第二十章 解直角三角形（复习课件）数学北京版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值、解直角三角形及其应用，通过题型分类（如理解概念、求函数值、网格计算等）和考点梳理，构建从基础概念到实际应用的知识网络，帮助学生把握知识内在逻辑。 其亮点在于采用“概念辨析-分层训练-实际建模”的复习策略，如通过易错题强化三角函数定义理解，设计从基础计算到神舟发射、古代建筑等实际问题的分层练习，培养学生的几何直观和模型意识。这种设计既帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习的教学支持。

单元复习课件 第二十章 解直角三角形 北京版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 5 题型剖析 4 6 课堂总结 针对训练 1. 了解直角三角形的边角关系，包括勾股定理、两锐角互余以及锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，体会解直角三角形中边、角关系与实际应用的整体联系。 2. 能运用勾股定理、锐角三角函数，根据直角三角形的已知元素（至少一条边和一个锐角，或两条边），求出其余未知的边和角。 3. 理解解直角三角形在实际问题中的应用逻辑，掌握将仰角、俯角、坡度、坡角等实际场景中的量转化为解直角三角形问题的方法，利用解法解决实际问题，掌握从实际场景抽象等量关系并求解的步骤，且解需符合实际。 1.熟练掌握勾股定理、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及应用，能据此由直角三角形的已知元素求未知元素。 2. 能运用解直角三角形的知识，解决涉及仰角、俯角、坡度、坡角等的实际问题，准确建立数学模型。 1. 灵活运用合适的方法（勾股定理、不同锐角三角函数）解直角三角形，根据已知条件快速选择最优解法。 2. 从实际场景中抽象出直角三角形模型，准确找到等量关系，且解需符合实际情况。 单元学习目标 画框内容为易错点 单元知识图谱 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的_______与________的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即__________________； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的_______与________的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即__________________； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的_________与________的比叫做∠A的正切，记作tan A，则 考点一 锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．(其中：___＜∠A＜____) 0° 90° 对边a 斜边c 邻边b 斜边c 对边a 邻边b 【易错点】正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 考点串讲 题型一 锐角三角函数 类型一 理解正弦/余弦/正切的概念 例1．如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题方法】求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中,，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解. C 1．[易错]在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 B 2．在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． B 题型剖析 题型一 锐角三角函数 类型二 求角的正弦值/余弦值/正切值 例2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，依据题意建立直角三角形，其中 则，， ∴ ∴故选：C． 【提示】根据题意构造直角三角形，然后利用勾股定理求得斜边与直角边之间的关系式，最后利用余弦的定义即可求解．解题的关键是理解正切、余弦在直角三角形中的表达式． 题型剖析 1．在中，，则 ． 2．在中，，若，则 ． 在中，若，，，则 ． 已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是 ． 针对训练 5．如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则 ． 【详解】解： ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 在中，． 解题关键：根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值． 针对训练 题型一 锐角三角函数 类型三 利用正弦值/余弦值/正切值求边长 例3．如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 解：在中，，，， ，， ，，， 1．如图，在中，，于点D，，，那么 ． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴， ∴ 题型剖析 2．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 针对训练 题型一 锐角三角函数 类型四 网格中求锐角三角函数值 例4．如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为 ． 解题方法：在网格中求锐角的三角函数值时，一般根据网格的特点，先找出(或构造出)包含该锐角的直角三角形，然后利用勾股定理计算出所需直角三角形的边长，最后根据定义求解. 【详解】解：连接，如图所示 ∴， ∴，∴， ∴； 故答案为． 题型剖析 1．如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接交于点P，则的正切值是 ． 【详解】解：将向下平移1格，得到，连接，设小正方形的边长为1，则：， ∴， 由图和勾股定理可知：，，， ∴； 故答案为：2． 针对训练 考点二 特殊角的三角函数值 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α       cos α       tan α         利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 1 增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而________，cos A随∠A的增大而____________. 增大 减小 考点串讲 题型二 特殊角的三角函数值 类型一 利用特殊角的三角函数值进行计算的 解题方法：有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 例1．计算： (1) ． (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型剖析 1． 2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时， ，则的值为 ． 【详解】解： = == =． 针对训练 题型二 特殊角的三角函数值 类型二 利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状 解题方法：利用题目条件中已知的三角函数值，求出其中的特殊角，待求出三角形的所有内角后，即可判断三角形的形状. 例2．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A 1．在中，，，则的形状（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 A 题型剖析 2. 在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ABC一定是等腰直角三角形 故选：D． 针对训练 题型二 特殊角的三角函数值 类型三 根据特殊角的三角函数值求角的度数 例3 在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵都是锐角， ∴， ∴， 故选：D． 题型剖析 题型二 特殊角的三角函数值 类型四 锐角三角函数的增减性 【解题方法】当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 例4（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 题型剖析 1. 解直角三角形定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系： 3）两锐角之间的关系： 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式 （h为斜边上的高）. 考点三 解直角三角形 （勾股定理） ∠A＋∠B＝90°. 考点串讲 考点三 解直角三角形 已知条件 解法步骤  两 边 斜边和一直角边(如a，c)   两直角边(如a，b)     一 边 一 角   斜边和一锐角（如c，∠A）   一直角边和一锐角（如a，∠A）   另一直角边和一锐角（如b，∠A）   考点串讲 题型三 解直角三角形 类型一 解直角三角形的相关计算 解题方法：在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 例1．如图，在中，交于点，，若，，则 ． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴．故答案是：7． 题型剖析 题型三 解直角三角形 类型二 解非直角三角形的相关计算 解题方法：在解斜三角形时，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题. 例2．如图，在中，，，，则的长为 ． 【详解】解：过作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴，即， 根据勾股定理得：， 题型剖析 1．如图，正六边形内接于，若的半径为4，则正六边形的面积为 . 【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图： 六边形是正六边形，的半径为4， ， ，且， 是等边三角形，且边长， 等边的面积为：， 正六边形的面积为：， 故答案为：． 针对训练 考点四 解直角三角形的应用 1）仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 2）坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 考点串讲 考点四 解直角三角形的应用 3）方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 考点串讲 考点四 解直角三角形的应用 解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 考点串讲 题型四 解直角三角形的应用 类型一 仰角、俯角问题 例1 如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离为．若在点处测得点的俯角为，点的仰角为，则乙建筑物的高约为 （结果精确到；参考数据：，）． 解题方法： 1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长. 2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数. 【详解】解：由题意得：，，， ∴，∴四边形是矩形，∴， 在中，，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴， 故答案为：． 题型剖析 1．年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． (1)求点离地面的高度； (2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据： ) 【详解】（1）解：在中，，，， ， 针对训练 1．年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． (2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据： ) （2）在中，，，， ， 在中，，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度 ． 针对训练 题型四 解直角三角形的应用 类型二 方位角问题 例2．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（    ）  A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 解题方法：方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，需要添加辅助线.在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解. 【详解】解：如图，由题意可知，， 在中， ，，海里， ∴海里． 海里． 故选：A． 题型剖析 1．因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB=10千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34） 【详解】（1）过B作BH⊥AC于H，由题意， ∠BHC=∠BHA=90°，∠ABH=70°，∠CBH=45°，AB=10千米， 在Rt△ABH中，∵sin∠ABH=，∴AH=9.4千米 ∵cos∠ABH=∴BH=3.4千米 在Rt△BHC中，∵∠BHC=90°，∠HBC=∠C=45° ∴CH=BH=3.4千米 ∴AC=9.4+3.4=12.8（千米） 答：AC之间的距离约为12.8千米. 针对训练 题型四 解直角三角形的应用 类型三 坡度坡比问题 解题方法：解决这类问题时，要利用已知角度构造直角三角形，在直角三角形中求解. 例3．如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为 ． 【详解】解：斜坡的坡度为， ， 设，则， 在中，， ， ，，解得：， 坡顶到水平地面的距离为． 故答案为： ． 题型剖析 1．中国古代建筑中的斜脊结构，既有利于排水，又有利于保温，是古代工匠智慧的体现．.如图，房屋的屋顶截面结构为等腰三角形，若斜脊的坡度i为，房子侧宽为12米， 则斜脊的长为 米．      解：过点作于点H，则，如图， ∵是等腰三角形，∴米， ∵斜脊的坡度i为，∴， ∴米， ∴， 故答案为： 针对训练 类型四 实物模型问题 例4．某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角，打开时桌面与同一支架的夹角（桌面），已知支架，求桌面上升的高度约为多少？（桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑）（参考数据：，，，，，）． 【详解】解：过点作于点，交于点 ∵，∴，在中，，， ∴，∴，∴， 在中，，， ∴，∴， ∴， ∴， ∴桌面上升的高度约为． 题型剖析 1．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最大高度位置秋千底部所经过的路径长为 米．（结果保留） 【详解】解：过点作于点， ∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米， 当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米， ∴． ∵，∴ ，∴， ∴秋千底部所经过的路径长． 故答案为：． 针对训练 2．如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）． 【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示： 在中，， ， 即， 解得：． 针对训练 易错点提醒：规避常见错误​ 三角函数定义混淆：误用 “邻边比对边” 计算正切，或 “斜边比对边” 计算正弦，需牢记 “对边、邻边均以锐角为参照”（如​∠A的对边是​a，邻边是​b，与​∠B无关）。​ 忽略单位统一：实际问题中若给出的长度单位不一致（如 “米” 和 “厘米”），需先统一单位再计算。​ 近似值保留不当：未按题目要求保留小数位数，或中间步骤过早取近似值导致最终结果误差过大（建议中间步骤保留原始形式，最后一步再取近似值）。​ 漏用互余关系：已知一个锐角时，忘记用​∠A+∠B=90°求另一个锐角，增加解题复杂度。 课堂总结 感谢聆听! $