第1章 因式分解 本章小结与复习（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

2025秋季学期 《学练优》·八年级数学上·XJ 第1章　因式分解 本章小结与复习 目 录 CONTENTS 01 单元情境串联 02 考点整合训练 例：已知多项式：①x2＋2xy；②x2－4y2；③x2－ 4xy＋4y2. (1)多项式①和②的公因式是 ，多项式② 和③的公因式是 ⁠； (2)在多项式①x2＋2xy中添加一个单项式，使其构 成一个整式的完全平方，则这个单项式是 ⁠； x＋2y　 x－2y　 y2　 (3)另有一个多项式④ax－2ay，求出②＋④和③＋ ④的结果并分解因式. 解：②＋④：x2－4y2＋ax－2ay＝(x＋2y)(x－2y) ＋a(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y＋a). ③＋④：x2－4xy＋4y2＋ax－2ay＝(x－2y)2＋a(x －2y)＝(x－2y)(x－2y＋a). 解：②＋④：x2－4y2＋ax－2ay＝(x＋2y)(x－2y) ＋a(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y＋a). ③＋④：x2－4xy＋4y2＋ax－2ay＝(x－2y)2＋a(x －2y)＝(x－2y)(x－2y＋a). 考点一　因式分解的相关概念 1. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是 (　B　) A. m(x＋y)＝mx＋my B. x2＋16x＋64＝(x＋8)2 C. x2＋y2－36＝x2＋(y＋6)(y－6) D. ay＋by＋c＝y(a＋b)＋c B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2. 把多项式8a3b2＋12ab3c因式分解时，应提取的 公因式是(　C　) A. 4ab B. 4ab2c C. 4ab2 D. 8ab2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 考点二　多项式的因式分解 3. (2024·株洲期末)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1) 提取公因式m－1后，余下的部分是(　D　) A. m＋1 B. 2m C. 2 D. m＋2 4. 若m，n互为相反数，则化简m(2m2－n)－n(n －2m2)的结果为(　D　) A. 2m B. －1 C. －m－n D. 0 D D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5. 因式分解： (1)(2024·扬州中考)2x2－4x＋2＝ ⁠； (2)(2024·北京中考)x3－25x＝ ⁠； (3)－ y2＋y－1＝ 　－ (y－2)2　. 6. 新考向 条件开放题一个多项式，把它因式分解后 有一个因式为x－2，请你写出一个符合条件的多项 式： ⁠. 2(x－1)2　 x(x＋5)(x－5)　 － (y－2)2　 x2－4(答案不唯一)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7. 添项法 请看下面的问题：把x4＋4分解因式. 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 该式只有两项，而且属于平方和(x2)2＋22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2).请你依照上述方法，将x4＋4y4因式分解. 解：原式＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2＝(x2＋2y2)2－ 4x2y2＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy). 解：原式＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2＝(x2＋2y2)2－ 4x2y2＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 考点三　利用因式分解求值 8. 已知ab＝2，a－3b＝－5，则代数式a2b－3ab2 ＋ab的值为(　B　) A. －6 B. －8 C. －10 D. －12 9. 若2m＋n＝25，m－2n＝2，则(m＋3n)2－(3m －n)2的值为(　B　) A. 200 B. －200 C. 100 D. －100 B B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10. (1)已知a＝2b－5，则代数式a2－4ab＋4b2－5的值 是 ⁠； (2)已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为 ⁠. 解析：方法一：a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)(a－b)＋ 2b＋9. 因为a＋b＝1，所以原式＝a－b＋2b＋9＝a＋b ＋9＝10. 20　 10　 解析：方法一：a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)(a－b)＋2b＋9. 因为a＋b＝1，所以原式＝a－b＋2b＋9＝a＋b＋9＝10. 方法二：a2－b2＋2b＋9＝a2－(b2－2b＋1)＋10＝ a2－ (b－1)2＋10＝(a－b＋1)(a＋b－1)＋10. 因为a＋b＝1，所以原式＝10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11. 定义：对于任意有理数a，b，都满足a⊗b＝(a－b)2＋4ab.若x2－18x＋y2＋20y＋181＝0，求x⊗y的值. 解：因为x2－18x＋y2＋20y＋181＝0， 所以x2－18x＋81＋y2＋20y＋100＝0. 即(x－9)2＋(y＋10)2＝0. 所以x－9＝0，y＋10＝0. 所以x＝9，y＝－10. 则x⊗y＝(x－y)2＋4xy＝(x＋y)2＝[9＋(－10)]2＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 考点四　因式分解的应用 12. 下列等式正确的是(　C　) A. 2482＋248×52＋522＝3002 B. 2482－248×48－482＝2002 C. 2482＋2×248×52＋522＝3002 D. 2482－2×248×48－482＝2002 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13. 如下图，大小不一的两个等腰直角三角形用两种方式摆放，其中AB＝15，CD＝4.设两个三角形的直角边长分别为x和y(x＞y＞0).(1)x2－y2＝ ⁠； (2)[拓展设问]图中阴影部分的面积为 ⁠. 60　 30　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14. 新课标代数推理数257－512能被120整除吗？请 说明理由. 解：数257－512能被120整除.理由如下： 因为257－512＝(52)7－512＝514－512＝512(52－1)＝ 511×5×24＝511×120， 所以数257－512能被120整除. 解：数257－512能被120整除.理由如下： 因为257－512＝(52)7－512＝514－512＝512(52－1)＝ 511×5×24＝511×120， 所以数257－512能被120整除. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15. 新考向 形题数解若一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＝2a＋2b＋2c－3，试求该三角形三边的长. 解：依题意得a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋3＝0， 即(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)＋(c2－2c＋1)＝0. 所以(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＝0， 所以a－1＝0，b－1＝0，c－1＝0. 所以a＝b＝c＝1. 解：依题意得a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋3＝0， 即(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)＋(c2－2c＋1)＝0. 所以(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＝0， 所以a－1＝0，b－1＝0，c－1＝0. 所以a＝b＝c＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 $