4.3.2 对数的运算（题型专练）数学人教A版2019必修第一册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.34.3.2对数的运算 题型一：对数运算性质的应 用 基础达标题 题型二：换底公式的应用 题型三：运用换底公式化简计 算 题型一：实际问题中的对数 运算 4.34.3.2 题型二：对数运算性质的应 对数的运算 用一求值 能力提升题 题型三实际问题中的对数运 算 题型四：对数的运算性质的 应用 拓展培优题 基础达标题 题型一：对数运算性质的应用 1 f=1og.x42且 -a>0 1.(25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习)已知函 a≠，若f2)+f4)=3,则a=() A.3 B.2 C.4 D. 1g2=a 1g3=b _Ig12 2.(23-24高一下·江苏盐城·期末)若 则用， 表示 () A.a'b B.2ab C.a+2b D.2a+b 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 3.(23-24高三上河南阶段练习)下列函数中，满足=)+f-的为（） A.f(x)=lg(1+x) B.f(=1+1gx C.f(a)=2t D.f(x)=1+2 4.(多选题)）(2425高一上全国课后作业)若实数a,b满足”=5=10，则 下列关系正确的有() A. 2+1=lg20 B.a 12=2 121 C.a"b D.aB2 题型二：换底公式的应用 12,则k=（） 1.(25-26高一上全国课前预习)已知6=2=k,若。62 A. B.3 C.6 D.9 2.(2025高三·全国·专题练习)以下运算不正确的是() A.若e3-ae2-=b:则og,18=22B.[5-y时-5+-0+P-】 c.3 -2In(Ine)=7 D.log23.l0g 4=2 3.（24-25高一上·全国·课后作业)已知 og。x=2log6x=1log。x=4 (a,bc,x>0且a,b,c,1),则loe.abo等于(） 4 A.7 B. C.2 D. 4.(24-25高二下浙江宁波期中)已知0=oeu3,6=0,5,则() A.a+b<0<ab B.a+b<ab<0 C.ab<0<a+b D.ab<a+b<o 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 题型三：运用换底公式化简计算 1.(24-25高二下山东日照期末)若og,m=2,=m,则1bg.(b)=() 1 1 A.6 B.5 5 C.6 D.5 2.(24-25高二下·河北秦皇岛·期中)“x>1og8”是4x>V7 。2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(24-25高一下·广东茂名阶段练习)已知2=3°=，且。+6 2+=2,则=（） A.3 B.25 C.2v5 D.12 11 4.(2025高三下·全国专题练习)若log,12=x,1og12=y,则xy() A.-1 B.1 C.3 D.4 B 能力提升题 题型一：实际问题中的对数运算 1.(25-26高三上·北京顺义·阶段练习)在声学中，声音的强度级（单位：dB) 常用于描述声音的强弱强度级L计算方式为： L=10e元，其中1是声音强度 (单位：），是常数，表示人耳可听到的最小强度设声源A单独发声时，产 生的声音强度为，强度级为，声源B单独发声时，产生的声音强度为， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强度级为：且。=2弘.当声源4、8同时发声时，产生的声音强度。=+： 则此时的强度级 e-L,六(）0g2030,1g3≈0.47) A.0.47 B.1.7 C.3 D.4.7 2.(25-26高三上·北京延庆阶段练习)某水域每立方米中微生物含量A约为2”， 另一水域每立方米中同种微生物含量B约为3.则下列各数中与B最接近的是 1g2≈0.30，lg3≈0.48 ()(参考数据： ) A.0.3 B.10 C.io D.io 3.(25-26高三上江苏南通开学考试)声强级（单位：dB)由公式： L,=101g 10严)给出，其中1为声强（单位：w/m2)若某音源的声强由变为 其声强级由10.1提高到30.1，则() A.1=/+20B.4=204 C.3=1001 D.5=(1) 4.(24-25高一上江苏南通·期末)任何一个正实数N可以表示成N=a×10 (1≤a<10,neZ的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有 1gN=+ga,当”>0时，N是n+1位数，则2 2025 的位数为（参考数据： 1g2≈0.3010 )() A.611 B.610 C.609 D.608 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 题型二：对数运算性质的应用—求值 1.(21-22高二下·海南省直辖县级单位·期末)设 l0g 4=a,log 3=b loga36= ,则 () 2b+a 1 A.2a-b B. C.za+b 36-a D. 2.(24-25高一下·云南昆明期末) A.3 B.4 C.5 D.6 3.(2425高一下北京期末)已知f八=2，则/1+1og,)=（) A.6 B.5 C.4 D.3 4.（24-25高一上全国课后作业)设83=P,10e,5=9,则5等于() A.p2+q2 B.53p+2g 3pq C.1+3pq D.pq 题型三实际问题中的对数运算 1.(25-26高三上·浙江·阶段练习)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学 家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：尔 格)与地震里氏震级“之间的关系为： lgE=1.5M+11.8 ,若第一次地震释放出 的能量是第二次的1000倍，则第一次地震的里氏震级比第二次高() A.4级 B.3级 C.2级 D.1级 2.(25-26高一上·全国·单元测试)甲、乙两人同时解关于x的方程： log2x+b+clog2=0.甲写错了常数b,得两根为4及8；乙写错了常数c,得两 根为2及64，则这个方程的真正的根为() 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x=2 B.x=4 C.x=4或x=8 D.x=2或x=8 类型 题型 解法 log。fx)=b 将对数式转化为指数式f八=a 解出x 基本 将对数式转化为指数式P=m, 解出x,注意检 型 logfx n=b 验(>0且1). 转化为=o求解（注意检验，>0且 同底 log。f(x=logp(x 数型 px)>0 )· 换元，令=.”，转化为关于t的方程0=0， 需代 f(log。x)=0 换型 得=P,再解方程 0g。x= ,得到x=,注意检 验 3.(24-25高三上·北京丰台·期末)溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公 式为pH=-l[H],其中[H]表示溶液中氢离子的浓度（单位：o1/L)室温 下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数10“，即[H][o]=10“, 其中[OH]表示溶液中氢氧根离子的浓度（单位：mo1/L).室温下，某溶液的 pH值为1，若加水稀释后，该溶液的pH值变为2，则稀释后溶液中氢氧根离子 的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为() 1 A. B.2 C.10 D.10 4.(24-25高一上·贵州贵阳·期中)一项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明， 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在一节课内，注意力指数P与听课时间t(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的曲线。 当1∈(0,14时，曲线是二次函数图象的一部分，当∈14,4付时，曲线是函数 y=og.(1-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据研究得知：当注意力指数P大于80 时听课效果最佳 P 82 ! 1214 451 (求P=f) 的函数解析式； (2)在一节课的什么时间段内学生听课效果最佳？请说明理由. 题型四：对数的运算性质的应用 1.(24-25高一·上海·课堂例题)测量地震级别的里氏震级M的计算公式为： M=g4-e4,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数是相应的 标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次 地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震 最大振幅的()倍. A.10: B.100: C.1000: D.10000. 2.(22-23高一上·黑龙江哈尔滨·期末)生物学家采集了一些动物体重和脉搏率 对应的数据，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系：hf=hk-n” 3(其 中f是脉搏率（心跳次数min),体重为”(g,k为正的常数），则体重为 400g 3200g 的豚鼠和体重为 的小兔子的脉搏率之比为() 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.3 C.2 D.8 3.(25-26高一上·全国课后作业)已知gx+gy=21g(x-2y,则 og5y（） A.1 B.4 C.1或4 D.2 4.(2025-海南海口·模拟预测)若=og,6,6=18 b-log,2=（) 则 A.1 B.-1 C.2 D.-2 拓展培优题 1+l0g0.54 1.(23-24高一上·全国·课后作业) 的值为() A.6 B.2 C.8 D.7 2.(2023四川乐山一模)已知 03,100=2,设M=15”,则M所在的区间 为() A.(102,10) B.(10,10 C.10,102) D.(102,10 3.(24-25高一下·湖南娄底期中)已知0>1，且 og。8-log2a=2 ,则的值为 () A.4 B.2 C.v2 D.22 og5x,0<x≤1 4.(24-25高一下湖北阶段练习)已知函数f)={ a-2,x>1的值域为R,其中a>0 且a≠1，则实数a的取值范围是() A.027 B.03] C.(23 D (2,4 4.3 4.3.2 对数的运算 题型一：对数运算性质的应用 1.（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数且 ，若，则（    ） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】根据对数的运算性质计算即得. 【详解】由题意知 ， 所以，即得 解得. 故选：C. 2.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】结合对数运算性质即可得解. 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D. 3.（23-24高三上·河南·阶段练习）下列函数中，满足的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数值、对数的运算性质的应用、利用对数函数的性质综合解题 【分析】方法1：令，证明，找到满足此条件的函数； 方法2：令，得，找到满足条件的选项． 【详解】（方法1）令，则，． 由于，即， 所以． 而满足的函数有对数函数（，）， 所以，只有B选项符合题意，其它选项均不符合． （方法2）令，则，得．在四个选项中，只有B选项满足，其它选项均不符合． 故选：B 4.（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】将指数化为对数可得，，利用换底公式结合对数运算性质逐项分析判断. 【详解】因为，则，， 可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项CD：，故C，D不正确． 题型二：换底公式的应用 1.（25-26高一上·全国·课前预习）已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】A 【知识点】运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式代入运算得解. 【详解】由题知，所以，， 故，解得． 故选：A. 2.（2025高三·全国·专题练习）以下运算不正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】根据指数以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,，故A正确； 对于B.原式，故B正确； 对于C,，故C正确； 对于D,，故D错误． 故选:D． 3.（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，（a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1），则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据换底公式可得，再利用对数的加法运算即可得到答案. 【详解】因为, 所以 同理可得 所以 故选：D 4.（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】，，然后利用换底公式和对数运算性质得，进而利用对数函数的单调性性得，即可得解． 【详解】，， 可知， 故选：B 题型三:运用换底公式化简计算 1.（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由可得：. 则 . 故选：C 2.（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算公式及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，且， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3.（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，且，则（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 由， 故，故，由于，故， 故选；B 4.（2025高三下·全国·专题练习）若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】利用对数运算公式和换底公式计算. 【详解】因为，，所以，， 所以，，因此，． 故选：B. 题型一：实际问题中的对数运算 1.（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）在声学中，声音的强度级（单位：dB）常用于描述声音的强弱.强度级计算方式为：，其中是声音强度（单位：），是常数，表示人耳可听到的最小强度.设声源A单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；声源B单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；且.当声源同时发声时，产生的声音强度；则此时的强度级（   ） A．0.47 B．1.7 C．3 D．4.7 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意，且，代入的表达式，化简整理，可得，即可得答案. 【详解】由题意，且， 所以 ， 所以. 故选：D 2.（25-26高三上·北京延庆·阶段练习）某水域每立方米中微生物含量约为，另一水域每立方米中同种微生物含量约为.则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A．0.3 B．10 C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】利用对数运算法则求出的近似值，再求出各选项中的常用对数判断即得. 【详解】依题意，，则， 而， 所以与最接近的是. 故选：D 3.（25-26高三上·江苏南通·开学考试）声强级（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：）.若某音源的声强由变为，其声强级由10.1提高到30.1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】根据已知结合声强级10.1提高到30.1，可得，利用对数运算即可求得答案. 【详解】声强级由10.1提高到30.1，可知，， 故， 即，故，则，即， 故选：C 4.（24-25高一上·江苏南通·期末）任何一个正实数N可以表示成的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（   ） A．611 B．610 C．609 D．608 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】计算的值，由此确定的位数. 【详解】， 是610位数. 故选：B. 题型二：对数运算性质的应用——求值 1.（21-22高二下·海南省直辖县级单位·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】解：. 故选：C. 2.（24-25高一下·云南昆明·期末）（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】根据指对数运算即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 3.（24-25高一下·北京·期末）已知，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】由指数、对数运算即可求解. 【详解】已知，则. 故选：A. 4.（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式可得，再结合换底公式运算求解. 【详解】因为，则，即， 所以. 故选：C. 题型三 实际问题中的对数运算 1.（25-26高三上·浙江·阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：尔格）与地震里氏震级之间的关系为：，若第一次地震释放出的能量是第二次的1000倍，则第一次地震的里氏震级比第二次高（   ） A．4级 B．3级 C．2级 D．1级 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据定义即可求解. 【详解】设第一次和第二次地震的能量分别为，里氏震级分别为， 由题意得与， ，所以. 故选：C. 2.（25-26高一上·全国·单元测试）甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】将原方程变形为，根据题意结合韦达定理求出，，进而求解方程即可. 【详解】原方程两边同时乘以，可变形为， ∵甲写错了b，得到两根为及，∴， 又∵乙写错了常数c，得到两根为及64，∴， ∴原方程为，即， ∴或，∴或8. 故选：C. 【点睛】对数方程的常见题型的求解思路 类型 题型 解法 基本型 将对数式转化为指数式，解出． 将对数式转化为指数式，解出，注意检验且）． 同底数型 转化为求解（注意检验，且）． 需代换型 换元，令，转化为关于t的方程，得，再解方程，得到，注意检验． 3.（24-25高三上·北京丰台·期末）溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）.室温下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数，即，其中表示溶液中氢氧根离子的浓度（单位：）.室温下，某溶液的pH值为1，若加水稀释后，该溶液的pH值变为2，则稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】D 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】利用pH的计算公式可求得溶液稀释前后的氢离子的浓度，再利用即可求得稀释前后的氢氧根离子的浓度，即可求得稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值. 【详解】设稀释前氢离子和氢氧根离子的浓度分别为，，稀释后氢离子和氢氧根离子的浓度分别为，， 因为稀释前溶液的pH为1，所以，所以， 又因为，所以； 因为稀释后溶液的pH为2，所以，所以， 又因为，所以， 所以稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为. 故选：D. 4.（24-25高一上·贵州贵阳·期中）一项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明，在一节课内，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且）图象的一部分．根据研究得知：当注意力指数大于80时听课效果最佳． (1)求的函数解析式； (2)在一节课的什么时间段内学生听课效果最佳？请说明理由. 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用、解分段函数不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用点的坐标代入解析式，待定系数法求出分段函数. （2）根据题意分别计算出当时和当时的函数值，得出结论. 【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数的表达式为．代入点， 得， 则可得． 又当时，曲线是函数且图象的一部分， 且曲线过点，则，即，解得， 则， 则． （2）由题意知，注意力指数大于80时听课效果最佳， 当时，令，解得：； 当时，令，解得：． 综上可得，． 故在一节课的时间段内学生听课效果最佳． 题型四：对数的运算性质的应用 1.（24-25高一·上海·课堂例题）测量地震级别的里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的（    ）倍． A．10； B．100； C．1000； D．10000． 【答案】D 【知识点】对数的运算 【分析】根据条件先计算出的值，然后分别计算出里氏9级地震的最大的振幅和里氏5级地震最大振幅，由此可求解出最终结果. 【详解】由条件可知：， 设里氏9级地震的最大的振幅为，里氏5级地震最大振幅为， 所以，所以， 故选：D 2.（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·期末）生物学家采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系：（其中是脉搏率（心跳次数/min），体重为，为正的常数），则体重为的豚鼠和体重为的小兔子的脉搏率之比为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据题意，将，分别代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，当时，则脉搏为，即，则； 当时，则脉搏为，即，则； 所以，即 故选:C 3.（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】根据对数运算的性质可得，即可求得答案. 【详解】由已知得，整理得，得或． ，即， 则, 故选：B 4.（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】先由，得，进而结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由，得，又， 所以 . 故选：C. 1. （23-24高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据指数和对数的运算规则可求答案. 【详解】. 故选：C. 2.（2023·四川乐山·一模）已知，设，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】由题知，进而得，故. 【详解】解：因为，所以， 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 故选：C． 3.（24-25高一下·湖南娄底·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】令，可得出，结合求出的值，再利用对数和指数的互化可求得的值. 【详解】因为， 由于，则，令，则，于是有， 整理可得，因为，解得，即，解得. 故选：B. 4.（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含参指数函数的最值、求对数函数在区间上的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】分别计算分段函数在每段上的值域，再取并集，根据并集为即可求出范围. 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 学科网（北京）股份有限公司 $