第1章 因式分解 学业质量评价（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦因式分解单元复习，系统梳理了因式分解的概念、方法及应用，通过题型分类和逻辑脉络构建知识网络，串联提公因式法、公式法等核心技能，强化与代数运算、几何问题的内在联系。 其亮点在于采用分层设计与素养导向策略，基础题夯实抽象能力与运算能力，如选择题辨析因式分解概念，解答题设置错题诊断（如嘉淇因式分解步骤纠错）培养批判性思维。创新融入数形结合（几何图形面积验证公式）和代数推理（“半和数”整除证明），发展几何直观与推理意识，助力学生巩固知识体系，教师可精准实施分层教学。

2025秋季学期 《学练优》·八年级数学上·XJ 第1章学业质量评价 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列由左到右的变形中，是因式分解的是(　D　) A. (3＋x)(3－x)＝9－x2 B. x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C. x2－10＝(x＋3)(x－3)－1 D. a2－8a＋16＝(a－4)2 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. 下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是 (　A　) A. －a2－4b2 B. －1＋25a2 C. －9a2 D. －a4＋1 3. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1 的是(　D　) A. a2－1 B. a2＋a C. a2＋2a＋1 D. a2－2a＋1 A D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. 若(x＋y)3－xy(x＋y)＝(x＋y)·M，则M是(　D　) A. x2＋y2 B. x2－xy＋y2 C. x2－3xy＋y2 D. x2＋xy＋y2 5. 将多项式16m2＋1加上一个单项式后，使它能够 在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是 (　B　) A. －2 B. －15m2 C. 8m D. －8m D B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 计算2100＋(－2)101的结果是(　B　) A. 2100 B. －2100 C. 2 D. －2 B 7. 下列因式分解中，正确的是(　C　) A. x2y2－z2＝x2(y＋z)(y－z) B. －x2y＋4xy－5y＝－y(x2＋4x＋5) C. (x＋2)2－9＝(x＋5)(x－1) D. 9－12a＋4a2＝－(3－2a)2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 如下图，若整数a，b 分别是长方形的两条邻边 的长，且满足a2b＋ab2＝84，则这个长方形的周长 为(　D　) A. 12 B. 21 C. 24 D. 14 第8题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. 已知甲、乙、丙均为关于x的一次多项式，且其 一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘的结果为x2 －4，乙与丙相乘的结果为x2＋15x－34，则甲与丙 相加的结果为(　A　) A. 2x＋19 B. 2x－19 C. 2x＋15 D. 2x－15 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. 在三角形ABC中，若三边长a，b，c满足a2＋ 2ab＋b2＝c2＋24，a＋b－c＝4，则三角形ABC 的周长是(　D　) A. 12 B. 16 C. 8 D. 6 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题(每小题3分，共24分) 11. 因式分解：x2－25＝ ⁠. 12. 多项式3a2b2－6a3b3－12a2b2c的公因式是 ⁠. 13. 若关于x的多项式x2＋ax－24可因式分解为(x－3) (x＋b)，则a的值为 ⁠. (x＋5)(x－5)　 3a2b2　 5　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 根据上图所示写出一个多项式的因式分解： ⁠. 第14题图 x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 计算：5.12×68.4－4.8×68.4＋9.68×68.4 ＝ ⁠. 17. 若关于x的二次三项式x2＋mx＋9是一个完全平 方式，则代数式m2－2m＋1的值为 ⁠. 18. 分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解 的结果为(x＋6)(x－1)，乙看错了b的值，分解的结 果为(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b分解因式的正确 结果为 ⁠. 15. 若n－m＝1，则2m2－4mn＋2n2的值为 ⁠. 2　 684　 25或49　 (x－3)(x＋2)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题(共66分) 19. (8分)因式分解： (1)ax2－7a； 解：原式＝a(x＋ )(x－ ).(4分) (2)(y＋2)(y＋4)＋1. 解：原式＝(y＋3)2.(8分) 解：原式＝a(x＋ )(x－ ).(4分) 解：原式＝(y＋3)2.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. (8分)利用因式分解计算： (1)8352－1652； 解：原式＝(835＋165)×(835－165)＝1000×670＝ 670000.(4分) (2)2032－203×206＋1032. 解：原式＝2032－2×203×103＋1032＝(203－103)2 ＝1002＝10000.(8分) 解：原式＝(835＋165)×(835－165)＝1000×670＝ 670000.(4分) 解：原式＝2032－2×203×103＋1032＝(203－103)2 ＝1002＝10000.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. (6分)先分解因式，再求值：(3x＋2y)2－(3x－ 6y)2，其中x＝ ，y＝ . 解：原式＝(3x＋2y＋3x－6y)(3x＋2y－3x＋6y) ＝(6x－4y)·8y＝16y(3x－2y). 当x＝ ，y＝ 时， 原式＝16× ×(3× －2× )＝0.(6分) 解：原式＝(3x＋2y＋3x－6y)(3x＋2y－3x＋6y) ＝(6x－4y)·8y＝16y(3x－2y). 当x＝ ，y＝ 时， 原式＝16× ×(3× －2× )＝0.(6分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. (6分)新考向 模块综合 已知x，y满足方程组 求(2x－y)3－(2x－y)2(x－3y)的值. 解：原式＝(2x－y)2(2x－y－x＋3y)＝(2x－y)2(x ＋2y). 因为x，y满足方程组 所以原式＝122×11＝1584.(6分) 解：原式＝(2x－y)2(2x－y－x＋3y)＝(2x－y)2(x＋2y). 因为x，y满足方程组 所以原式＝122×11＝1584.(6分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. (8分)下面是嘉淇同学把多项式－16my2＋4mx2 因式分解的具体步骤： －16my2＋4mx2 利用加法交换律变形：＝4mx2－16my2 第一步 提取公因式m：＝m(4x2－16y2) 第二步 逆用积的乘方公式：＝m[(2x)2－(4y)2] 第三步 运用平方差公式因式分解：＝m(2x＋4y)(2x－4y).第四步 (1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因 是 ；(3分) (2)请给出这个问题的正确解法. 解：正确解法如下： 原式＝4m(x2－4y2)＝4m(x＋2y)(x－2y).(8分) 公因式没有提取完　 (3分) 解：正确解法如下：原式＝4m(x2－4y2)＝4m(x＋2y)(x－2y). (8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. (9分)如下图，小刚发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R＝6.8dm，r＝1.6dm，他想知道剩余部分(阴影部分)的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程(结果保留π). 解：根据题意，得剩余部分(阴影部分)的面积为πR2 －4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r). 当R＝6.8dm，r＝1.6dm时，剩余部分(阴影部分) 的面积为π(R＋2r)(R－2r)＝π(6.8＋3.2)×(6.8－ 3.2)＝36π(dm2).(9分) 解：根据题意，得剩余部分(阴影部分)的面积为πR2 －4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r). 当R＝6.8dm，r＝1.6dm时，剩余部分 (阴影部分)的面积为π(R＋2r)(R－2r)＝ π(6.8＋3.2)×(6.8－3.2)＝36π(dm2).(9分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25. (10分)新课标 代数推理 一个三位正整数，如果 它的十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上 的数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半 和数”.例如：三位正整数234中，3＝ ×(2＋4)， 所以234是“半和数”；又如三位正整数369中，6 ＝ ×(3＋9)，所以369也是“半和数”. 26 25 (1)已知一个三位正整数是“半和数”，若它的百位 上的数字是7，个位上的数字是1，则这个数是 ；若它的百位上的数字为a，个位上的数 字为0，则它的十位上的数字为 ，这个数 为 (用含a的代数式表示，结果化为最 简).(3分) 741　 　 105a　 (3分) 26 25 解：设一个“半和数”百位上的数字为a，个位上 的数字为b(a，b均为非负整数，且a不为0)， 则这个“半和数”用含a，b的代数式表示为100a ＋10× ＋b＝105a＋6b＝3(35a＋2b). 因为a，b均为整数， 所以35a＋2b是整数. 所以3(35a＋2b)能被3除. 所以任意一个“半和数”都能被3整除.(10分) 解：设一个“半和数”百位上的数字为a，个位上 的数字为b(a，b均为非负整数，且a不为0)， 则这个“半和数”用含a，b的代数式表示为100a ＋10× ＋b＝105a＋6b＝3(35a＋2b). 因为a，b均为整数，所以35a＋2b是整数. 所以3(35a＋2b)能被3整除. 所以任意一个“半和数”都能被3整除.(10分) (2)小颖发现任意一个“半和数”都能被3整除！请 你验证这一结论. 26 25 26. (11分)新考向 数形结合 在乘法公式的学习中， 我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用 不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差 公式和完全平方公式，我们把这种方法称为“等面 积法”.类似地，通过不同的方法求同一个立体图形 的体积，我们称为“等体积法”. 根据课堂学习的经验，解决下列问题： 26 25 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方 体(如下图①)，然后利用切割的方法把剩余的立体 图形(如下图②)分成三部分(如下图③)，这三部分长 方体的体积依次为b2(a－b)，ab(a－b)，a2(a－b). 26 25 (1)请用两种不同的方法求上图①中的立体图形的体 积(用含有a，b的代数式表示)： ① ；(2分) ② ；(4分) a3－b3　 (2分) b2(a－b)＋ab(a－b)＋a2(a－b)　 (4分) 26 25 (2)根据(1)中所得，分解因式：a3－b3； 解：(2)a3－b3＝b2(a－b)＋ab(a－b)＋a2(a－b)＝ (a－b)(b2＋ab＋a2).(6分) (3)应用：利用(2)中的等式进行因式分解：x3－125； 解：(3)x3－125＝x3－53＝(x－5)(x2＋5x＋25).(9分) 解：(2)a3－b3＝b2(a－b)＋ab(a－b)＋a2(a－b) ＝(a－b)(b2＋ab＋a2).(6分) 解：(3)x3－125＝x3－53＝(x－5)(x2＋5x＋25).(9分) 26 25 (4)拓展：已知a－2b＝6，ab＝－2，则代数式a4b －8ab4的值为 .(11分) [解析]a4b－8ab4＝ab(a3－8b3)＝ab(a－2b)(a2＋ 2ab＋4b2)＝ab(a－2b)[(a－2b)2＋6ab]. 当a－2b＝6，ab＝－2时，原式＝－2×6×(36－ 12)＝－288. －288　 (11分) [解析]a4b－8ab4＝ab(a3－8b3)＝ab(a－2b)(a2＋ 2ab＋4b2)＝ab(a－2b)[(a－2b)2＋6ab]. 当a－2b＝6，ab＝－2时， 原式＝－2×6×(36－12)＝－288. 26 25 $