专题02 全等三角形（期末真题汇编，北京专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题02 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 全等的性质SSS 考点02 全等的性质SAS 考点03 全等的性质AAS、ASA 考点04 角平分线的性质与判定 地 城 考点01 全等的性质SSS 一、单选题 1．(24-25八上·北京丰台区区·期末)下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京朝阳区·期末)下面是“作的平分线”的尺规作图方法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； （3）作射线． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 二、填空题 3．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为 ． 地 城 考点02 全等的性质SAS 一、单选题 1．(24-25八上·北京西城区·期末)在正方形中，点P在边上运动，连接，过点P作，连接．以下结论正确的是（   ） A．点P与点B重合时，线段的长取得最大值 B．点P与边的中点重合时，线段的长取得最大值 C．点P与点C重合时，线段的长取得最大值 D．点P运动的过程中，线段的长不发生变化 二、填空题 2．(24-25八上·北京第二中学·期末)如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则 ． 3．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如图，平分，点在上，点，分别在，边上，有如下条件：①，；②；③．选取其中一个可以得到的条件，序号是 ．（写出所有可能的情况．） 4．(24-25八上·北京丰台区区·期末)如图，在中，，，是的中点，点，分别在边，上运动（点不与点，重合），且，连接，，.有下列结论： ①且； ②； ③四边形的面积大于面积的一半． 其中正确的是 （填写序号）． 三、解答题 5．(24-25八上·北京西城区·期末)如图，点E，F分别在四边形的边，的的延长线上，连接，分别交，于点G，H，． (1)求证：； (2)判断线段与的位置关系，并证明． 6．(24-25八上·北京大兴区·期末)如图，在中，是边上的中线，，，．求证：． 7．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如图，在中，，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，连接，，交于点，连接，，连接并延长，交于点． (1)根据题意补全图形； (2)求证：． 8．(24-25八上·北京海淀区·期末)如图，是上一点，，，． 求证：平分． 地 城 考点03 全等的性质AAS、ASA 一、单选题 1．(24-25八上·北京海淀区·期末)如用，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25八上·北京西城区·期末)如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 3．(24-25八上·北京东城区·期末)如图，点E，F在BC上，，，相交于点G，若添加一个条件，可使得，则添加的条件可以是 ． 4．(24-25八上·北京大兴区·期末)如图，是的平分线，点D，P分别在射线和上，且，点Q是射线上的一点，若，则的度数为 ． 三、解答题 5．(24-25八上·北京丰台区区·期末)如图，在中，平分，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得成立，并证明． 条件①于点，于点； 条件②． 6．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如图，点A，，，在一条直线上，，，．求证：．        7．(24-25八上·北京第二中学·期末)小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时．    8．(24-25八上·北京海淀区·期末)如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，，直接写出的长． 9．(24-25八上·北京西城区·期末)如图所示的网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．将与全等，并与有且只有一条边重合的格点三角形称为的“友好格点三角形”． (1)画出以为公共边的的所有“友好格点三角形”； (2)共有________个“友好格点三角形”． 地 城 考点04 角平分线的性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·北京第二中学·期末)如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，的长为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京海淀区·期末)如图，，垂足分别为E，F，与交于点D，下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 3．(24-25八上·北京西城区·期末)如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 二、填空题 4．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为 ． 5．(24-25八上·北京第二中学·期末)如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点和，平分，， ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 全等的性质SSS 考点02 全等的性质SAS 考点03 全等的性质AAS、ASA 考点04 角平分线的性质与判定 地 城 考点01 全等的性质SSS 一、单选题 1．(24-25八上·北京丰台区区·期末)下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质． 由题意可知，．又由即可证明．即可得到答案． 【详解】解：根据角平分线的作法可知，，． 又∵， ∴． ∴，即射线即为的角平分线． 故选A． 2．(24-25八上·北京朝阳区·期末)下面是“作的平分线”的尺规作图方法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； （3）作射线． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 由作图过程可知，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，， ， ， ∴判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：D． 二、填空题 3．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键． 三角形的各个顶点都在格点上，所以任意长度都可用勾股定理计算得出，本题可以采用“三边对应相等”进行判定三角形全等． 【详解】∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴坐标系原点在点A的下方3个单位，在点C的左方2个单位处，建立坐标系，如图， ∴点B的坐标为， ∴， ∵点为网格图中与全等的格点三角形的一个顶点，对应点为，在坐标轴上， ∴符合条件的点E的坐标有或或 ． 故答案为：或或 ． 地 城 考点02 全等的性质SAS 一、单选题 1．(24-25八上·北京西城区·期末)在正方形中，点P在边上运动，连接，过点P作，连接．以下结论正确的是（   ） A．点P与点B重合时，线段的长取得最大值 B．点P与边的中点重合时，线段的长取得最大值 C．点P与点C重合时，线段的长取得最大值 D．点P运动的过程中，线段的长不发生变化 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，延长，作于点，证明，可得，则可得为等腰直角三角形，当取最大值，则取最大值，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，作于点， ，，四边形为正方形， ，， ， 在与中， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 当点P与点C重合时，取最大值， 线段的长取得最大值， 故选：C． 二、填空题 2．(24-25八上·北京第二中学·期末)如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则 ． 【答案】/180度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据证明，利用全等三角形的性质与平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，标注字母， 在与中， ， ∴， ∴． ∵由平行线的性质可得， ∴． 故答案为：． 3．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如图，平分，点在上，点，分别在，边上，有如下条件：①，；②；③．选取其中一个可以得到的条件，序号是 ．（写出所有可能的情况．） 【答案】①②③ 【分析】此题重点考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由平分，点在上，于点于点，根据角平分线的性质得，可判断①符合题意；若，由，根据“”证明，得，可判断②符合题意；若，由，根据“”证明，得，可判断③符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：①∵平分，点在上，于点于点， ，故①符合题意； ②∵平分，点分别在边上， ， 在和中， ， ， ，故②符合题意； 在和中， ， ， ，故③符合题意， 故答案为：①②③． 4．(24-25八上·北京丰台区区·期末)如图，在中，，，是的中点，点，分别在边，上运动（点不与点，重合），且，连接，，.有下列结论： ①且； ②； ③四边形的面积大于面积的一半． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，证明是解题的关键． 连接，结合等腰直角三角形的性质证明，可证得①；利用全等三角形面积相等可判断③；根据三角形的三边关系可证明②． 【详解】解：连接， ∵，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴且，故①正确； ∵， ∴，   ∴， ∴四边形的面积的面积面积的一半．，故③错误； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； 故答案为：①②． 三、解答题 5．(24-25八上·北京西城区·期末)如图，点E，F分别在四边形的边，的的延长线上，连接，分别交，于点G，H，． (1)求证：； (2)判断线段与的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）根据得到，再利用得到，即可证明； （2）根据（1）中可得，再利用平行线得到，即可得到． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， 在与中， ， ； （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ， ． 6．(24-25八上·北京大兴区·期末)如图，在中，是边上的中线，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】延长到点H，使，连接．证，得，．再证明，即可得证． 【详解】证明：延长到点H，使，连接． ∵是边上的中线， ∴． ∴在和中 ， ∴， ∴，． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，同角的补角相等，中线定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质是解题的关键． 7．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如图，在中，，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，连接，，交于点，连接，，连接并延长，交于点． (1)根据题意补全图形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据轴对称的性质得到，求得，等量代换得到，根据全等三角形的性质得到，得到，求得，推出，于是得到结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示； （2）证明：∵点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 8．(24-25八上·北京海淀区·期末)如图，是上一点，，，． 求证：平分． 【答案】见解析 【分析】，先证明，再证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是的平分线． 地 城 考点03 全等的性质AAS、ASA 一、单选题 1．(24-25八上·北京海淀区·期末)如用，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； B.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； C.添加 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； D.添加，不符合任何一定判定定理， 无法证明， 故此选项错误，不合题意； 故选：D． 二、填空题 2．(24-25八上·北京西城区·期末)如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定填写即可． 【详解】解：添加的条件为：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 3．(24-25八上·北京东城区·期末)如图，点E，F在BC上，，，相交于点G，若添加一个条件，可使得，则添加的条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形全等的判定：添加条件使三角形全等，由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【详解】依题意，若添加条件是， ∴在和中， ， 使得， 则添加的条件可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 4．(24-25八上·北京大兴区·期末)如图，是的平分线，点D，P分别在射线和上，且，点Q是射线上的一点，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点，分类讨论． 分类讨论：过点作于于，则由角平分线的性质定理得；分两种情况考虑：点在点的右侧时，证明，则有；点在点左侧时，同理可求，进而求得结果，最后综合两种情况即可． 【详解】解：如图，过点作于于， ∵平分， ， 当点在点的右侧时， 在和中， ， ， ， 当点在点左侧时，同理可求， ， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题 5．(24-25八上·北京丰台区区·期末)如图，在中，平分，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得成立，并证明． 条件①于点，于点； 条件②． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形三线合一，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．条件①：根据题干可证，再利用三角形三线合一可证明垂直；条件②：根据题干过点作于点，过点作于点，可证，，再得，易得，再利用三角形三线合一可证明垂直． 【详解】解：选择①，证明：于点，于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 又平分， ； 选择②，证明：如图，过点作于点，过点作于点， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 又平分， ． 6．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如图，点A，，，在一条直线上，，，．求证：．        【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等．解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质． 根据得到，结合，，，得到，即可得到证明． 【详解】证明：， ． 在和中， ． ． 7．(24-25八上·北京第二中学·期末)小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．证明，得出，根据，求出，即可证明结论； 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． 8．(24-25八上·北京海淀区·期末)如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系：即可求解． 【详解】（1）证明：∵直线分别为的垂线， ∴. ∴ 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上. ∴垂直平分. （2）解：在中，， 由勾股定理得：； ∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴． 9．(24-25八上·北京西城区·期末)如图所示的网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．将与全等，并与有且只有一条边重合的格点三角形称为的“友好格点三角形”． (1)画出以为公共边的的所有“友好格点三角形”； (2)共有________个“友好格点三角形”． 【答案】(1)画图见解析 (2)7 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解新定义是解答关键. （1）根据新定义画出图形即可； （2）根据新定义和全等三角形的性质画出图形来求解． 【详解】（1）解：根据题意作图如下 以为公共边的的所有“友好格点三角形”为：,,． （2）解：根据题意画图如下，的“友好格点三角形”有,,，，，，共7个． 故答案为：7． 地 城 考点04 角平分线的性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·北京第二中学·期末)如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，， ， 的面积为，，， ， ， 故选：B． 2．(24-25八上·北京海淀区·期末)如图，，垂足分别为E，F，与交于点D，下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟记三角形判定定理是解决问题的关键．根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项②正确，根据全等三角形的性质得到，连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确，由，得到，根据，，选项④错误，进而得到答案． 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， ， 得， 在和中， ， ∴，选项②正确； ， ， 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； ， ， ， ， ，选项④错误； 故正确的为①②③， 故选：C． 3．(24-25八上·北京西城区·期末)如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】根据平行线的性质结合题意可证，即得出，故①正确；由平行线的性质结合题意可证，又可求出，即得出，结合勾股定理即可求出，故②错误；过点C作于点G，根据角平分线的性质定理得出，再由，即得出，故③正确；由题意可求，即得出，根据，即，可证，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴，故②错误； 如图，过点C作于点G， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴，故④错误． 综上可知正确结论是①③ 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题关键． 二、填空题 4．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，理解并掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作，交延长线于点，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，然后由四边形的面积求解，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作，交延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴四边形的面积 ． 故答案为：20． 5．(24-25八上·北京第二中学·期末)如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点和，平分，， ． 【答案】/ 【分析】根据垂直平分，得出，从而得，根据平分，得出，即可得，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $