精品解析：河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷

河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷 一、选择题 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． 故选：D． 3. 若将一元二次方程化成（m，n为常数）的形式，则的值是（　　） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】方程移项变形后，配方得到结果，即可求出m与n的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像的平移法则即可解答． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位所得直线解析式为：； 再向下平移5个单位为：， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数平移变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 5. 已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，，，，则，，进而可判断A、B的正误；当，，则，可判断D的正误；当，，，则，可判断C的正误． 【详解】解：由题意知，，，， ∴，， ∴A、B错误，故不符合要求； 当，， ∴， ∴D错误，故不符合要求； 当，， ∴，则， ∴C正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 取决于的值 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握对称轴公式及二次函数增减性．根据函数解析式求出对称轴，利用函数性质直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，二次函数图象对称轴为：， ， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ， 故选：A． 7. 在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（ ） A. x2=102+（x-5-1）2 B. x2＝（x﹣5）2+102 C. x2＝102+（x+1-5）2 D. x2＝（x+1）2+102 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意做出简图如下，在中应用勾股定理即可． 【详解】根据题意做出简图如下： 其中AC=x，BC=10，AB=x+1-5 中，由得， 故选C． 【点睛】本题考查了列方程解应用题，实质是考查了勾股定理的应用，做题过程中要注意做出简图是本题的关键． 8. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）． A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1， ∴AC=AC1=2，∠CAC1=60°， ∵AB=3，AC=2，∠BAC=30°， ∴∠BAC1=90°， ∴在Rt△BAC1中，BC1=． 故选B． 【点睛】此题考查旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 9. 如图，小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转及性质，找出第4次旋转后回到初始位置是解题的关键． 依题意不难发现第4次旋转后回到初始位置，而，据此可得当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合，据此即可解答． 【详解】解：∵每次绕点O逆时针旋转， ∴第4次旋转后回到初始位置， 又∵， ∴当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合， 即此时点A与点重合， ∵点， ∴点 ∴转动2025次后，点A的坐标为． 故选：A． 10. 如图，在中，，．点D在上，延长到E，使得，过点B作，交射线于点F，设，，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过已知证明和全等，和全等，再通过得出的各边关系表示出y与x的关系式即可得出结论． 【详解】解：过E作于G，如图所示： 在和中， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴y关于x的函数图象大致为开口向上的抛物线，当时，y有最小值4， 当和2时，y有最大值8， 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，动点的函数关系与图象，勾股定理等知识，利用全等三角形的判定和性质解决动点的函数问题是解题的关键． 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是_____________． 【答案】（2，﹣1） 【解析】 【详解】解：点P（﹣2，1）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣1）． 故答案为（2，﹣1）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 12. 若是方程的一个根，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：2024 13. 二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为_________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图在直角标中的上下位置系自变量的取范，可作图利用点直观解也可把个函数解析式列成不式求解．先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 所以不等式的解集为或． 故答案为：或． 14. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B=AB=8， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°， 过点A1作于点D ∴ ∴×8×4=16， 又∵， ， ∴=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 15. 如图，将一块直角三角板绕其角的顶点A旋转至，连接、，已知，当以为直角边时，的长为_______． 【答案】4或 【解析】 【分析】根据题意可知由绕其角的顶点A旋转而来，由此得到，根据已知条件先算出三角形三边的长度．由题意当以为直角边时，此时需进行分类讨论：当时与当时，通过不同方式的角度变化求得对应的线段长度即可，在此过程中可适当添作辅助线从而得到最终结果． 【详解】解：由题意知，，且，， ∴，， ①当时，此时旋转如图所示： 由图可知，此时，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ②当时，此时旋转如图所示： 过点A作，交于点F，与交点G，连接， ∵， ∴为等腰三角形，此时为的中垂线， ∴， 又∵此时为直角三角形， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了顶角为的直角三角形应用，等腰三角形的判定与性质，三角形中线的性质，相似三角形的判定，图形旋转的性质及勾股定理．做题时需进行分类讨论同时学会做对应的辅助线是解此题的关键． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算、解一元二次方程——因式分解法； （1）先将绝对值、立方根、负指数乘方分别计算，再按照计算顺序相加减； （2）先将原方程展开后移项合并整理，然后通过因式分解的方法解方程. 【详解】解：（1）原式； （2）原方程变形得：， 因式分解得： 解得：． 17. 某校为了解学生对“青年大学习”的学习情况，随机从全校抽取40名学生进行测试，并对成绩（满分50分）进行整理，部分信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩/分 频数 3 10 11 9 7 b．成绩在这一组的是（单位：分）： 20 21 22 24 27 27 28 28 29 29 29 根据以上信息，回答下列问题． （1）在这次测试中，成绩的中位数是______分，这一组数据的众数为______分． （2）这次测试中，小航的成绩恰好与平均成绩相同，都是27.5分．小航说：“我的成绩高于一半同学的成绩．”你认为小航的说法正确吗？请说明理由． （3）学校规定测试成绩在30分及以上为合格，若该校1600名学生均参加测试，请估计成绩合格的学生人数． 【答案】（1）28；29 （2）不正确，理由见解析 （3）成绩合格的学生约有640人 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）结合中位数的定义判断即可得解； （3）由样本估计总体的方法计算即可得解． 【小问1详解】 解：在这次测试中，成绩处在中间位置的两个数为28，28，故成绩的中位数是， 这一组数据中出现的次数最多，故众数为； 【小问2详解】 解：不正确，理由如下： 小航的成绩低于本次测试成绩的中位数，故说法不正确； 【小问3详解】 解：（人）， 故成绩合格的学生约有640人． 18. 如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于直线对称的，并求四边形的面积； （3）为轴上一动点，的最小值为_________． 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解， （3） 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称，坐标与图形，勾股定理，利用轴对称的性质确定线段和的最小值，熟练的运用轴对称的性质解题是关键． （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可． （2）先画出关于直线对称的，再计算四边形面积即可． （3）由轴对称的性质可得：，当，，，三点一线时，取最小值，再利用勾股定理求解最小值即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形： 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形： 根据题意可得：，， 故四边形的面积：． 小问3详解】 解：如图，连接， 根据轴对称的性质，可得， ∴当，，三点一线时，取最小值， 由勾股定理结合图形可得， ∴取最小值为，即的最小值为， 故答案为：． 19. 已知关于一元二次方程． （1）求证：无论何值，方程总有实数根． （2）若方程的两根分别为，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）列出一元二次方程根的判别式，通过配方，可得，进而即可得到结论； （2）根据一元二次方程求根公式得到或，分两种情况讨论即可得到答案． 【小问1详解】 证明： ， 无论为何值，方程总有实数根. 【小问2详解】 ， ， ， 或， 当时， ， 解得， 当时， 则， 解得， 综上所述：. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及公式法解一元二次方程，求得或是解题的关键． 20. 如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，使点B落在边上的点E处，连接交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）取中点P，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质，得到；根据等腰三角形的性质，得到，等量代换得到即可． （2）如图，过点B作，证明，后证明，得到，继而得到是中位线得证． 【小问1详解】 证明：∵矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴平分． 【小问2详解】 证明：如图，过点B作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，点P为的中点， ∴是中位线， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 21. 如图，一面利用墙，其他面用篱笆围成的矩形花圃的面积为，与墙垂直的边长为．若墙可利用的最大长度为，篱笆总长为，花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当围成的花圃的面积为时，求的长； （3）当为何值时，围成的矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当时，围成的矩形花圃的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，利用函数的性质解决问题． （1）根据题意列出函数关系式求解即可； （2）由（1）中关系式得出，求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 又，且 自变量的取值范围为； 【小问2详解】 当矩形花圃的面积为45平方米时，， 解得：或； 若，则，则，舍去． 所以当时，矩形花圃的面积为45平方米； 【小问3详解】 ， ，对称轴直线， 当时，的值最大，最大值． 即当时，围成的矩形花圃的面积最大，最大面积是． 22. 【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． （1）若二次函数是直线的开心函数，求k的值； （2）若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求m的值． 【答案】（1） （2）①；②或3 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式，新定义等，分类求解是解题的关键． （1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入得：，即可求解； ②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则舍去或3，即；当或时，同理可解． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； 【小问2详解】 ①∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； ②由①知，抛物线的表达式为：，顶点坐标为：， 当时，， 当时，同理可得：， 当，即：时，则抛物线在时，取得最小值， 即，则舍去或3，即； 当，即：时，则抛物线在顶点，取得最小值， 即，则； 当，即：时，时，函数取得最小值， 即，无解， 综上，或 23. 如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，将绕点顺时针旋转． （1）观察猜想：在图1中，当点在上，点在上时，与的数量关系是________，________； （2）探究证明：将绕点顺时针旋转至图2的位置，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展应用：若，，将由图1位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的长________． 【答案】（1）， （2）成立，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，得到，又由等边得到因此，从而得到是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得证； （2）设交于交于，连接．由等边三角形的性质可证明得到，，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （3）根据等边三角形的性质求得，，，从而根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，，因此点D在上或点E在上，即或．分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， ∵点P是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：结论仍然成立， 理由如下：如图2中，设交于交于，连接． 都是等边三角形， ， ∴，即 ， ， ∴ 四边形是平行四边形， ， ． 【小问3详解】 解：∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴点D在上或点E在上，即或． ①如图，当点在上时，过点P作于点H， ∵，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ， ∴在中，， ∴． ②如图，当点在上时， ∵，， ∴，即点E是的中点， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为或． 故答案为：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷 一、选择题 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 3. 若将一元二次方程化成（m，n为常数）的形式，则的值是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（　　） A B. C. D. 6. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 取决于的值 7. 在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（ ） A. x2=102+（x-5-1）2 B. x2＝（x﹣5）2+102 C. x2＝102+（x+1-5）2 D. x2＝（x+1）2+102 8. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）． A. B. C. 4 D. 6 9. 如图，小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，．点D在上，延长到E，使得，过点B作，交射线于点F，设，，则y关于x函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是_____________． 12. 若是方程的一个根，则__________ 13. 二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为_________． 14. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________． 15. 如图，将一块直角三角板绕其角的顶点A旋转至，连接、，已知，当以为直角边时，的长为_______． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 某校为了解学生对“青年大学习”的学习情况，随机从全校抽取40名学生进行测试，并对成绩（满分50分）进行整理，部分信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩/分 频数 3 10 11 9 7 b．成绩在这一组是（单位：分）： 20 21 22 24 27 27 28 28 29 29 29 根据以上信息，回答下列问题． （1）在这次测试中，成绩的中位数是______分，这一组数据的众数为______分． （2）这次测试中，小航的成绩恰好与平均成绩相同，都是27.5分．小航说：“我的成绩高于一半同学的成绩．”你认为小航的说法正确吗？请说明理由． （3）学校规定测试成绩在30分及以上为合格，若该校1600名学生均参加测试，请估计成绩合格的学生人数． 18. 如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于直线对称的，并求四边形的面积； （3）为轴上一动点，最小值为_________． 19. 已知关于一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根． （2）若方程的两根分别为，且，求的值． 20. 如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，使点B落在边上的点E处，连接交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）取中点P，连接，求证：． 21. 如图，一面利用墙，其他面用篱笆围成的矩形花圃的面积为，与墙垂直的边长为．若墙可利用的最大长度为，篱笆总长为，花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当围成的花圃的面积为时，求的长； （3）当为何值时，围成的矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？ 22. 【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． （1）若二次函数是直线的开心函数，求k的值； （2）若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求m的值． 23. 如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，将绕点顺时针旋转． （1）观察猜想：在图1中，当点在上，点在上时，与的数量关系是________，________； （2）探究证明：将绕点顺时针旋转至图2的位置，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展应用：若，，将由图1位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的长________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $