第1章 专题1 因式分解中的代数推理（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦因式分解中的代数推理，涵盖提公因式、平方差公式、完全平方公式等方法，通过基础因式分解（如整式A的分解）、综合应用（如整除问题）、代数证明及规律探究，构建由具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动推理能力培养，如用平方差公式解决2³²-1的整除问题（数学眼光），通过代数变形证明b²-12ac非负（数学思维），从验证到拓展引导表达规律（数学语言）。采用实例分层递进教学，学生能提升抽象与推理能力，教师可系统训练学生代数推理能力。

2025秋季学期 《学练优》·八年级数学上·XJ 第1章　因式分解 专题1　因式分解中的代数推理 1. (2024·娄底娄星区月考)已知整式A＝4x2＋4x－24. (1)将整式A因式分解； 解：(1)A＝4(x2＋x－6)＝4(x＋3)(x－2). (2)试说明：若x取整数，则A能被4整除. 解：(2)由(1)可知，A＝4(x＋3)(x－2)， 因为x取整数， 所以x＋3和x－2均为整数. 所以A能被4整除. 解：(1)A＝4(x2＋x－6)＝4(x＋3)(x－2). 解：(2)由(1)可知，A＝4(x＋3)(x－2)， 因为x取整数， 所以x＋3和x－2均为整数. 所以A能被4整除. 2 3 4 1 2. 已知232－1可以被10到20之间的两个整数整除，求这两个整数. 解：因为原式＝(216＋1)(216－1)＝(216＋1)(28＋1)(28 －1)＝(216＋1)(28＋1)(24＋1)(24－1)＝(216＋1)×(28 ＋1)×17×15， 所以这两个整数为17和15. 解：因为原式＝(216＋1)(216－1)＝(216＋1)(28＋1)(28－1) ＝(216＋1)(28＋1)(24＋1)(24－1)＝(216＋1)×(28＋1) ×17×15， 所以这两个整数为17和15. 2 3 4 1 3. (2024·福建中考节选)已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝ ，mn＝ .试说明：b2－12ac为非负数. 解：因为3m＋n＝ ，mn＝ ， 所以b＝a(3m＋n)，c＝amn， 则b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn＝a2(9m2＋6mn ＋n2)－12a2mn＝a2(9m2－6mn＋n2)＝a2(3m－n)2. 因为a，m，n是实数， 所以a2(3m－n)2≥0. 所以b2－12ac为非负数. 2 3 4 1 4. (2024·郴州期末)[发现]两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数. (1)[验证](3＋1)2－(3－1)2＝ ⁠； 12　 (2)[证明]设两个正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确； 解：(2)因为(m＋n)2－(m－n)2＝(m＋n＋m－ n)(m＋n－m＋n)＝2m×2n＝4mn， 且m，n均为正整数， 所以(m＋n)2－(m－n)2能被4整除， 故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一 定是4的倍数的结论正确. 解：(2)因为(m＋n)2－(m－n)2＝(m＋n＋m－n) (m＋n－m＋n)＝2m×2n＝4mn， 且m，n均为正整数， 所以(m＋n)2－(m－n)2能被4整除， 故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一 定是4的倍数的结论正确. 2 3 4 1 (3)[拓展]请说明当两个正整数m，n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差. 解：(3)由(2)可知，4mn＝(m＋n)2－(m－n)2， 所以mn＝()2－()2. 因为正整数m，n同为偶数或同为奇数. 所以m＋n，m－n同为偶数. 所以 ， 都是整数. 所以mn可以表示为两个整数的平方差. 解：(3)由(2)可知，4mn＝(m＋n)2－(m－n)2， 所以mn＝()2－()2. 因为正整数m，n同为偶数或同为奇数. 所以m＋n，m－n同为偶数. 所以 ， 都是整数. 所以mn可以表示为两个整数的平方差. 2 3 4 1 $