倍．类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数． 探究点5：换底公式的“证明” 例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为 ． 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和． 由，可得． 于是， 利用计算工具可得，． 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍． 想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？ 【变式】科学家研究发现，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系是.据中国地震台网测定，2022年1月8日，11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震，1时45分在中国青海海北州门源县发生6.9级地震，设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为，门源县地震所释放的能量为，则的近似值为（    ） A．15 B．20 C．32 D．35 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】所以 故选:C 1.（2020高三·全国·专题练习） （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】运用对数运算法则即可. 【详解】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解. ， 故选:B. 【点睛】本题是基础题，考查对数运算法则及换底公式的合理运用. 2.（21-22高一·全国·课前预习）已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是（    ） A．a－2 B．5a－2 C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2． 故选：A. 3.（20-21高一·江苏·课后作业）若，则（    ） A．-3 B．9 C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数幂与对数的互化公式，即可求解. 【详解】因为，根据指数幂与对数的互化公式，可得. 故选：C. 4.（20-21高一·全国·课后作业）设，则x的值等于（    ） A．10 B．13 C．100 D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】由公式指数性质和对数的性质即即得. 【详解】由得，所以. 故选：B. 5.（2022高二下·浙江宁波·学业考试）计算：（    ） A．10 B．1 C．2 D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】应用对数的运算性质求值即可. 【详解】. 故选：B 6.（2020高一·上海·专题练习）已知，那么用表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数与对数的关系及对数的性质计算可得； 【详解】解：因为，所以 所以==， 故选：A． 7.（多选题）（21-22高一上·江苏南京·阶段练习）设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】由已知结合对数的运算性质分别判断各选项即可． 【详解】对于A，因为，所以A正确； 对于B，因为，，所以B错误； 对于C，因为，所以，而ab＜0，所以a+b<0，所以C正确； 对于D，， 所以D错误； 故选：AC． 8.（多选题）（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【知识点】对数的运算、指数幂的运算 【分析】根据指对数的运算即可判断. 【详解】根据任何不为0的数的0次方为1，真数为1，对数运算为0，故A正确， ，，故B错误， ，故C正确， ，故D正确. 故选：ACD. 9.（多选题）（20-21高一上·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【解析】根据对数的运算法则，逐一分析选项即可得答案. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD 10.（多选题）（21-22高一上·全国·课后作业）下列正确的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【知识点】对数的运算、指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】利用对数和指数的运算可判断AB选项；利用指数与对数的互化可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为，则，所以，，C对； 对于D选项，因为，则，所以，，D对. 故选：BCD. 1.（20-21高一上·全国·课后作业）计算的结果是（　　） A．1 B．2 C．lg2 D．lg5 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用 【解析】结合对数的运算性质即可直接求解. 【详解】由题意，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的运算，考查学生的计算能力，属于基础题. 2.（多选题）（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数式和对数式互化，结合对数运算法则计算即可，得到结论. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，由指对数互化知若，则，故②正确； 对于③，，所以，故③错误； 对于④，，所以，故④错误. 故选：AB． 3.（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】由指数和对数的关系以及对数的运算性质计算即可； 【详解】由题意可得， 所以 故选：B. 4.（19-20高三上·四川泸州·阶段练习）实数满足，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 则. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)对数运算性质的运用． (3)利用对数的运算性质化简、求值． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则． 教科书第140〜141页习题4. 4第3、5、9、10、12、13题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $