4.3.2 对数的运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 4.3.2　对数的运算 (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的运算性质.2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 教学重点：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能用换底公式进行求值、化简． 教学难点：对数的运算性质和换底公式的灵活运用． 核心素养：1.通过利用对数的运算性质化简、求值，提升数学运算素养.2.借助换底公式的应用，培养逻辑推理素养． 知识点一　对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． [拓展]　推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(a>0，且a≠1，Nk＞0，k∈N*)． 知识点二　换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且a≠1，m≠0)． [点拨]　(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)在具体运算中，习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝. 1．(对数运算性质的应用)计算log69＋log64＝(　　) A．log62 B．2 C．log63 D．3 答案：B 2．(换底公式的应用)若logab·log3a＝4，则b＝________． 答案：81 3．(换底公式推论的应用)计算log2781＝________． 答案： 4．(对数运算的综合应用)设m，n是方程(lg x)2－lg －1＝0的两个实根，则mn＝________． 答案： 题型一　对数运算性质的应用　　 例1　计算下列各式的值： (1)2log32－log3＋log38－25log53； (2)lg －lg ＋lg ； (3). [解]　(1)原式＝log34－log3＋log38－52log53＝log3－32＝2－9＝－7. (2)原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. (3)原式＝＝＝＝. 【感悟提升】对数式化简与求值的策略 (1)“合”：将同底的两对数的和(差)合并成积(商)的对数，即公式逆用． (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即公式的正用． (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，进行化简与求值，如lg 2＋lg 5＝1. 【跟踪训练】 1．计算下列各式的值： (1)log535－2log5＋log57－log51.8； (2)； (3)(lg 5)2＋lg 2×lg 50＋2. 解：(1)原式＝log535－log5＋log57－log51.8 ＝log5＝log525＝2. (2)解法一(正用公式)： 原式＝ ＝＝. 解法二(逆用公式)： 原式＝＝＝. (3)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21×2log2 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2＝1＋2. 题型二　换底公式的应用 例2　已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)． [解]　因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝＝＝＝＝＝＝. [结论探究]　若本例条件不变，如何求log915(用a，b表示)? 解：因为18b＝5，所以log185＝b. 所以log915＝＝ ＝＝＝ ＝＝＝. [条件探究]　若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log918＝a，9b＝5”，又如何求解呢？ 解：因为9b＝5，所以log95＝b. 所以log3645＝＝ ＝＝. 又log918＝a， 所以log9(2×9)＝a，即log92＋log99＝a， 所以log92＋1＝a，所以log94＋1＝a， 所以log94＝2(a－1)， 故log3645＝＝. 【感悟提升】利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 【跟踪训练】 2．计算：(1)(log43＋log83)； (2)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)． 解：(1)原式＝＝×＋×＝＋＝. (2)解法一：原式＝ ＝ ＝log25×3log52＝13log25×＝13. 解法二：原式＝ ＝ ＝×＝13. 解法三：原式＝(log253＋log22 52＋log23 51)(log52＋log52 22＋log53 23)＝(log52＋log52＋log52)＝×log25×3log52＝×3＝13. 题型三　对数运算的综合应用 例3　(1)方程log3(x－1)＝log3(x＋)＋log3(x－)的解为(　　) A．－1，2 B．2 C．－1 D．1，－2 [解析]　由log3(x＋)＋log3(x－)＝log3[(x＋)(x－)]＝log3(x2－3)，可得log3(x－1)＝log3(x2－3)，故解得x＝2. [答案]　B (2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z. [解]　令2x＝3y＝5z＝k(k>0)， ∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， ∴＝logk2，＝logk3，＝logk5， 由＋＋＝1， 得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1， ∴k＝30， ∴x＝log230＝1＋log215， y＝log330＝1＋log310， z＝log530＝1＋log56. 【感悟提升】 1．应用对数的运算性质解对数方程的三种方法 (1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解． (2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解． (3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解． 2．对数式、指数式综合运算的技巧 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 【跟踪训练】 3．(1)解关于x的方程(lg x)2＋lg x3－10＝0. 解：原方程整理得(lg x)2＋3lg x－10＝0， 即(lg x＋5)(lg x－2)＝0， 所以lg x＝－5或lg x＝2， 解得x＝0.00001或x＝100. 经检验知，x＝0.00001，x＝100都是原方程的根． (2)设xa＝yb＝zc(x>0，y>0，z>0，且均不为1)，且＋＝，求证：z＝xy. 证明：设xa＝yb＝zc＝k，k>0， 则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk. 因为＋＝，所以＋＝， 即logkx＋logky＝logkz， 所以logk(xy)＝logkz，即z＝xy. 题型四　实际问题中的对数运算 例4　里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lg E－3.2，其中E(焦耳)是以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么里氏8.0级地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹的能量． [解析]　设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2，E1，则8－6＝(lg E2－lg E1)，即lg ＝3，∴＝103＝1000，即里氏8.0级地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹的能量． [答案]　1000 【感悟提升】解决对数应用题的一般步骤 【跟踪训练】 4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计经过________年，该物质的剩余质量是原来的(结果精确到1年，lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)． 答案：4 解析：假设经过x年，该物质的剩余质量是原来的，根据题意得0.75x＝，所以x＝log0.75＝＝≈≈4.故估计经过4年，该物质的剩余质量是原来的. 1．2log6＋3log6＝(　　) A．log6 B．2 C．0 D．1 答案：D 解析：原式＝log62＋log63＝log66＝1.故选D. 2．计算log92×log43＝(　　) A．4 B．2 C. D. 答案：D 解析：原式＝×＝×＝. 3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　) A. B. C．ab D．a＋b 答案：B 解析：∵10a＝2，∴lg 2＝a，∴log26＝＝＝. 4．阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势．下列各数中与2.52025最接近的是(参考数据：lg 2≈0.301，lg 5≈0.699)(　　) A．10802 B．10806 C．10810 D．10814 答案：B 解析：令2.52025＝x，则lg x＝lg 2.52025＝2025lg 2.5＝2025lg ＝2025(lg 5－lg 2)≈2025×(0.699－0.301)≈806，所以x≈10806，即与2.52025最接近的是10806.故选B. 5．若2.5x＝1000，0.25y＝1000，则－＝________． 答案： 解析：∵x＝log2.51000＝，y＝log0.251000＝，∴－＝(lg 2.5－lg 0.25)＝×lg ＝×lg 10＝. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 对数运算性质 对数运算性质 换底公式的应用　　 对数运算性质的应用 对数运算性质的应用——求值 对数运算性质在方程中的应用 对数运算性质及换底公式的应用——用字母表示对数 实际问题中的对数运算——天文学中的应用 对数运算性质 对数运算性质及换底公式的应用——求对数式的值 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 对数运算性质及换底公式的应用 换底公式的应用 对数运算性质的应用 对数运算性质的应用——解对数方程 实际问题中的对数运算——天文学中的应用 对数运算性质的应用——解对数方程 对数运算性质及换底公式的应用——求对数式的值 指数与对数运算的综合应用——解决证明问题 对数运算性质在方程、不等式中的综合应用 一、单项选择题 1．已知a>0，b>0.若ab＝1，则lg a＋lg b＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 解析：lg a＋lg b＝lg (ab)＝lg 1＝0.故选A. 2．若lg m－lg n＝1，则(　　) A．mn＝10 B．m－n＝10 C．10m＝n D．m＝10n 答案：D 解析：由lg m－lg n＝1，得lg ＝1，解得＝10，所以m＝10n.故选D. 3．log25×log52＝(　　) A．5 B．2 C．1 D．0 答案：C 解析：log25×log52＝×＝1.故选C. 4．log23＋log26－log29＝(　　) A．1 B．－1 C．log23 D．log35 答案：A 解析：log23＋log26－log29＝log2(3×6÷9)＝log22＝1.故选A. 5．若xlog36＝1，则6x＋6－x＝(　　) A．3 B. C．6 D. 答案：B 解析：由xlog36＝1，可得log36x＝1，即6x＝3，所以6x＋6－x＝3＋＝.故选B. 6．已知lg a，lg b是方程6x2－4x－3＝0的两根，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：方程6x2－4x－3＝0的判别式Δ＝16＋72＝88>0，则lg a＋lg b＝，lg a·lg b＝－，所以＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝＋2＝.故选D. 7．设lg 3＝a，lg 5＝b，则log212的值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：根据换底公式和对数运算性质得 log212＝＝＝ ＝＝.故选C. 8．若m＝a×10n(1≤a＜10)，则称m的数量级为n.已知金星的质量为M千克，且lg M＝23＋lg 48.69，则M的数量级为(　　) A．22 B．23 C．24 D．25 答案：C 解析：因为lg M＝23＋lg 48.69＝24＋lg 4.869＝lg (4.869×1024)，所以M＝4.869×1024，则M的数量级为24.故选C. 二、多项选择题 9．设a>0，且a≠1，m，n是正整数，则(　　) A．loga(mn)＝logam＋logan B．loga＝ C．loganm＝nlogam D．logamn＝nlogam 答案：AD 解析：对于A，loga(mn)＝logam＋logan，A正确；对于B，loga＝logam－logan，B错误；对于C，loganm＝logam，C错误；对于D，logamn＝nlogam，D正确．故选AD. 10．下列运算正确的是(　　) A．lg 2＋lg 3＝lg 5 B．log3100＝10log310 C．4log45＝5 D．log23×log34×log42＝1 答案：CD 解析：对于A，lg 2＋lg 3＝lg 6，A错误；对于B，log3100＝2log310，B错误；对于C，4log45＝5，C正确；对于D，log23×log34×log42＝××＝1，D正确．故选CD. 11．若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是(　　) A.＋＝1 B.＋＝lg 20 C.＋＝2 D.＋＝ 答案：AB 解析：a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确．故选AB. 三、填空题 12．计算：＝________． 答案：1 解析：＝＝＝1. 13．log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＝________． 答案： 解析：原式＝log3＋lg (25×4)＋2＝log33＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝. 14．方程2log4(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝________． 答案：5 解析：由解得x>－1，2log4(x＋1)－log4(x＋4)＝log4＝log44，所以＝4，整理得x2－2x－15＝0，解得x＝5或x＝－3(舍去)，所以原方程的解为x＝5. 15．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1)，其中星等为mi的星的亮度为Ei(i＝1，2)．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则下列选项中与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)(　　) A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27 答案：C 解析：根据题意可得1－1.25＝2.5(lg E2－lg E1)，可得lg ＝，解得r＝＝10，根据参考公式可得r≈1＋2.3×＋2.7×＝1.257，故与r最接近的是1.26.故选C. 16．(全国甲卷)已知a>1，－＝－，则a＝________． 答案：64 解析：由－＝－log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 17．已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝，则log(a1a2…a10)(b1b2…b10)＝________． 答案： 解析：因为loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝，则bi＝a (i＝1，2，3，…，10)，所以log(a1 a2…a10)(b1b2…b10)＝＝＝＝. 18．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py. (1)求p； (2)求证：－＝. 解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(k>1)， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·. ∵log3k≠0， ∴p＝2log34. (2)证明：∵－＝－＝logk6－logk3＝logk2，＝logk4＝logk2， ∴－＝. 19．已知a，b，x为正数，且lg (bx)·lg (ax)＋1＝0，求的取值范围． 解：因为lg (bx)·lg (ax)＋1＝0， 所以(lg b＋lg x)(lg x＋lg a)＋1＝0. 所以(lg x)2＋(lg a＋lg b)lg x＋lg a·lg b＋1＝0. 因为x>0， 所以上述关于lg x的一元二次方程有实根， 所以(lg a＋lg b)2－4(lg a·lg b＋1)≥0. 所以(lg a－lg b)2≥4. 所以lg a－lg b≥2或lg a－lg b≤－2. 所以≥100或0<≤. 故的取值范围是∪[100，＋∞)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $