精品解析：河北省衡水市阜城县阜城实验中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

高一年级9月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱锥中，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 4. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，且，则（ ） A -5 B. C. 4 D. 7. 已知点，，，则平面的法向量是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，M平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题 9. 若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 11. 在正方体中，、分别为线段、的中点，则（ ） A. 与异面 B. 平面 C. D. 平面 三、填空题 12. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.若圆锥的母线长为4，则圆锥的体积为______；若是底面圆的半径，且为线段的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为______． 13. 过点，平行于x轴的直线方程为_________． 14. 已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为___________. 四、解答题 15. 求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． （1）过点，斜率； （2）经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 16. 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点， （1）求C点到平面的距离. （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17 已知直线与直线. （1）当为何值时，？ （2）当何值时，？ 18. 已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级9月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 2. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 3. 在三棱锥中，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 4. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 5. 已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 6. 已知 ，且，则（ ） A. -5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行得对应坐标成比例可列方程求解. 【详解】因为 ，且， 所以，解得. 故选：D. 7. 已知点，，，则平面的法向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【详解】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A 8. 在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 二、多选题 9. 若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 10. 若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】AD 【解析】 【分析】先由斜率定义写出直线的斜率，因为，则，由此解出，但要验证的解是否会使得直线的斜率不存在，由此可得答案. 【详解】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 11. 在正方体中，、分别为线段、的中点，则（ ） A. 与异面 B. 平面 C. D. 平面 【答案】AC 【解析】 【分析】利用异面直线的定义可判断A选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BCD选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、、 、、， 对于A选项，、既不平行，也不相交，故与异面，A对； 对于B选项，，易知平面的一个法向量为， 则，故与平面不平行，B错； 对于C选项，，所以，，故，C对； 对于D选项，，所以，，所以，、不垂直， 故与平面不垂直，D错. 故选：AC. 三、填空题 12. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.若圆锥的母线长为4，则圆锥的体积为______；若是底面圆的半径，且为线段的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据条件求出圆锥的高，代入圆锥体积公式计算即得；通过建系，求出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】由题意得圆锥的高长为， 所以其体积为； 由题意得平面，则，， 而，则两两相互垂直， 则可以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系如图． 如图，，，，则，，， 则直线与的夹角的余弦值为． 故答案为：，. 13. 过点，平行于x轴的直线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】平行于轴直线，斜率为0，方程形式为. 【详解】过点，平行于x轴的直线方程为. 故答案为： 14. 已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设点到直线的距离为，则 . 故答案为： 四、解答题 15. 求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． （1）过点，斜率； （2）经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，再根据直线的点斜式可求得直线方程. 【小问1详解】 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 【小问2详解】 因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率为， 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 16. 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点， （1）求C点到平面的距离. （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可； （2）利用线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系, 则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则. 所以点C到平面的距离. 【小问2详解】 设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 17. 已知直线与直线. （1）当为何值时，？ （2）当为何值时，？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据两直线平行和垂直时，斜率与截距的关系列式即可得解. 【小问1详解】 设直线的斜率分别为， 则.当时，有，解得. 【小问2详解】 当时，，即， 所以，所以. 18. 已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【小问1详解】 由，得. 小问2详解】 由（1）知，， 由，得 ， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先证平面，根据线面垂直的定义得证线线垂直. （2）先根据四棱锥的体积求四棱锥的高，进而求得，从而建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再利用空间向量法即可求两个平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 如图所示，取的中点，连接， 因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以， 又为等边三角形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以． 【小问2详解】 设四棱锥的高为， 由题设，得，则， 由题设知，所以底面， 因为底面，所以， 故可以点为坐标原点，直线为轴、为轴、为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以， 设平面与平面的夹角为，则，所以， 即平面与平面的夹角正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $