专题03 旋转 3知识&8题型&3易错&3方法清单（期中知识清单）九年级数学上学期人教版

专题03 旋转（3知识&8题型&3易错&3方法清单） 【清单01】旋转的定义，性质与作图 1. 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2. 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 3. 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【清单02】 中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (1) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【清单03】 关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 【题型一】生活中的旋转现象 【典例1】（23-24九年级上·广西玉林·期中）下列现象属于旋转的是（    ） A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【变式1】（23-24九年级上·湖北荆门·期中）下列运动中，不属于旋转变换的是（    ） A．钟摆的运动 B．行驶中的汽车车轮 C．方向盘的转动 D．电梯的升降运动 【变式2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 【题型二】找旋转中心，旋转角和对应点 【典例2】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【变式1】（2025·辽宁沈阳·三模）在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是 ，旋转角是 ． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·开学考试）如图， 在中，， ，将绕点C顺时针旋转后得到， 使得点A恰好落在边上，则旋转的角度为 ． 【题型三】根据旋转的性质求解 【典例3】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，将在平面内绕点 A 逆时针旋转到的位置，点 C 与点 D 对应，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南邵阳·三模）如图，点A的坐标是，将绕点O顺时针旋转得到，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，P点在外部，Q点在内部，若将绕点B顺时针旋转可得到，则的度数为 度． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 【题型四】旋转中规律问题 【典例4】（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形中，其中，，将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，问次旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，边在x轴上，顶点B的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在菱形中，顶点均在坐标轴上，且，以为边构造等边三角形．将和菱形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，第一次旋转结束时点的对应点记为，第二次旋转结束时记为，……，依次类推，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型五】旋转综合应用 【典例5】（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知，点P是等边三角形中一点，线段绕点A逆时针旋转60°到，连接． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【变式1】（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．若，；求的度数． 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，中，，，，把绕点逆时针旋转得，连接，． (1)求的长及的度数； (2)求的面积． 【题型六】中心对称图形的识别 【典例6】（25-26九年级上·福建福州·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【题型七】关于原点对称的点坐标 【典例7】（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M与点N关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知点与点是关于原点的对称点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型八】按图像的变换要求画出另一个图形 【典例8】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出； (2)将绕坐标原点按顺时针方向旋转90°得到，请画出； (3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标为_______． 【变式1】（23-24九年级上·全国·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)的面积为　　 ； (2)将向右平移6个单位长度得到，请画出； (3)画出关于点O的中心对称图形； (4)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为　　 ． 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，，请解答下列问题 (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出． (2)绕原点顺时针旋转得到，作出． (3)求面积． 【题型一】旋转中规律问题 1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·三模）在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【题型二】根据旋转的性质求角度 3．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）如图， 在中，， ，将绕点C顺时针旋转后得到， 使得点A恰好落在边上，则旋转的角度为 ． 【题型二】关于原点对称的点坐标 4．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点是 【题型三】旋转与几何综合应用 5．（2024·湖北·模拟预测）如图，P为正方形内一点，，，，则 ． 6．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在等边中，，点D是边上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，点F是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 7．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在等边中，，点D是边上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，点F是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 8．（22-23九年级上·全国·期中）如图，先将绕点C顺时针旋转得到，再将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，且． (1)若，B、E、D三点在同一条直线上，求的长； (2)若，，点P在边上，求线段的最小值． 【题型一】根据旋转性质求解 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【题型二】中心对称图形定义 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【题型三】点坐标关于原点对称 对于任意一点 P(x,y),关于原点对称P'(-x,-y） 学科网（北京）股份有限公1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转（3知识&8题型&3易错&3方法清单） 【清单01】旋转的定义，性质与作图 1. 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2. 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 3. 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【清单02】 中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (1) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【清单03】 关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 【题型一】生活中的旋转现象 【典例1】（23-24九年级上·广西玉林·期中）下列现象属于旋转的是（    ） A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的定义是解题的关键；因此此题可根据旋转的定义“把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度”进行求解即可． 【详解】解：A、B、D选项都不符合旋转的定义，而C选项符合旋转的定义，故C选项属于旋转现象； 故选C． 【变式1】（23-24九年级上·湖北荆门·期中）下列运动中，不属于旋转变换的是（    ） A．钟摆的运动 B．行驶中的汽车车轮 C．方向盘的转动 D．电梯的升降运动 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的概念，根据旋转的概念求解即可．旋转是物体围绕一个点或一个轴做圆周运动． 【详解】解：A．钟摆的运动属于旋转变换，故不符合题意； B．行驶中的汽车车轮属于旋转变换，故不符合题意； C．方向盘的转动属于旋转变换，故不符合题意； D．电梯的升降运动不属于旋转变换，故符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 【题型二】找旋转中心，旋转角和对应点 【典例2】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 【变式1】（2025·辽宁沈阳·三模）在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是 ，旋转角是 ． 【答案】 点 【分析】连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点，可知绕点顺时针旋转得到，即可得出答案． 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点， 则绕点顺时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角是． 故答案为：点；． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·开学考试）如图， 在中，， ，将绕点C顺时针旋转后得到， 使得点A恰好落在边上，则旋转的角度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，掌握以上性质是解题的关键．证明，，求出，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 在中，， ， ， ∴在中，， 是旋转的角度为， 故答案为：． 【题型三】根据旋转的性质求解 【典例3】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，将在平面内绕点 A 逆时针旋转到的位置，点 C 与点 D 对应，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解： ∵将在平面内绕点 A 逆时针旋转到的位置， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】（2025·湖南邵阳·三模）如图，点A的坐标是，将绕点O顺时针旋转得到，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标特征的运用．由旋转的性质得，，得到，，据此即可得出结论． 【详解】解：由旋转的性质得，，如图，    ∴，． ∴， 故选：B． 【变式2】（22-23九年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，P点在外部，Q点在内部，若将绕点B顺时针旋转可得到，则的度数为 度． 【答案】60 【分析】首先由绕点B顺时针旋转可得到，得出，再由是等边三角形得出，通过等量代换可求出的度数． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等量代换，熟练掌握等边三角形的性质，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：绕点B顺时针旋转可得到，由旋转性质得： ， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 【答案】 【分析】连接， 根据中，，，得到，根据，得到，根据旋转得到，，，，得到为等边三角形，得到，得到，推出为等边三角形，得到． 本题主要考查了旋转，含30度角的直角三角形，等边三角形．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定． 【详解】解：连接，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即点与点B之间的距离为． 故答案为：． 【题型四】旋转中规律问题 【典例4】（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵， ∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形中，其中，，将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，问次旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，灵活运用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，也考查了正方形的性质和点的坐标变换规律问题解决方法． 过C点作轴于H点，如图，先证明得到，，则，所以，由于，则逆时针旋转503次相对于顺时针旋转，然后根据旋转的性质得到次旋转后点的坐标为，即可作答． 【详解】解：过C点作轴于H点，如图， ∵，， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且旋转次 ∴ ∴逆时针旋转503次相对于顺时针旋转， 即把绕点顺时针旋转，得，过作轴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点在第四象限 ∴点的坐标为 故选：B 【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，边在x轴上，顶点B的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于，过点作轴于点，根据四边形是正方形以及等腰直角三角形的性质可得，将组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，每旋转8次回到最初位置，从而得到第98次旋转结束时，相当于将顺时针旋转了，作轴于，通过证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于点， ，在中，，边在x轴上，顶点B的坐标为 ， ∴， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 将组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转， 每旋转次回到最初位置， ， 第98次旋转结束时，相当于将顺时针旋转了，如图所示， ， 则，， 作轴于，则， ，， ， ， ，， ， 第98次旋转结束时，点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、坐标与旋转规律问题、三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质，是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在菱形中，顶点均在坐标轴上，且，以为边构造等边三角形．将和菱形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，第一次旋转结束时点的对应点记为，第二次旋转结束时记为，……，依次类推，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转性质，勾股定理，规律型：点的坐标．根据旋转知，每4次旋转一个循环，而，即点的坐标与点的坐标相同；利用菱形的性质及等边三角形的性质可求得点的坐标，利用全等三角形的判定与性质可求得的坐标从而求得结果． 【详解】解：如图，连接，过作轴于点， ∵在菱形中， ， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， ∴； 由旋转知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵点在第一象限，且是顺时针旋转， ∴点在第四象限， ∴， 由题意，当旋转到时，则与关于原点对称， 旋转到时，与关于原点对称，旋转到， ∴点的位置，每4次旋转一个循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同为 故选：B． 【题型五】旋转综合应用 【典例5】（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知，点P是等边三角形中一点，线段绕点A逆时针旋转60°到，连接． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定证明即可． （2）根据等边三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵线段绕点A逆时针旋转到， ∴，       ∴是等边三角形，， ∵是等边三角形， ∴，      ∴，     在和中， ∵， ∴． （2）解：∵由（1）得是等边三角形， ∴，     ∵， ∴，      ∵ ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．若，；求的度数． 【答案】 【分析】由旋转的性质得．根据等腰三角形的性质可得，从而得到，再证 ，由全等三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：由旋转知． ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质等，证明 是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，中，，，，把绕点逆时针旋转得，连接，． (1)求的长及的度数； (2)求的面积． 【答案】(1)的长为的度数为； (2)的面积为． 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，掌握知识点的应用，正确地添加辅助线是解题的关键． （）由旋转得，，则是等边三角形，所以，，而，则； （）作于点，则，由，，，求得，而，，则，求得． 【详解】（1）解：∵把绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴的长为，的度数为； （2）解：作于点，则， ∵，，， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【题型六】中心对称图形的识别 【典例6】（25-26九年级上·福建福州·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握这些知识点是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据这些概念逐一判断即可． 【详解】A：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B：是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误； C：是中心对称图形，也是轴对称图形，故C正确； D：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形以某条直线对折，图形的两部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．直接根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项分析． 【详解】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【题型七】关于原点对称的点坐标 【典例7】（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M与点N关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P关于原点O的对称点是，进而求出即可． 【详解】解：∵点M与点N关于原点对称， ∴，， 故． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标均变为原来的相反数，直接计算即可． 【详解】解：点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均取相反数； 因此，原横坐标变为，原纵坐标变为， 对称点的坐标为． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知点与点是关于原点的对称点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，解题关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，点与点是关于原点的对称点 ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 【题型八】按图像的变换要求画出另一个图形 【典例8】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出； (2)将绕坐标原点按顺时针方向旋转90°得到，请画出； (3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移与旋转，熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据点的对应点的坐标为，确定平移规则，进而画出即可； （2）根据旋转的性质，画出； （3）根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，进行求解即可． 【详解】（1）解：解：点的对应点的坐标为， 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求， （2）如图，即为所求． （3）如图，若将绕点旋转可得到，则点的坐标为． 【变式1】（23-24九年级上·全国·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)的面积为　　 ； (2)将向右平移6个单位长度得到，请画出； (3)画出关于点O的中心对称图形； (4)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为　　 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）利用长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可求解； （2）分别确定A，B，C平移后的对应点，再顺次连接即可； （3）分别确定旋转后的对应点，再顺次连接即可； （4）利用旋转的性质，分别连接两组对应点的连线，从而可得答案． 【详解】（1）解：， ∴的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：根据图形可知：对应点的连线交于点 ∴旋转中心的坐标为： 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，，请解答下列问题 (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出． (2)绕原点顺时针旋转得到，作出． (3)求面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3.5 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据坐标可确定平移方式，即可得出，，即可作出； （2）根据旋转的性质，得出各点的对应点，顺次连接即可； （3）用所在正方形的面积减去三个小三角形的面积即可得答案． 【详解】（1）解：∵，点的坐标为， ∴平移的方式为：向左平移个单位，再向下平移个单位， ∵，， ∴，， ∴如图所示： （2）解：如图所示． （3）解：． 【题型一】旋转中规律问题 1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律及关于轴、轴对称点的坐标，根据所给变换方式，依次求出点，…，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，所得点的坐标按循环是解题的关键． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，如图所示： ∵点的坐标为， ∴． 由旋转可知，． 又∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标为． 依次类推： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 则从点开始，所得点的坐标按循环， ， 点的坐标是． 故选：D． 2．（2025·河南南阳·三模）在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质；利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点P的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：∵边长为2的等边在第二象限， ∴． 将绕点顺时针旋转，得到， ∴与点P关于y轴对称， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， ∴与点关于原点对称， ∴． 再将绕点顺时针旋转，得到， 此时点落在x轴的负半轴上， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点落在x轴的正半轴上， ∴． 以此类推， 则， ∴与点P重合， ∴对应的点 (n大于1的整数)的坐标以为规律循环， ∵余3， ∴与的坐标相同， ∴ ． 故选：D． 【题型二】根据旋转的性质求角度 3．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）如图， 在中，， ，将绕点C顺时针旋转后得到， 使得点A恰好落在边上，则旋转的角度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，掌握以上性质是解题的关键．证明，，求出，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 在中，， ， ， ∴在中，， 是旋转的角度为， 故答案为：． 【题型二】关于原点对称的点坐标 4．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点是 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标都互为相反数来求解． 【详解】解：点，关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 所以对称点是． 故答案为：． 【题型三】旋转与几何综合应用 5．（2024·湖北·模拟预测）如图，P为正方形内一点，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理与勾股定理逆定理，将绕B顺时针旋转到，得，，，再求得，进而得，即可得，从而，解题关键是勾股定理的应用． 【详解】解：如图：将绕B顺时针旋转到， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在等边中，，点D是边上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，点F是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点E在以点C为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点F作于点G，当点E在点G处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， 即点E在以点C为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点F作于点G， 当点E在点G处时，取得最小值，即为的长， ∵点F是边的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，得出点E的运动轨迹是解题关键． 7．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在等边中，，点D是边上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，点F是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点E在以点C为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点F作于点G，当点E在点G处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， 即点E在以点C为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点F作于点G， 当点E在点G处时，取得最小值，即为的长， ∵点F是边的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，得出点E的运动轨迹是解题关键． 8．（22-23九年级上·全国·期中）如图，先将绕点C顺时针旋转得到，再将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，且． (1)若，B、E、D三点在同一条直线上，求的长； (2)若，，点P在边上，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，可证，通过证明四边形是矩形，可得，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由垂线段最短可得当时，的长度有最小值，先证点P，点E，点D三点共线，由勾股定理可求的长，由正方形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵B、E、D三点共线， ∴， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点P在边上， ∴当时，的长度有最小值， 由旋转的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P，点E，点D三点共线， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ， ， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形、正方形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，旋转的性质，矩形、正方形的判定与性质的应用是解题的关键． 【题型一】根据旋转性质求解 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【题型二】中心对称图形定义 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【题型三】点坐标关于原点对称 对于任意一点 P(x,y),关于原点对称P'(-x,-y） 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $