3.2一定是直角三角形吗（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

3.2一定是直角三角形吗 题型一 判断三边能否构成直角三角形 1．以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（   ）． A．5，12，13 B．，， C．2，3，4 D．，3，4 2．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2；④1，1，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（    ） A．②④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 3．如图所示，四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ． 4．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 5．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，于点E． (1)求证：为直角三角形． (2)求的长． 题型二 在网格中判断直角三角形 1．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为（    ）．    A． B． C． D． 题型三 利用勾股定理的逆定理求解（基础计算类 1．已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（    ） A．6cm2 B．15cm2 C．24cm2 D．10cm2 2．如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 3．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15 4．如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为 ． 5．已知：如图，四边形中，，，，且，试求： (1)的度数． (2)四边形的面积（结果保留根号）． 题型一 勾股定理逆定理的实际应用 1．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮沿着北偏东的方向航行，后到达小岛，乙客轮到达小岛．若，两岛的直线距离为，则乙客轮离开港口时航行的方向是（    ） A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏东或北偏西 3．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的依据是 ． 4．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 5．某中学A、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．求出四边形空地的面积． 6．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 2．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 3．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 题型一 勾股定理逆定理的拓展问题 1．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 题型二 勾股树（数）问题 一、填空题 1．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 2．【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如 等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如 等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 满足关系的正整数a、b、c称为勾股数．通过学习我们知道勾股数有无数组，那么勾股数有规律吗？下面我们利用点图来探一类勾股数的计算公式．如图从点图的左上角构随正方形，把含有个点的正方形称为n阶正方形． (1)探寻规律： ①2阶正方形比1阶正方形多3个点：3阶正方形比2阶正方形多5个点：4阶正方形比3阶正方形多_________个点； ②阶正方形比a阶正方形多_________个点． (2)利用阶正方形与a阶正方形探寻勾股数．如果阶正方形比a阶正方形多的点数为平方数，那么就可以得到一组勾股数，比如5阶正方形比4阶正方形多9个点，9是平方数，于是能得到，即，因此得到一组勾股数为，，，请利用该方法再写出一组勾股数； (3)设阶正方形比a阶正方形多个点，用字母n表示这组勾股数，写出求解过程，并指出n是奇数还是偶数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2一定是直角三角形吗 题型一 判断三边能否构成直角三角形 1．以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（   ）． A．5，12，13 B．，， C．2，3，4 D．，3，4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理逆定理逐一计算即可． 【详解】A.，故A选项能围成直角三角形； B.，故B选项能围成直角三角形； C.，故C选项不能围成直角三角形； D.，故D选项能围成直角三角形； 故选：C． 2．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2；④1，1，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（    ） A．②④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形，因此，对各选项逐一计算即可判断． 【详解】解：①， ∴以2，3，4为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意； ②∵， ∴以3，4，5为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意； ③∵， ∴以1，，2为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意； ④∵， ∴以1，1，为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意； 故构成直角三角形的有②③④． 故选：D． 3．如图所示，四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出的形状，根据即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，，， ∴是直角三角形， ． 故答案为：． 4．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，=或． 5．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，于点E． (1)求证：为直角三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，垂直平分线的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形可得是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，设，则,根据勾股定理可得，求出x的值，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：中，， 又， 即， 是直角三角形； （2）如图，连接 是的垂直平分线， ， 设，则， ． 解得：，即， , ， ． 题型二 在网格中判断直角三角形 1．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理，勾股定理的逆定理逐项判断即刻． 【详解】A、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； B、由勾股定理可求，，，则，由勾股定理逆定理可得，故本选项不符合题意； C、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； D、在中，由勾股定理，，故本选项符合题意． 故选：． 2．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用；观察网格图形，通过勾股定理计算得，；由判定全等；利用全等三角形对应角相等得，． 【详解】解：连接、． 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 4．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接格点、，则由勾股定理及其逆定理，易得CD⊥AB，从而在Rt△ADC中，由正切函数的定义即可求得结果． 【详解】如图，连接格点、，则，，， ∵，即， ∴， 在Rt△ADC中，． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，正切函数的定义等知识，把非直角三角形中锐角三角函数问题转化为直角三角形中锐角三角函数问题是本题的关键与难点． 5．由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点D，连接，利用勾股定理计算出、和，从而根据勾股定理逆定理可判断，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，取格点D，连接，    由勾股定理可知，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，求角的正切值．利用数形结合的思想是解题关键． 题型三 利用勾股定理的逆定理求解（基础计算类 1．已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（    ） A．6cm2 B．15cm2 C．24cm2 D．10cm2 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵△ABC的三边分别是3cm，4cm，5cm， 又∵， ∴△ABC是直角三角形，且边长为3cm和4cm的边为两条直角边， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查的是直角三角形的判定和求三角形的面积．掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键． 2．如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，利用勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，得到，即得，再分和两种情况解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 当点是的中点时，如图， ∵， ∴，此时是以为腰的等腰三角形； 当时，是以为腰的等腰三角形； 综上，的长为或， 故选：． 3．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是判断每组数中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． 对每个选项，确定最长边，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方比较，若不相等则不能构成直角三角形． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长a、b、为最长边）满足则该三角形为直角三角形． A.边长为，最长边为8． 计算 ∵， ∴不能构成直角三角形． B.边长为，最长边为． 计算， ∵， ∴能构成直角三角形． C.边长为，最长边为． 计算， ∵， ∴能构成直角三角形． D.边长为，最长边为． 计算， ∵， ∴能构成直角三角形． 故选：A． 4．如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和勾股定理的逆定理、勾股定理，解题的关键是根据尺规作图判断出垂直平分线，得到相等线段，再通过边长关系验证直角三角形，进而求出的长． 先根据尺规作图特征，确定是的垂直平分线、是的垂直平分线，得、；计算的长度；再通过、、的边长关系，用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出；最后在中，用勾股定理求出． 【详解】解：由尺规作图可知，垂直平分垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）， （线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）． ∴ 在中， ， ∵，即， ∴为直角三角形，且，即． 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：． 5．已知：如图，四边形中，，，，且，试求： (1)的度数． (2)四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等边对等角． （1）连接，根据勾股定理得到，根据等边对等角得到，根据可知，进而可知； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：由（1）知和是直角三角形， ∴． 题型一 勾股定理逆定理的实际应用 1．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮沿着北偏东的方向航行，后到达小岛，乙客轮到达小岛．若，两岛的直线距离为，则乙客轮离开港口时航行的方向是（    ） A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏东或北偏西 【答案】C 【分析】根据题意可得OA=30海里，OB= 40海里，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠AOB=90°，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得， 海里，海里， OA2+ OB2=302 + 402=2500， AB2=502=2500， OA2+OB2=AB2， ∠AOB=90°， 分两种情况： 如图1， = 180°- 30° -90° =60°， 乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60°， 如图2， ∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30° =60°， 乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西60° ， 综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60或北偏西60°， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键． 3．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的依据是 ． 【答案】勾股定理的逆定理 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为，则此三角形三边的长分别为、、． ， 根据勾股定理的逆定理：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 以、、为边长的三角形是直角三角形． 故答案为：勾股定理的逆定理． 4．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北方向 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北方向 5．某中学A、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．求出四边形空地的面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，分别求出和的面积，题目可解． 【详解】解：连接，         在中， ∵，米，米， ∴米， 在中， ∵米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ 平方米． ∴四边形空地的面积为平方米． 6．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1)48米 (2)会造成噪声污染，污染的时间为10秒 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 2．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，的长为，． 3．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4)当x为时，函数的最小值是 【分析】（1）计算即可． （2）根据、、，画图计算即可 （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、，画图计算即可． （4）求函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，即可求得 函数的最小值是． 【详解】（1）根据题意得： =． 故答案为：． （2）根据题意得：、、，画图如下： 根据题意： ． （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、， 画图如下： 根据题意： =． （4）函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以点到以及的距离即为所求，即． 当x为时，函数的最小值是． 【点睛】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型一 勾股定理逆定理的拓展问题 1．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 题型二 勾股树（数）问题 一、填空题 1．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 2．【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如 等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如 等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 【答案】(1)60；61； (2)63；65； (3)或 【分析】本题考查了勾股数，数字的变化类-规律型． （1）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （2）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （3）利用表1与表2的规律分别计算验证即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系，b、c与之间的关系是：， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：60，61，； （2）解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是， b、c与之间的关系是， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：63，65，； （3）解：由题意得， 如果满足表1的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 如果满足表2的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，这组勾股数可能为或． 3．探寻“勾股数”： 满足关系的正整数a、b、c称为勾股数．通过学习我们知道勾股数有无数组，那么勾股数有规律吗？下面我们利用点图来探一类勾股数的计算公式．如图从点图的左上角构随正方形，把含有个点的正方形称为n阶正方形． (1)探寻规律： ①2阶正方形比1阶正方形多3个点：3阶正方形比2阶正方形多5个点：4阶正方形比3阶正方形多_________个点； ②阶正方形比a阶正方形多_________个点． (2)利用阶正方形与a阶正方形探寻勾股数．如果阶正方形比a阶正方形多的点数为平方数，那么就可以得到一组勾股数，比如5阶正方形比4阶正方形多9个点，9是平方数，于是能得到，即，因此得到一组勾股数为，，，请利用该方法再写出一组勾股数； (3)设阶正方形比a阶正方形多个点，用字母n表示这组勾股数，写出求解过程，并指出n是奇数还是偶数． 【答案】(1)①7；② (2)一组勾股数为，，，理由见解析 (3)这组勾股数为，n，，n为奇数 【分析】本题考查了数字规律探索，勾股数的求解，整式的混合运算，含乘方的有理数计算，根据图形总结出规律是解题关键． （1）根据图形可得出n阶正方形含有个点，根据此规律即可求出结果； （2）根据勾股数的特征即可得出结果； （3）根据题意得到，整理得到，，即可得到勾股数，根据为整数，则为偶数，则为奇数，即可得出结果． 【详解】（1）解：1阶正方形：，1个点， 2阶正方形：，4个点， 3阶正方形：，9个点， n阶正方形：，个点， 4阶正方形比3阶正方形多个点； 阶正方形比a阶正方形多个点； 故答案为：①7；②； （2）解：13阶正方形有个点， 12阶正方形有个点， 则， 是平方数， ，即， 因此得到一组勾股数为，，； （3）根据题意可知：， 整理得：， ， 这组勾股数为，n，， 为整数，则为偶数，则为奇数， 为奇数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $