专题02 全等三角形6考点（期中真题汇编，山西专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题02 全等三角形 6大高频考点概览 考点01 全等三角形的概念与性质 考点02 全等三角形的判定 考点03 垂直平分线与角平分线性质 考点04 全等三角形中的结论问题 考点05 全等综合——添加辅助线 考点06 尺规作图 地 城 考点01 全等三角形的概念与性质 1．(24-25八上·山西晋城陵川县多校联考·期中)如图，，与交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，再根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选： B． 2．(24-25八上·山西忻州第七中学校·期中)如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：B． 3．(24-25八上·山西阳泉矿区多校·期中)如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识；由三角形内角和可求得的度数，再由全等三角形的性质即可得． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴； 故选：B． 4．(24-25八上·山西大同平城区多校联考·期中)如图，．若，则 ．    【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键；根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：12． 5．(24-25八上·山西吕梁离石区多校·期中)如图，，与相交于点，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由题意易得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为3． 地 城 考点02 全等三角形的判定 1．(24-25八上·山西晋城部分学校·期中)在小区的花园修建过程中，工人师傅要制作三角形的装饰架来放置花盆．已知装饰架的形状是（如图所示），工人师傅按照的形状和尺寸制作了一个一模一样的，然后将它们分别安装在花园的不同位置．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，根据题意，结合已知图形得到，从而由全等三角形性质确定，在中，由三角形内角和定理得到即可得到答案，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 工人师傅按照的形状和尺寸制作了一个一模一样的， ， ， 在中，，，则由三角形内角和定理可得， 的度数为， 故选：B． 2．(24-25八上·山西长治武乡县多校·期中)如图，在中，点在边上，与边交于点，，，添加下列条件能判断的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．由全等三角形大的判定方法，即可判断． 【详解】解：A．和不是两三角形的边，添加不能判定，故A不符合题意； B．不是的角，和不是对应角，添加不能判定，故B不符合题意； C．和分别是和的对角，不能判定，故C不符合题意； D．由得到，由判定，故D符合题意． 故选：D． 3．(24-25八上·山西长治武乡县多校·期中)如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部到墙角的距离为．若梯子底部沿水平方向向右滑动至点，梯子顶部落在竖直墙体的处，此时梯子与水平地面的夹角为，点到墙角的距离为，则梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为， 故选：A． 4．(24-25八上·山西大同平城区多校联考·期中)如图，把等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，结合全等三角形的性质可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， 由题意可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第三象限， ∴． 故选：B． 5．(24-25八上·山西长治武乡县多校·期中)如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为7，则的长为（    ） A．4 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识．由三角形面积求出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，的面积， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：B． 6．(24-25八上·山西大同平城区多校联考·期中)下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（    ） A．斜边和一条直角边分别相等 B．一个锐角和斜边分别相等 C．两条直角边分别相等 D．两个锐角分别相等 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、利用，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意； B、利用，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意； C、利用，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意； D、利用，不能得到两个直角三角形全等，符合题意； 故选D． 7．(24-25八上·山西晋城陵川县多校联考·期中)根据下列已知条件，不能作出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等， ∴A选项符合题意，B选项不符合题意； ∵斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等， ∴C选项不符合题意; ∵三组对应边分别相等的两个三角形全等， ∴D选项不符合题意； 故选：A ． 8．(24-25八上·山西阳泉多校联考·期中)如图，在中，，，为边上一点，连接，于点，交的延长线于点．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据已知证明，可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B． 9．(24-25八上·山西阳泉矿区多校·期中)某校“综合与实践”小组的同学测量水池宽度的方案如下：如图，先在的垂线上取两点，，使，再过点画出的垂线．当点，，在同一直线上时，可证明，从而得到，则测得的长就是，两点间的距离．其中判定的依据是（   ） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的应用．结合图形根据三角形全等的判定方法解答． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ∴， 故选：B． 10．(24-25八上·山西阳泉多校联考·期中)0．如图，在中，点在边上，，，添加下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，不能判断，故不符合要求； B中，不能判断，故不符合要求； C中，不能判断，故不符合要求； D中，，，能判断，故符合要求； 故选：D． 11．(24-25八上·山西大同第二中学校·期中)小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇（与堤岸垂直），他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离（的长度），于是制定了如下方案：①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达点；③他到达点后向左转度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处．则只需要测出线段的长度，便知的长度。理由是依据 可以证明与全等，从而由全等三角形对应边相等得出． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形． 根据全等三角形的判定和性质即可求解； 【详解】解：由题意得：，， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 12．(24-25八上·山西长治武乡县多校·期中)某中学几名同学想利用所学知识测量某段汾河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点，在该岸边寻找点，使垂直于河岸，因河边不安全，在该岸同侧平地上取点，使三点在同一直线上，且，，测得，在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是该段汾河的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由． 【答案】可行，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 先求出，再证明，进而推出，即可证明． 【详解】解：可行．理由：，， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ，， ， 测得的长就是该段汾河的宽度， 这几名同学的测量方案可行． 13．(24-25八上·山西长治武乡县多校·期中)如图，在和中，，，，与交于点．已知，求的度数． 【答案】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识．根据证明，得，推出，则． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 14．(24-25八上·山西大同平城区多校联考·期中)下面为某班级在完成项目式学习“测量旗杆的高度”之后撰写的项目活动报告，根据报告内容完成相应任务． 项目主题 测量旗杆的高度 驱动问题 能利用哪些数学原理来测量旗杆的高度 测量方案 测量示意图    测量方法 第一步，如图1，测量员从旗杆的底部沿水平直线移动到点D，在点D处用测角仪测出到旗杆顶端A的仰角为（即），同时用皮尺量出的距离和测角仪的高度 第二步，在地面上找一点F，以F为顶点画，在边上量取，得到点G；利用三角板过点G作的垂线，与交于点H，得到 第三步，测量的长度，即可得到旗杆的高度 说明：点A，B，C，D，E在同一竖直平面内 测量数据 ，， 结果 …… 成果展示 …… 评价反思 …… 任务： (1)该项目中，测量旗杆高度主要运用的数学原理是________． A．三角形内角和定理    B．线段垂直平分线性质    C．全等三角形的判定与性质 (2)求旗杆的高度． (3)对本次项目式学习的“评价反思”，写出一条意见或建议． 【答案】(1) (2)旗杆的高度为 (3)答案不唯一，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解题意，熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）根据活动报告即可得出结论； （2）根据证明即可得解； （3）答案不唯一，合理即可， 【详解】（1）解：由题意可知，测量旗杆高度主要运用的数学原理是全等三角形的判定与性质， 故答案为：； （2）解：由题意可知：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：旗杆的高度为； （3）解：多次测量取，的平均值，答案不唯一，合理即可． 15．(24-25八上·山西大同平城区多校联考·期中)阅读下列材料，并完成相应任务． 实验探究：三角形中边与角之间的关系 问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间有怎样的大小关系呢？ 问题具化：如图1，在中，，则与有怎样的大小关系？ 思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边，使条件和问题转化或聚焦，并构造全等三角形解决问题． 问题解决：如图2，在长边上截取，作的平分线，交于点，连接．求证：． 证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴．（依据1：________） ∴． ∵，（依据2：________） ∴． ∴． 得出结论：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，其中大边________． 类比探究：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等，其中大角所对的边较大． 已知：如图3，在中，．求证：． 证明：………… 任务： (1)“问题解决”中的依据1是指：________；依据2是指：________． (2)将材料中“得出结论”补充完整：________． (3)完成“类比探究”部分中的证明过程． 【答案】(1)（或两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等）；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)所对的角较大 (3)见解析 【分析】本题考查三角形的性质，全等三角形，三角形的外角等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的外角，进行解答，即可． （1）根据全等三角形的判定，三角形外角的定义，进行解答，即可； （2）根据（1）的证明过程，得到结论，进行解答，即可； （3）在的内部作，使，交于点D，根据等角对等边，则，根据三角形三边的关系，进行解答，即可． 【详解】（1）解：证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴．（依据1：） ∴． ∵，（依据2：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴． ∴． 故答案为：（或两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等）；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）解：由（1）得，， ∵且对应三角形的边为，对应三角形的边为， ∴得出结论：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，其中大边所对的角较大， 故答案为：所对的角较大． （3）解：证明如下： 在的内部作，使，交于点 ∴， 在中，有， ∴， ． 16．(24-25八上·山西晋城陵川县多校联考·期中)如图1，是等腰直角三角形，，，．点是边上任意一点，连接并延长，点是射线上的一个动点（点不与点重合），连接，作等腰直角三角形，使得，，，．连接交射线于点． (1)如图1，求证：． (2)①若，则的度数为______． ②判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，若，在点的运动过程中，当所在直线与的边所在直线垂直时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 (3)的度数为或或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，用即可进行证明； （2）①根据全等三角形的性质得，由，得 ，即可求解； ②根据，即可得出结论； （3）如图3，当时，当时，点与点重合，当时，，根据平行线的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：①， ， ，， ， ； ②， 理由如下： ，， ， ； （3）解：如图3，当时， ， ， ，， ， ， ， ； 如图4， 当时，点与点重合， ； 如图5， 当时，， ， ， ， ， 综上所述，当所在直线与的边所在直线垂直时，的度数为或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关内容，正确进行分类讨论是解题的关键． 17．(24-25八上·山西大同平城区多校联考·期中)7．已知等腰直角三角形，其中，．在上方作射线交于点D，使，E为射线上的一个动点，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，过点C作，且，连接与射线交于点G．求证：． (3)在图2的基础上，连接．点E在射线上运动的过程中，当所在直线与的边所在直线垂直时，请直接写出的度数． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据垂直的定义得到，再根据30度的直角三角形即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论； （3）分情况讨论，当时；当时，点D与点E重合；当时；三种情况分别计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在直角三角形中，． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当时，如图， 又∵， ∴， ∴， ∵由（1）可知， ∴， 又∵，且， ∴， ∴； ②当时，如图，此时两点重合， ； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴综上，的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形基本性质，全等三角形证明及及性质，三角形内角和定理，平行线的证明及性质等，是三角形的综合题，能够进行分类讨论是解题关键． 18．(24-25八上·山西朔州怀仁·期中)如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P（点D，P，B在一直线上），测得与地面的夹角，与地面的夹角，点P到楼底的距离为，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离为，请你计算楼的高． 【答案】楼高为 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定方法得出，进而得出的长． 【详解】解：由题可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．           ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴．               ∵， ∴． ∴． 答：楼高为． 19．(24-25八上·山西侯马三校·期中)如图，有垂直于地面的两个木箱，高度分别为，两个木箱之间恰好可以放进一个等腰直角三角板（），点B，C，E在水平地面上，点A和点D分别与木箱的顶端重合，两个木箱之间的距离等于多少? 【答案】BC＝15 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ∴，， ． 20．(24-25八上·山西阳泉多校联考·期中)如图，在中，平分，在射线上取一点，使．已知，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理得出，由此可知，再由求值即可． 【详解】平分， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 又， ． 21．(24-25八上·山西阳泉多校联考·期中)如图，在中，为边上一点，延长至点，使，，，与交于点，连接交边于点．求证：是的中点． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证明全等三角形是解题的关键．先证明．推出，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：，， ，． ， ． 在和中， ． ． 在和中， ． ， 即是的中点． 22．(24-25八上·山西吕梁离石区多校·期中)综合与实践 【问题情境】 如图1，这是一个圆形喷水池，水池的中心处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，无法直接测量，该如何准确测量呢？（水池边缘厚度忽略不计） 【方案设计】方案一：如图2，先在水池边上取A，两点，使得A，，三点共线，再在水池外取一点，测得，的长，在射线，上分别取点，，使得，，最后测得的长，便可求出的长． 方案二：如图3，先在水池边上取A，两点，使得A，，三点共线，过点作的垂线，在上取，两点，使．接着过点作的垂线，交的延长线于点，最后测得的长，便可求出的长． 【问题解决】 (1)理论上，方案一是否可行？请说明理由． (2)理论上，方案二是否可行？请说明理由． (3)小明同学提出，在方案二中，并不一定需要，，只需要即可，小明的想法是否可行？请说明理由． 【答案】(1)可行，理由见详解 (2)可行，理由见详解 (3)小明的想法可行，理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证明即可得出； （2）根据证明即可得出； （3）根据平行线的性质可得，然后根据证明即可得出． 【详解】（1）解：方案1可行． 理由如下： 在和中， ， ∴， ， 即量出的距离就是的长； （2）解：方案2可行． 理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ， 即量出的距离就是的长； （3）解：小明的想法可行． 理由如下： ， ， 在和中， ， ∴， ， 即量出的距离就是的长． 地 城 考点03 垂直平分线与角平分线性质 1．(24-25八上·山西阳泉多校联考·期中)如图，在中，的垂直平分线分别交边，于点，，连接．若的周长为，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据垂直平分可得，，结合的周长为即可求解． 【详解】解：垂直平分，， ，， 的周长为， ， ， ， 的周长为， 故选：A． 2．(24-25八上·山西大同平城区多校联考·期中)如图，的周长为20，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接．已知，则的周长为（    ） A．18 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】∵是的垂直平分线， ， 的周长为，， 的周长 故选：B． 3．(24-25八上·山西阳泉矿区多校·期中)如图，在中，是的角平分线，，分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图：    ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即当的值最小时，的度数为． 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置． 4．(24-25八上·山西阳泉多校联考·期中)如图，平分，于点，点在上．若的面积为6，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质是关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，，，， ，， ， ， 故选：B． 5．(24-25八上·山西阳泉矿区多校·期中)如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而可排除选项． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴，故A选项正确； ∴， ∴，故B选项正确； ∵， ∴， ∴，故C选项正确； 而D选项当时，才一定成立，所以D选项是不一定成立的； 故选D． 6．(24-25八上·山西吕梁离石区多校·期中)如图，平分，，是上的动点，若，则的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键；过点P作于点E，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：过点P作于点E，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∴； 故选A． 7．(24-25八上·山西大同平城区多校联考·期中)如图，在中，，平分，交于点D．若，，则的面积为 ．    【答案】8 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形的面积，熟知角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质得出的边上的高，再结合的长即可解决问题． 【详解】过点作边的垂线，垂足为，    ∵平分，且 又 ∵， 故答案为： 8 ． 8．(24-25八上·山西忻州五台县第二中学校·期中)如图，在中，，，的平分线交于点D，若，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质．过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过点D作于点E， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．(24-25八上·山西朔州保德县多校·期中)把两个同样大小的含角的直角三角板和三角板按如图所示放置，是与的交点，通过读刻度尺的数据，得的长为，则点到边的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先证出平分，再根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ∴，即平分， 则由角平分线的性质定理得：点到边的距离等于的长，即为， 故答案为：． 10．(24-25八上·山西侯马三校·期中)如图，于E，于F，若； (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）由题所给条件可得，即得，则． （2）由（1）问所得条件证得，得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 11．(24-25八上·山西大同天镇县·期中)如图，中、的垂直平分线分别交于、，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用． 由、的垂直平分线分别交于点、，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，即可得，，又由，易求得，继而求得的度数． 【详解】解：、的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ． 12．(24-25八上·山西吕梁离石区多校·期中)如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若的面积为，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再由“”证，得，然后再结合即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的角平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， ∵， 是的垂直平分线； （2）解：结合图形，得， ， ，， ， 解得：， 即的长为6． 地 城 考点04 全等三角形中的结论问题 1．(24-25八上·山西大同平城区多校联考·期中)如图，在四边形中，与交于点O，其中，．下列结论：①；②垂直平分；③平分；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定．①由证明；②根据垂直平分线性质即可判断；③根据垂直平分线性质即可判断；④根据三角形面积公式得到四边形的面积四边形的面积即可判断． 【详解】在与中， ， ∴，故①正确； ，， 垂直平分，故②正确； ∵不一定等于，不一定等于， ∴不一定垂直平分 ∴不一定平分，故③错误； ∴四边形的面积，故④正确； 综上所述，①②④正确，共3个正确． 故选：C． 2．(24-25八上·山西吕梁离石区多校·期中)如图，点A，，，在同一直线上，于点，于点，连接，交于点，且为的中点．若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转全等三角形解决问题．分别证明，，可得结论． 【详解】解：，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ∴，故①正确， ， ，， ，故②正确， ， 在和中， ， ∴， ，，故③正确，④错误； 综上所述：正确的个数有3个； 故选：C． 地 城 考点05 全等综合——添加辅助线 1．(24-25八上·山西长治武乡县多校·期中)如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点，且，于点．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．过点Q作交的延长线于点N，先证明，得，再证明，得，然后证明，据此即可得出结论． 【详解】解：如图，过点Q作交的延长线于点N， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 2．(24-25八上·山西晋城部分学校·期中)如图，在中，，分别是，上的点，，，且，，交于点．若，则的度数是 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了全等三角形．添加辅助线，熟练掌握全等三角形性质，平行线性质，三角形外角性质，是解题的关键， 延长交于点，交于点．根据全等三角形性质，得，，得，得．根据平行线性质得， 得．根据三角形外角性质得 ． 【详解】提示：如图，延长交于点，交于点． ， ，， ， ． ， ， ， ， ． ， ， 故答案为． 3．(24-25八上·山西大同第二中学校·期中)已知点是等边三角形的边上的点，，连接，过点作，与的平分线交于点，过点作，与的延长线交于点．则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质．本题中首先过点作交于点，根据等边三角形的性质可证、、，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可得：． 【详解】解：如下图所示，过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 平分， ， ， 是的外角， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为： ． 4．(24-25八上·山西长治武乡县多校·期中)综合与探究 发现问题： (1)如图1，在与中，，，，，三点在同一直线上．若，，则______． 提出问题： (2)如图2，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连结，求的面积． 灵活应用： (3)如图3，在中，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连结，过点作于点，延长交于点．求证：是的中点． 【答案】(1)6 (2)2 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）过点D作交延长线于点E，证明即可求解； （3）先证得，，得出，再证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：6． （2）解：过点D作交延长线于点E， 由题意得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：过点E作交延长线于点M，过点G作交于点N， ∵， ∴，， 由旋转可得，，， ，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是的中点． 5．(24-25八上·山西朔州怀仁·期中)综合与实践 【问题情境】 三角尺是我们生活中常用的工具，一副三角尺由如图1所示两块三角尺构成，内角分别为，，和，，．八年级数学兴趣小组开展了关于三角尺的项目化学习活动．下面是他们的探究过程，请你仔细阅读，共同解决相关问题! 【初步探究】 （1）将两个三角尺如图2（左图）重叠摆放，点D为含角的三角尺斜边的中点，小组同学将其绘制成如图2（右图）所示的图形．若含角的三角尺的直角边长为，那么两个三角尺重叠部分的面积等于 ； 【深入探究】 （2）该小组同学继续探究，将两个三角尺如图3（左图）重叠摆放，若点D仍为含角的三角尺斜边的中点，其直角边的长还等于，图3（右图）是此时的示意图，请计算两个三角尺重叠部分的面积； 【拓展延伸】 （3）如图4，是等腰直角三角形，D是斜边的中点．是直角三角形，，边恰好经过点A，连接．若，请直接写出线段之间的数量关系： ． 【答案】（1）16；（2）；（3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，理解等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用等腰直角三角形的性质可得，，点三点共线，可得，根据三角形的面积计算公式即可求解； （2）如图所示，连接，可证，得到，由重叠部分的面积为，即可求解； （3）如图所示，连接，设交于点，交于点，可得，，由（2）的证明可得，，则有，所以有即，证明，得到，由，即可求解． 【详解】解：（1）点D为含角的三角尺斜边的中点，含角的三角尺的直角边长为， ∴， ∴，， ∵，点三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分， 故答案为：； （2）如图所示，连接， ∵点D仍为含角的三角尺斜边的中点，直角边的长还等于， ∴，， ∴， 由上述证明可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积为， ∴， ∴； （3）如图所示，连接，设交于点，交于点， ∵是等腰直角三角形，D是斜边的中点 ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）的证明可得，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．(23-24八上·山西长治部分学校·期中)如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案； （2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）延长至，使，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键． 7．(24-25八上·山西大同天镇县·期中)阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【答案】(1) (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证明和全等得，由三角形三边之间关系得，进而得，再根据得，则，由此得中线的取值范围； （2）延长交的延长线于，证明△和△全等得，，则，再证明为线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得的长； （3）延长到，使，连接，则，证明和全等得，，则，从而得，根据得，由此可证明和全等得，，由此得和的数量关系；然后根据得，则，由此得和的位置关系． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， 即， ， ， ， ， 中线的取值范围是：， 故答案为：． （2）解：延长交的延长线于，如图2所示： 根据题意得：，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， 为线段的垂直平分线， ； （3）解：，，理由如下： 延长到，使，连接，如图3所示： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系及等腰三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质并作出合理的辅助线是解决问题的关键． 8．(24-25八上·山西大同天镇县·期中)如图，在中，点O是平分线的交点，过O作于D点，且，求的面积． 【答案】30 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．于于，连接，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式和进行计算即可． 【详解】解：作于于，连接，如图， 点是角平分线的交点， 即， 地 城 考点06 尺规作图 1．(24-25八上·山西大同平城区多校联考·期中)学习了等腰三角形“三线合一”性质之后，爱动脑的小赵同学思考了一个问题：如果三角形一个角的平分线与其对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形吗？于是，他进行了下面的研究．请根据小赵同学的研究思路和研究过程，完成作图并填空． (1)请用直尺和圆规作边上的高．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)已知，边上的高平分，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 解：是等腰三角形，理由如下： 是的平分线，________． 是边上的高，． 又________． ． ________． 是等腰三角形．（依据是________） 【答案】(1)见详解 (2)，，（或），两边相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题主要考查了作垂线，全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的判定等知识． （1）根据过直线外一点A作已知直线的垂线即可． （2）利用证明，由全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：边上的高如下图所示： （2）解：是等腰三角形，理由如下： 是的平分线， ． 是边上的高， ． 又． ． 或． 是等腰三角形．（依据是两边相等的三角形是等腰三角形） 2．(24-25八上·山西朔州怀仁·期中)数学实验能增加学习数学的兴趣，也是提高动手能力和发展创新意识的手段之一．八年级1班同学在运用数学实验研究角平分线时提出了如下问题，请你解答． (1)“行知”小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的共有______ A．1个        B．2个        C．3个        D．4个 (2)如图1，“善思”小组尝试制作可以用来平分角的仪器，其中，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明理由． (3)如图2，“智慧”小组尝试制作可以用来三等分角的仪器，仪器是一个直角角尺，图中的点A，B，C在一条直线上，且． 小组同学给出仪器三等分的步骤： 第一步，将仪器如图3放置，使落到的边所在的直线上，画出此时所在直线； 第二步，将仪器如图4放置，使所在直线过的顶点O，且点A，C分别落在直线，射线上； 第三步，在图4中分别作射线，射线，得到图5． 下面是小组同学展示的部分推理过程： 如图5，过点A作，垂足为D，连接．由仪器特征和操作过程可知，且．∴（▲）． …… ①“▲”处的推理依据是 ； ②补全推理过程． 【答案】(1)D (2)见解析 (3)①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；②见解析 【分析】（1）根据作图痕迹，逐一进行判断即可； （2）根据，，结合即可得到即可得到证明； （3）①根据角平分线的判定方法解答即可； ②根据证明得，进而可证线和射线将三等分． 【详解】（1）解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． （2）理由如下：在和中，， ∴   ∴． ∴沿画一条射线，则就是的平分线． （3）①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； ②∵点A，B，C在一条直线上，， ∴， ∴． ∵所在直线过的顶点O， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵点C在上， ∴． ∴． ∴射线和射线将三等分． 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线作图，平行线作图，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 3．(24-25八上·山西阳泉多校联考·期中)下面为某班级在完成项目式学习“测量水池的宽度”之后撰写的项目报告，根据报告内容完成相应任务． 项目主题 测量水池的宽度 驱动问题 能利用哪些数学原理来测量水池的宽度 测量规划 1．现状：水池中间不易到达，无法直接测量． 2．工具：皮尺、测角仪等． 3．原理：三角形全等． 4．分工：工具准备组、测量组、记录组、安全保障组 测量方案 测量示意图 测量方法 测量组在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使点与点，在一条直线上，测得的长度即为水池的宽度 评价反思 … 任务： (1)请你用直尺和圆规补全测量示意图．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)请说明他们这样测量合理的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，三角形全等的判定与性质、平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）作出的垂直平分线得，作，即，连接并延长交于E； （2）根据证明即可 【详解】（1）解：补全测量示意图如解图； （2）解：， ． 为的中点， ． 在和中， ． ． 测得的长度即为水池的宽度． 4．(24-25八上·山西大同天镇县·期中)尺规作图．如图，市政府要在S区修建一个旅游打卡地． 按照设计要求，该旅游打卡地到两个社区A，B距离必须相等，到两条市内公路m和n的距离也必须相等．则该旅游打卡地应修建在什么位置？ 在图上标出它的位置．（保留作图痕迹） 【答案】该旅游打卡地应修建在直线m和直线n所夹锐角的角平分线与线段的垂直平分线的交点处，作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作直线m和直线n所夹锐角的的角平分线，作的垂直平分线，二者的交点即为所求． 【详解】解：该旅游打卡地应修建在直线m和直线n所夹锐角的角平分线与线段的垂直平分线的交点处，点C即为所求． 5．(23-24八上·山西孝义·期中)如图，已知中，，，，， (1)作的平分线，交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)设的面积为，的面积为，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握尺规作角平分线、角平分线的性质定理是解题的关键； （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，得到弧与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，连接点和这个交点即可； （2）根据角平分线的性质定理，得出中，边上的高，再利用三角形的面积公式计算求值即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求， （2）解：∵平分，， ∴中，边上的高， ∵，， ∴，， ∴． 6．(24-25八上·山西晋城陵川县多校联考·期中)如图，已知． (1)尺规作图：以点为圆心，的长为半径画圆弧，再以点为圆心，的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接，（标明字母，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了基本作图、全等三角形的判定和性质． （1）根据线段的作法作图即可； （2）证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）． 理由如下：由作图可知，． 在和中， ． ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02全等三角形 ☆6大高频烤点概览 考点01全等三角形的概念与性质 考点02全等三角形的判定 考点03垂直平分线与角平分线性质 考点04全等三角形中的结论问题 考点05全等综合—添加辅助线 考点06尺规作图 目目 考点01 全等三角形的概念与性质 1.(24-25八上山西晋城陵川县多校联考期中如图，△ABC≌△DEC,AC与DE交于点F.若∠BCE=40° ,∠A=30°，则∠CFD的度数为() A.115° B.110° C.120° D.130° 2.(24-25八上山西忻州第七中学校期中)如图，△A0B≌△ADC,点B和点C是对应顶点， L0=∠D=90°，记∠OAD=a,∠ABO=B,∠ABC=LACB,当BC∥OA时，a与B之间的数量关系为() B A.a=B B.a=2β C.a+B=90° D.0a+2B=180 3.(24-25八上山西阳泉矿区多校期中)如图，己知a0CA≌△0BD,∠A=32°，∠A0C=78°，则∠B的度 数为() 1/21 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C A.32 B.70° C.78° D.80° 4.(2425八上山西大同平城区多校联考期中)如图，△AEC2△DFB.若AB=12,则CD= E 5.(24-25八上山西吕梁离石区多校·期中)如图，△ABC≌△BAD,AC与BD相交于点E,若AC=5, DE=2,则BE的长为一 D 目目 考点02 全等三角形的判定 1.(24-25八上山西晋城部分学校期中)在小区的花园修建过程中，工人师傅要制作三角形的装饰架来放置 花盆.己知装饰架的形状是ABC(如图所示)，工人师傅按照ABC的形状和尺寸制作了一个一模一样 的DEF,然后将它们分别安装在花园的不同位置.则∠E的度数为() A D n 65° m B 45° E A.80° B.70° C.60° D.50 2.(24-25八上山西长治武乡县多校期中)如图，在ABC中，点D在边AB上，DE与边AC交于点F, CD=CB,∠B=∠CDE,添加下列条件能判断△ABC≌△EDC的是() 2/21 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 E B A.EF=BD B.∠ADE=∠E C.AC=EC D.∠ACE=∠BCD 3.(24-25八上·山西长治武乡县多校期中)如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部B到墙角C的距 离为1.2m·若梯子底部B沿水平方向向右滑动至点D,梯子顶部落在竖直墙体的E处，此时梯子与水平地 面的夹角为32°，点E到墙角C的距离为1.2m,则梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为() E B D A.58 B.54° C.48° D.32° 4.(2425八上山西大同平城区多校联考·期中)如图，把等腰直角三角板ABC放在平面直角坐标系内，直角 顶点A的坐标为0,1)，顶点B的坐标为(-5,5)，则点C的坐标为() B A A.-5,-5 B.-4,-4 C.-4,-5 D.-5,-4 5.(24-25八上山西长治武乡县多校期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边AB上一点，延长 CB至点E,使EB=AB=5,连接DE.若DE=AC,且ABC的面积为7，则BD的长为() 3/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 D.7 6.(24-25八上·山西大同平城区多校联考期中)下列条件不能判定两个直角三角形全等的是() A,斜边和一条直角边分别相等 B.一个锐角和斜边分别相等 C.两条直角边分别相等 D.两个锐角分别相等 7.(24-25八上山西晋城陵川县多校联考期中)根据下列已知条件，不能作出唯一ABC的是() A.AB=5,AC=6,∠C=53° B.AB=3,∠A=60°，AC=4 C.∠ABC=90°，AC=13,BC=5D.AB=3,BC=4,AC=5 8.(2425八上山西阳泉多校联考期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,F为边AB上一点， 连接CF,AD⊥CF于点D,BE⊥CF交CF的延长线于点E.若AD=6cm,BE=3cm,EF=lcm,则 DF的长为() D B A.Icm B.2cm C.3cm D.4cm 9.(24-25八上山西阳泉矿区多校期中)某校“综合与实践”小组的同学测量水池AB宽度的方案如下：如图， 先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再过点D画出BF的垂线DE,当点A,C,E在同一直 线上时，可证明EDC≌ABC,从而得到ED=AB,则测得ED的长就是A,B两点间的距离.其中判定 EDC≌ABC的依据是() B E 4/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS 10.(24-25八上山西阳泉多校联考期中)0.如图，在ABC中，点D在边AB上，CD=CB,∠B=∠CDE ,添加下列条件能判断△ABC≌△EDC的是() D A.∠ACE=∠A B.∠ADE=∠E C.AC=EC D.AB=ED 11.(24-25八上·山西大同第二中学校·期中)小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点停有一艘游艇(AB与 堤岸垂直)，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离(AB的长度)，于是制定了如下方案：①小明沿堤岸走 到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达D点；③他到达D点后向左转90度 直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处.则只需要测出线段ED的长度， 便知AB的长度。理由是依据 可以证明ABC与△DEC全等，从而由全等三角形对应边相等得出 AB=DE. 12.(24-25八上·山西长治武乡县多校期中)某中学几名同学想利用所学知识测量某段汾河的宽度（宽度一定）， 测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A,在该岸边寻找点B,使AB垂直于河岸，因河边不安全， 在该岸同侧平地上取点C,D,使A,B,C三点在同一直线上，且CB=CD,∠BCD=I05°，测得 ∠ADC=55°，在CD的延长线上取一点E,使∠BEC=20°，这时测得DE的长就是该段汾河的宽度.你认 为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由. 某段汾河 B D 5/21 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 13.(24-25八上山西长治武乡县多校·期中)如图，在ABC和△EBD中，BD=BC,BE=CA, ∠DBE=LC=65°，DE与CA交于点F.己知∠BDE=80°，求LCFE的度数. D 14.(24-25八上山西大同平城区多校联考期中)下面为某班级在完成项目式学习“测量旗杆的高度之后撰写 的项目活动报告，根据报告内容完成相应任务， 项 月 测量旗杆AB的高度 主 题 驱 动 能利用哪些数学原理来测量旗杆的高度 问 题 A H 测量 示意 C E 图 D G M 测 图1 图2 量 方 第一步，如图1，测量员从旗杆AB的底部沿水平直线移动到点D,在点D 案 处用测角仪测出到旗杆顶端A的仰角为（即∠ACE=α），同时用皮尺 测量 量出DB的距离和测角仪的高度CD(CD=BE) 方法 第二步，在地面上找一点F,以F为顶点画LMFN=LACE=a,在边FM 上量取FG=DB,得到点G;利用三角板过点G作FG的垂线，与FN交于 点H,得到Rt△HFG 6/21 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三步，测量HG的长度，即可得到旗杆AB的高度 说明：点A,B,C,D,E在同一竖直平面内 测量 DB 8m,CD =1m HG =14m 数据 结果 成 果 展 示 评 价 令 思 任务： ()该项目中，测量旗杆高度主要运用的数学原理是 A.三角形内角和定理B.线段垂直平分线性质C.全等三角形的判定与性质 (2)求旗杆AB的高度， (3)对本次项目式学习的“评价反思”，写出一条意见或建议. 15.(24-25八上山西大同平城区多校联考期中阅读下列材料，并完成相应任务， 实验探究：三角形中边与角之间的关系 问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过 来，等角所对的边也相等.那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间有怎样的 大小关系呢？ 问题具化：如图1，在ABC中，AB>AC,则∠C与∠B有怎样的大小关系？ 思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边，使条件和问题转化或 聚焦，并构造全等三角形解决问题， 问题解决：如图2，在长边AB上截取AE=AC,作∠BAC的平分线，交BC于点D,连 7/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 接DE,求证：LC>∠B. 证明：：AD平分∠BAC, ∠EAD=∠CAD. 又：AD=AD,AE=AC, .△AED≌△ACD.(依据1： ∠AED=∠C. :∠AED=∠B+∠BDE,(依据2： .∠AED>∠B. ∠C>∠B. 得出结论：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，其中大 边 类比探究：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等，其中大 角所对的边较大。 己知：如图3，在ABC中，∠ACB>∠ABC.求证：AB>AC. 证明：… E B B D 图1 图2 图3 任务： (1)“问题解决”中的依据1是指： 依据2是指： (2)将材料中“得出结论”补充完整： (3)完成“类比探究”部分中的证明过程 16.(24-25八上山西晋城陵川县多校联考期中)如图1，ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∠CAB=∠ABC=45°，CA=CB,点D是边BC上任意一点，连接AD并延长，点E是射线AD上的一个动 点（点E不与点A重合），连接CE,作等腰直角三角形CEF,使得，∠ECF=90°，CE=CF, ∠CEF=∠CFE=45°.连接BF交射线AD于点G. 8/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 备用图 (I)如图1，求证：△CBF≌△CAE. (2)①若∠BAD=20°，则∠ABG的度数为 ②判断AG与BF的位置关系，并说明理由 (3)如图2，若∠BAD=15°，在点E的运动过程中，当EF所在直线与ABC的边所在直线垂直时，请直接 写出∠AEC的度数. 17.(24-25八上·山西大同平城区多校联考期中)7.己知等腰直角三角形ABC,其中∠ACB=90°， AC=BC.在AB上方作射线AD交BC于点D,使LBAD=I5°，E为射线AD上的一个动点，连接CE. 图1 图2 备用图 (I)如图1，若AC=2,CE⊥AD,求线段CE的长. (2)如图2，过点C作CF⊥CE,，且CF=CE,连接BF与射线AD交于点G.求证：AG⊥BF· (3)在图2的基础上，连接EF,点E在射线AD上运动的过程中，当EF所在直线与ABC的边所在直线垂 直时，请直接写出∠AEC的度数. 18.(24-25八上·山西朔州怀仁·期中)如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼AB的高度，在旗杆CD与楼 AB之间选定一点P(点D,P,B在一直线上)，测得PC与地面的夹角∠DPC=18°，PA与地面的夹角 LAPB=72°，点P到楼底的距离PB为9m,旗杆CD的高度为9m.若旗杆CD与楼AB之间的距离BD为 36m,请你计算楼AB的高. A 田 田 田 B 19.(24-25八上山西侯马三校期中如图，有垂直于地面的两个木箱，高度分别为AB=4,DC=11,两个木 箱之间恰好可以放进一个等腰直角三角板(AE=DE,∠AED=90°)，点B,C,E在水平地面上，点A和 点D分别与木箱的顶端重合，两个木箱之间的距离BC等于多少？ 9/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 20.(24-25八上山西阳泉多校联考期中)如图，在ABC中，AE平分∠BAC,在射线AE上取一点D,使 AD=AB,己知∠BAD=∠BCD,AB=I2,AC=7,求DE的长. 21.(2425八上山西阳泉多校联考期中)如图，在ABC中，D为边AC上一点，延长AC至点E,使 CE=AD,DF∥BC,EF∥AB,DF与EF交于点F,连接BF交边AC于点O.求证：O是BF的中点. D B 22.(24-25八上山西吕梁离石区多校·期中)综合与实践 【问题情境】 如图1，这是一个圆形喷水池，水池的中心O处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径， 但因喷水装置阻挡，无法直接测量，该如何准确测量呢？（水池边缘厚度忽略不计） 图1 【方案设计】方案一：如图2，先在水池边上取A,B两点，使得A,O,B三点共线，再在水池外取一点 C,测得AC,BC的长，在射线AC,BC上分别取点D,E,使得CD=AC,CE=BC,最后测得DE的 长，便可求出AB的长 方案二：如图3，先在水池边上取A,B两点，使得A,O,B三点共线，过点B作AB的垂线BF,在BF上 取C,D两点，使BC=CD.接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,最后测得DE的长， 便可求出AB的长 10/21