专题01 二次函数十大压轴题型（高效培优期中专项训练）数学沪科版九年级上册

专题01 二次函数十大压轴题型（高效培优期中专项训练） 考点01 双空小压轴 考点02 与实际应用有关的二次函数综合问题 考点03二次函数最值综合问题 考点04与平移有关的二次函数综合问题 考点05与线段周长有关的二次函数综合问题 考点06与角度有关的二次函数综合问题 考点07 与面积有关的二次函数综合问题 考点08与特殊三角形有关的二次函数综合问题 考点09 与特殊四边形有关的二次函数综合问题 考点10与新定义有关的二次函数综合问题 考点01 双空小压轴 1．（2024-2025学年九年级上安徽省芜湖市期中）已知抛物线开口朝上． （1）该抛物线对称轴为 ； （2）若该抛物线与轴交于，两点，且，则的取值范围是 ． 2．（2024~2025学年九年级上安徽省淮南市凤台县期中）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 3．（2024-2025学年九年级上 安徽省合肥市包河区期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为． （1）若该抛物线与x轴交于点，则 ； （2）已知点，，若该抛物线与线段始终有两个不同的交点，则n的取值范围是 ． 4．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市G5联考期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时， ； (2)的最大值为 ． 5．（2024~2025学年九年级上安徽省淮南高新区山南第十一中学期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1） ； （2）我们把抛物线在直线的上方的部分与线段BC围成的封闭区域记为“G区域”（包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．则“G区域”的整点的个数为 ． 6（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第三十八中学10月期中）．如图，抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的，与轴于点A、B（点在点B的左侧），与y轴交于点C．    （1）则 ； （2）若将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则 ． 7．（2024—2025学年九年级上安徽省合肥市庐阳中学期中）已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为 ； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为 ． 8．（2024-2025学年九年级上安徽省黄山市歙县期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是 ； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是 ． 9．（2024-2025学年九年级上安徽省芜湖市第二十九中学 期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且过点，连接． （1）B的坐标 ； （2）若点P是抛物线对称轴上一点，且，P的坐标 ． 考点02 与实际应用有关的二次函数综合问题 10．（2024—2025学年九年级上安徽省合肥市行知中学期中）足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．       (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 11．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市包河区 期中）某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)求最小档位时小球射出的最大射程； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 12．（2024-2025学年九年级上安徽省安庆市11月期中）某次项目式学习研究中，智慧小组的研究如下： 【研究课题】为班级年度优秀学生设计奖杯． 素材1 如图所示为奖杯的设计稿，设计稿的上半部分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，A与B均为最高点，且A、B两点之间的距离为，点A到杯底的竖直高度为；下半部分是一个等腰三角形底座，于点D，图中所有的点都在同一平面内． 素材2 以杯底所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，抛物线部分满足函数关系式：（b、c为常数） 素材3 在距离杯底的竖直高度为的M、N两点处贴上装饰图案（点M在点N的左侧，图案大小忽略不计）． 【任务解决】 (1)求该奖杯抛物线部分的函数表达式； (2)求抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度； (3)求M、N两点之间的水平距离． 13．（2024-2025学年九年级上安徽省淮北市部分学校联考11月期中）护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 14．（2024-2025学年九年级上安徽省六安市金安区11月期中）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 15．（2024-2025学年九年级上安徽省阜阳市太和县 期中）2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 16（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市五河县九年级联考11月期中）．如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，喷出的水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，水流的路线是抛物线的一部分，落点距离喷水柱底端处米． (1)写出水流到达的最大高度，并求的值； (2)在保证水流形状不变的前提下，调整喷水柱的高度，使水流落在宽（）为米，内侧（点）距点为4米的环形区域内（含，），直接说出喷水柱的高度是变大还是变小，并求它变化的高度（米）的取值范围． 17．（2024--2025学年九年级上安徽省安庆市怀宁县期中）国庆期间，某景区游客排队接受检票，景区统计了游客排队情况，发现游客到景区检票口的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为、其中，景区检票口每分钟可检票40人． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)景区检票口排队等待检票的游客人数最多时有多少人？ (3)检票口检票到第4分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客300人，为了减少排队等候时间，在检票口临时增设一个检票口．已知临时新增检票口每分钟可检测27人，增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 18．（2024—2025学年九年级上安徽省淮南高新区山南黄山中学期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为． (1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式． (2)求出杯口口径的长． (3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值． 19．（2024-2025学年九年级上安徽省阜阳市颍上县南照镇中心学校10月期中）又到了板栗飘香的季节，为提高大家购买的积极性，销售板栗的顺发果业每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知板栗每日销售量与销售单价（元）满足关系：．当每日销售量低于时，成本价格为元；当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．设销售板栗的日获利为（元）． (1)当日销售量不低于时，的取值范围是______； (2)请求出日获利与销售单价之间的函数关系式； (3)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 20．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市11月期中）如图，是一个长方形广告牌的示意图，，，设计师在广告牌上设计了三条抛物线（部分）作为构图轮廓，点D，E分别是，的中点，抛物线①经过点O和A，顶点为D，由抛物线②向右平移得抛物线③．以为单位长度，点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线②的解析式为． (1)求抛物线①的解析式，并直接写出抛物线③的解析式； (2)设计师在广告牌上三条抛物线围成的区域设计一些竖直的灯条，利用灯条的亮与不亮两种状态产生动感效果．灯条的上端点在抛物线①上，下端点在抛物线②或③上．从某时刻开始，只有两根灯条亮着，分别用和代表它们．从O处开始，以的速度向右移动，到E处停止．从A处开始，以的速度向左移动，到O处停止．在这一过程中，求： 的最大值； 的时长． 考点03二次函数最值综合问题 21．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第三十八中学10月期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线经过、两点．    (1)求二次函数的表达式． (2)求点的坐标及直线的表达式． (3)在直线上方的抛物线上存在一动点，过点作轴，交于点，请求出线段的最大值． 22．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市蜀山区合肥市五十中学西校 期中）已知抛物线（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线顶点横坐标的2倍． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①求t（请用含的代数式表示）； ②若且，求t的最大值． 23．（2024-2025学年九年级上安徽省滁州市东坡中学 期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求点的坐标； (2)当点到轴的距离为时，求的值； (3)当图象的最大值与最小值的差为时，求的取值范围． 考点04与平移有关的二次函数综合问题 24．（2024-2025学年九年级上安徽省芜湖市无为市 11月期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)利用图象回答：当时，请直接写出的取值范围． (2)将该抛物线向右平移个单位长度，该函数图象恰好经过原点，请直接写出的值． (3)将线段绕着点顺时针旋转后，点的对应点恰好是抛物线与轴的交点，求该抛物线的解析式． 25．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市G5联考期中）如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．    (1)抛物线表达式为；_______； (2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q． ①若，求的值； ②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 26．（2024 -2025学年九年级上安徽省淮南市田家庵区淮南第十九中学 期中）如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 27．（2024—2025学年九年级上安徽省安庆市潜山市学期 期中）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点D在第二象限内抛物线上，连接交于点E，连接．若，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线分别与x轴交于P，Q两点．若，求点H的坐标． 28．（2024-2025学年九年级上安徽省黄山市歙县 期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点． ①求线段的最大值； ②连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标． 29．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市五十中学天鹅湖校区 期中）已知函数（其中，是常数）． (1)若，两点在该函数图象上，求此函数的表达式； (2)在（1）的条件下，函数的图象顶点为，与轴正半轴交点为，与轴的交点为，若将该图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围； (3)若，当时，函数的最大值为8，直接写出的值． 考点05与线段周长有关的二次函数综合问题 30．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十二中学 期中）已知：抛物线与坐标轴交于、两点，点坐标，点坐标，点，在轴上横坐标分别是和，过点作直线轴交抛物线于点，线段的中点为． (1)求和的值； (2)若点在轴上方且满足，求的值； (3)求点的运动路径所对应的函数解析式． 31．（2024-2025学年九年级上安徽省六安市霍邱县11月期中）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 32．（2024-2025学年九年级上安徽省芜湖市第二十九中学 期中）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 考点06与角度有关的二次函数综合问题 33．（2024-2025学年九年级上安徽省芜湖市 期中）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 34．（2024-2025学年九年级上安徽省徽州名校适应性评估 11月期中）如图，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点P，连接交直线于点D，若，求点P的坐标； (3)若在直线上方的抛物线上存在点Q，使，求点Q的坐标． 考点07 与面积有关的二次函数综合问题 35．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第三十八中学本部 期中）已知是自变量x的函数，当，称函数为函数的“均衡函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点A，若点B在函数的“均衡函数”的图象上，且点B，点A的横坐标相同，则称点B是点A的“关于的均衡点”．例如：函数，当时，则函数是函数的均衡函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点A，则点B在函数的“均衡函数”的图象上，点B为点A“关于的均衡点”． (1)求函数的“均衡函数”的函数表达式； (2)已知点A在函数的图象上，点A“关于的均衡点”为点B，设点A的横坐标为m． ①若点B在y轴的右侧，且点B与点A不重合，设的面积为y，求y关于m的函数表达式； ②在①的条件下，当直线与函数y的图象的交点有3个时，请直接写出t的取值范围． 36．（2024-2025学年九年级上安徽省亳州市利辛县县直初中学 期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 37．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学森林城分校 期中）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 38．（2024-2025学年九年级上安徽省淮南市多校联考 期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2024-2025学年九年级上安徽省舒城第二中学11月期中）如图1，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接，，当的面积最大时，求点坐标． ②如图2，过点作轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接．过点作轴于点，的延长线与的延长线交于点，求的值． 40．（2024--2025学年九年级上安徽省六安皋城中学 期中）抛物线与轴交于A，B两点，点在点的右边，与轴交于点，且过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，点是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点，连接．求面积的最大值． (3)如图2，是定直线上一动点，连接、，直线交抛物线于点．直线交抛物线于点，连接，直线是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由． 41．（2024~2025学年九年级上安徽省淮南高新区山南第十一中学 期中）如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为点和点B，与y轴交于点，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)取抛物线的一部分（）记为W，将W沿y轴向下移动k个单位长得到，若与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 考点08与特殊三角形有关的二次函数综合问题 42．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第五十五中学 期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 43．（2024-2025学年九年级上安徽省马鞍山市花园初级中学 期中）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则P为“美好点”． (1)在点，，中，是“美好点”的有 (2)若“美好点”在直线（b为常数）上，求a和b的值； (3)若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 44．（2024—2025学年九年级上安徽省滁州市第五中学 期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 45．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市部分学校 期中）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点D在第二象限内抛物线上，连接交于点E，连接．若，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线分别与x轴交于P，Q两点．若，求点H的坐标． 46．（2024--2025学年九年级上安徽省六安市金安区智恒学校 期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为． ①求面积S与的函数表达式，并求S的最大值； ②当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 考点09 与特殊四边形有关的二次函数综合问题 47．（2024-2025学年九年级上安徽省阜阳市颍东区 期中）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（2024-2025学年九年级上安徽省长丰县部分学校 期中）如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标． (3)如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 考点10 与新定义有关的二次函数综合问题 49．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学 期中）阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，若，且开口方向相间，则称互为“致真二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“致真二次函数”______； (2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数互为“致真二次函数”，求a的值； (3)在（2）的条件下，若直线与和图象分别交于点E和点F，当时，求线段的最大值． 50．（2024-2025学年九年级上安徽省阜阳市太和县 11月期中）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围． 51．（2024—2025学年九年级上安徽省合肥市包河区滨湖寿春中学 期中）下面是九（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． “黄金n点”的研究总结【一般概念】 若抛物线C上存在一点P，P的纵坐标与横坐标之差为n，则称点P为抛物线C上的“黄金n点” 例如：点就叫做抛物线的“黄金1点” 【求抛物线C上的“黄金n点”的方法】 例如：求抛物线上的“黄金8点”的点P．设点P的坐标为 ∵，∴，∴，整理得， 解得， ∴点P的坐标为▲或． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________； (2)按照材料中的方法，求抛物线上的“黄金1点”的点； (3)若抛物线上存在“黄金5点”的点，直接写出的取值范围． 52．（2024-2025学年九年级上安徽省淮北市第二中学 期中）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数十大压轴题型（高效培优期中专项训练） 考点01 双空小压轴 考点02 与实际应用有关的二次函数综合问题 考点03二次函数最值综合问题 考点04与平移有关的二次函数综合问题 考点05与线段周长有关的二次函数综合问题 考点06与角度有关的二次函数综合问题 考点07 与面积有关的二次函数综合问题 考点08与特殊三角形有关的二次函数综合问题 考点09 与特殊四边形有关的二次函数综合问题 考点10与新定义有关的二次函数综合问题 考点01 双空小压轴 1．（2024-2025学年九年级上安徽省芜湖市期中）已知抛物线开口朝上． （1）该抛物线对称轴为 ； （2）若该抛物线与轴交于，两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 直线 【知识点】利用二次根式的性质化简、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，解不等式，二次根式的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一般式的对称轴公式为直线求解即可； （2）设，两点的横坐标分别为，，利用根与系数的关系得出，，再利用得出关于的式子，再解不等式即可． 【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线； 故答案为：直线； （2）∵该抛物线与轴交于，两点， ∴设，两点的横坐标分别为，， ，是一元二次方程的解， ∴，， ∴， ∵抛物线开口朝上， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（2024~2025学年九年级上安徽省淮南市凤台县期中）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】 4 1或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 3．（2024-2025学年九年级上 安徽省合肥市包河区期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为． （1）若该抛物线与x轴交于点，则 ； （2）已知点，，若该抛物线与线段始终有两个不同的交点，则n的取值范围是 ． 【答案】 4 或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解抛物线的解析式，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）由抛物线与x轴交于点，可得，再进一步求解抛物线的顶点坐标可得答案； （2）先求解抛物线的顶点纵坐标为，再分两种情况画图，当，对称轴在y轴左侧，当对应的函数值，如图，当，对称轴在y轴右侧，如图，当对应的函数值，再建立不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点， ∴， ∴， ， ， ∴抛物线的顶点为， ∴， 故答案为：4； （2）∵的对称轴方程为直线， ∴顶点纵坐标， ∵点，， ∴、B关于原点对称， ∴线段经过原点， ∵抛物线始终经过原点，且与x轴始终有两个交点， 当，对称轴在y轴左侧，如图， ∴当时，， ∴， 解得：， 又∵， ∴， ∴， ∵由图象可得：， ∴， ∴， ∴， 当，对称轴在y轴右侧，如图，当对应的函数值， ∴， 解得：， 又∵， ∴， ∴， ∵由图象可得：， ∴， ∴， ∴， 综上：或； 故答案为：或 4．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市G5联考期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时， ； (2)的最大值为 ． 【答案】(1)/0.5 (2)/0.5625 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． 【详解】（1）解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 5．（2024~2025学年九年级上安徽省淮南高新区山南第十一中学期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1） ； （2）我们把抛物线在直线的上方的部分与线段BC围成的封闭区域记为“G区域”（包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．则“G区域”的整点的个数为 ． 【答案】 9 8 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质； （1）求出直线与轴、轴的两个交点、的坐标，由于抛物线过点B，把点B的坐标代入抛物线解析式中即可求解； （2）把点C的坐标代入抛物线解析式中，求得n的值，再代入所求中，求得m的值，从而得到抛物线解析式，分别求得当时，一次函数与二次函数的函数值，即可确定整数y的值，从而确定整点个数；最后可确定所有整点数． 【详解】解：（1）令，得；令，得； 则点、点； ∵抛物线过点B， ∴， 即； 故答案为：9． （2）把代入抛物线解析式中， 得； 由，即， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，一次函数，二次函数， “G区域”的整点为； 当时，一次函数，二次函数， “G区域”的整点为； 而点B、C也是“G区域”的整点，其有8个整点； ∴“G区域”的整点个数为8个． 6（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第三十八中学10月期中）．如图，抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的，与轴于点A、B（点在点B的左侧），与y轴交于点C．    （1）则 ； （2）若将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数、平行四边形的性质，灵活利用平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据二次函数平移的性质求解即可； （2）利用矩形性质得出要使四边形是矩形，必须满足，继而可求出b的值． 【详解】解：（1）∵抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的， ∴， 故答案为：； （2）解：令，得：． ∴， ∵， ∴， 令，得：， ∴， ∴，， ∴ ∴， 要使四边形是矩形，必须满足， ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴， 故答案为：． 7．（2024—2025学年九年级上安徽省合肥市庐阳中学期中）已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为 ； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为 ． 【答案】 或． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识． （1）二次函数的图象经过点，得到，即可得到； （2）求出点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，得到，，，分三种情况进行讨论即可进行解答． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为： （2）当时，， ∵， ∴， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴，，， 则， 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 综上可知，a的值为或． 故答案为：或． 8．（2024-2025学年九年级上安徽省黄山市歙县期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是 ； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是 ． 【答案】 2 【知识点】求一次函数自变量或函数值、二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴． 故答案为：2； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为， ∵顶点在直线上， ∴． 令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为． 设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z， ∵， ∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 9．（2024-2025学年九年级上安徽省芜湖市第二十九中学 期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且过点，连接． （1）B的坐标 ； （2）若点P是抛物线对称轴上一点，且，P的坐标 ． 【答案】 或 【知识点】求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数与面积的综合等知识． （1）令，即可求解； （2）待定系数法求出直线的解析式，设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E，则可求得点D的坐标，从而求得的面积；设，利用面积关系即可求解． 【详解】解：（1）令，解得：，； ∵点B在x轴正半轴上， ∴； 故答案为：； （2）在中，令，得， 即； 设直线的解析式为， 把B、A坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 设交y轴于点D，抛物线交x轴于点E； 在中，令，得， 则； ∴的面积为； ∵， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设； 当点P在上方时，， 即， 解得：， 故； 当点P在下方时，， 即， 解得：， 故； 综上，点P坐标为或； 故答案为：或． 考点02 与实际应用有关的二次函数综合问题 10．（2024—2025学年九年级上安徽省合肥市行知中学期中）足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．       (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 (3) 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律： （1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 11．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市包河区 期中）某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)求最小档位时小球射出的最大射程； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 【答案】(1)最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为，小球最大射程为6米 (2)最小档位小球射出射程为2米 (3)接球盒距发射器的水平距离的取值范围为 【知识点】二次函数图象的平移、投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，求二次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据题意设顶点式，求出的值，得到函数解析式，再求出时的函数值，即可得到答案； （2）根据最大档位时抛物线的函数解析式得到点的对称点为，进而得出最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的，从而得出点的坐标，即可得到答案； （3）令，求出的值，从而得到的最大临界值，再根据二次函数平移的性质，求出的最小临界值，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为； 当时，则， ，（舍去）， 小球最大射程为6米； （2）解：最大档位时抛物线的函数解析式为， 对称轴为直线， 点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的， 的坐标为， 即最小档位小球射出射程为2米； （3）解：米， 令，则， 解得，（舍）， 要使接球盒能接住小球， 由（2）知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的， 又米， ， 即接球盒距发射器的水平距离的取值范围为． 12．（2024-2025学年九年级上安徽省安庆市11月期中）某次项目式学习研究中，智慧小组的研究如下： 【研究课题】为班级年度优秀学生设计奖杯． 素材1 如图所示为奖杯的设计稿，设计稿的上半部分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，A与B均为最高点，且A、B两点之间的距离为，点A到杯底的竖直高度为；下半部分是一个等腰三角形底座，于点D，图中所有的点都在同一平面内． 素材2 以杯底所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，抛物线部分满足函数关系式：（b、c为常数） 素材3 在距离杯底的竖直高度为的M、N两点处贴上装饰图案（点M在点N的左侧，图案大小忽略不计）． 【任务解决】 (1)求该奖杯抛物线部分的函数表达式； (2)求抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度； (3)求M、N两点之间的水平距离． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、其他问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）由题意得出点A坐标，据此求得c值，利用抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，由对称轴求得b值，即可求解； （2）把代入函数解析式求解即可； （3）令，得，求解即可得出M、N的坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， ∵A、B两点之间的距离为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， 抛物线部分的函数表达式为． （2）解：当时，， 抛物线最低点C到杯底的竖直高度为． （3）解：在中，令，得 ，解得，， ，， ， 即M、N两点之间的水平距离为． 13．（2024-2025学年九年级上安徽省淮北市部分学校联考11月期中）护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1)； (2)喷到处的水柱距出水口的水平距离为； (3)水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，代入求解即可； （2）联立抛物线与直线，解出点C坐标即可解答； （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度，设平移后的抛物线表达式为，又由直线得出，并代入平移后的抛物线求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 水柱所在抛物线的函数表达式为． （2）联立， 解得：或， ， 喷到处的水柱距出水口的水平距离为． （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 对于，当时，， 解得：， ， 将代入， 得， 解得：． 水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 14．（2024-2025学年九年级上安徽省六安市金安区11月期中）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 【答案】(1)①；②矩形的面积最大为 (2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，面积最大是，见解析 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键； （1）①根据题意可直接进行求解；②由①根据二次函数的性质可进行求解； （2）分别计算甲、乙两种方案的面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①∵的长为， 的长为， ； ②∵甲中的长不超过墙长， ， 由可知： ， 时，随的增大而增大， 当时，矩形的面积最大，最大为； （2）解：乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下： 乙方案中，设的长为，矩形的面积为， 则， 方案乙中的长大于墙长， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大为， ， 乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是． 15．（2024-2025学年九年级上安徽省阜阳市太和县 期中）2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】(1)，； (2) (3)她当天的比赛能成功完成此动作． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当时，的值，进行比较即可； （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：，； （2）解：， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； 米； ， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 当时，， ， 即她在水面上能够完成此动作， 她当天的比赛能成功完成此动作． 16（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市五河县九年级联考11月期中）．如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，喷出的水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，水流的路线是抛物线的一部分，落点距离喷水柱底端处米． (1)写出水流到达的最大高度，并求的值； (2)在保证水流形状不变的前提下，调整喷水柱的高度，使水流落在宽（）为米，内侧（点）距点为4米的环形区域内（含，），直接说出喷水柱的高度是变大还是变小，并求它变化的高度（米）的取值范围． 【答案】(1)米， (2)变大， 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的基本性质． （1）利用函数表达式即可得到水流到达的最大高度，根据题意得出点的坐标，利用待定系数法即可求出值； （2）先根据题意求出点、的坐标，设抛物线向上移动米，则函数解析式为，分别将点点、的坐标代入，即可求解． 【详解】（1）解：水流的路线是抛物线的一部分， 水流到达的最大高度为：米， 根据题意得：， 将代入， 得：， 解得：， 水流到达的最大高度为米，； （2）根据题意得：，，即， 设抛物线向上移动米，则函数解析式为， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 解得：， 喷水柱的高度变大，变化的高度（米）的取值范围：． 17．（2024--2025学年九年级上安徽省安庆市怀宁县期中）国庆期间，某景区游客排队接受检票，景区统计了游客排队情况，发现游客到景区检票口的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为、其中，景区检票口每分钟可检票40人． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)景区检票口排队等待检票的游客人数最多时有多少人？ (3)检票口检票到第4分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客300人，为了减少排队等候时间，在检票口临时增设一个检票口．已知临时新增检票口每分钟可检测27人，增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)排队等待人数最多时是100人； (3)增设临时检票口检票13分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键． （1）由顶点坐标为，可设，再将代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式； （2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案； （3）设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况，根据题意可列出关于m的方程，求解并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为， ∴设， 将代入， 得：， 解得：， ∴； （2）解：设第x分钟时的排队等待人数为w人， 由题意可得： ， ∵， ∴当时，w的最大值为100， 答：排队等待人数最多时是100人； （3）解：设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况， 由题意得： ， 整理得：， 解得：，（舍）． 答：增设临时检票口检票13分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况． 18．（2024—2025学年九年级上安徽省淮南高新区山南黄山中学期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为． (1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式． (2)求出杯口口径的长． (3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用， （1）利用待定系数法法求解即可； （2）先求出、的坐标，进而即可得解； （3）理解题意求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为的轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ; （2）解：当时，， 解得， ， ∴; （3）解：根据题意知，，设与轴的交点坐标，与轴的交于点， 在中，， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 故线的解析式为， 令， 解得或， 点的横坐标为， 当时，， ， ． 19．（2024-2025学年九年级上安徽省阜阳市颍上县南照镇中心学校10月期中）又到了板栗飘香的季节，为提高大家购买的积极性，销售板栗的顺发果业每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知板栗每日销售量与销售单价（元）满足关系：．当每日销售量低于时，成本价格为元；当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．设销售板栗的日获利为（元）． (1)当日销售量不低于时，的取值范围是______； (2)请求出日获利与销售单价之间的函数关系式； (3)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案； （2）根据利润（售价成本价）销售量，进行求解即可； （3）根据（2）所求，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元． ， 故答案为：； （2）当时，即日销售量不低于时，； ∵， ∴， 当时，即每日销售量低于时，； 综上所述，日获利与销售单价之间的函数关系式为； （3）当时，， ， 当时，随的增大而增大， 当时，最大，最大值为（元）； 当时，， 当时，最大，最大值为元， ， 当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元． 20．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市11月期中）如图，是一个长方形广告牌的示意图，，，设计师在广告牌上设计了三条抛物线（部分）作为构图轮廓，点D，E分别是，的中点，抛物线①经过点O和A，顶点为D，由抛物线②向右平移得抛物线③．以为单位长度，点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线②的解析式为． (1)求抛物线①的解析式，并直接写出抛物线③的解析式； (2)设计师在广告牌上三条抛物线围成的区域设计一些竖直的灯条，利用灯条的亮与不亮两种状态产生动感效果．灯条的上端点在抛物线①上，下端点在抛物线②或③上．从某时刻开始，只有两根灯条亮着，分别用和代表它们．从O处开始，以的速度向右移动，到E处停止．从A处开始，以的速度向左移动，到O处停止．在这一过程中，求： 的最大值； 的时长． 【答案】(1)， (2)； 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）先求出抛物线①的顶点D坐标，设出顶点式，再将点A坐标代入，即可求出抛物线①的解析式；将抛物线②的解析式转化为顶点式，根据平移方式确定抛物线③的解析式； （2）结合（1）中结论，用含t的式子表示出和，即可求解． 【详解】（1）解：长方形中，，为单位长度，点D，E分别是，的中点， ，，， 设抛物线①的解析式为， 把代入，得， 解得， 故抛物线①的解析式为， 抛物线②的解析式为，抛物线②向右平移得抛物线③， 抛物线③的解析式为； （2）解：设灯条移动了秒，则点M，N的横坐标为，点P，Q的横坐标为， ， 当时，， 当时，， ， 当时，随t的增大而增大，当时，随t的增大而减小， 当，即灯条运动了时，取最大值，最大值为； 当时，，， ， 当时，，， 当时，， 解得， 即运动时间时，， 的时长为． 考点03二次函数最值综合问题 21．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第三十八中学10月期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线经过、两点．    (1)求二次函数的表达式． (2)求点的坐标及直线的表达式． (3)在直线上方的抛物线上存在一动点，过点作轴，交于点，请求出线段的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）将A代入二次函数表达式，求出c值即可得解； （2）根据二次函数表达式可得点C坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式； （3）设，，求出，再利用二次函数的最值求解． 【详解】（1）解：将代入中，得：， 解得：， ∴； （2）在中，令，则， ∴， 将，代入中，得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； （3）设，其中， 则， ∴， ∴当时，线段的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值问题，解题的关键是正确求出函数解析式，表示出的长． 22．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市蜀山区合肥市五十中学西校 期中）已知抛物线（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线顶点横坐标的2倍． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①求t（请用含的代数式表示）； ②若且，求t的最大值． 【答案】(1)； (2)①；② 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）求出抛物线顶点横坐标为2，根据的顶点横坐标为，且为抛物线顶点横坐标的2倍，即可求出答案； （2）①把点的坐标分别代入得到，，即可得到； ②把代入得到，求出，根据二次函数的性质即可得到t的最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点横坐标为2， ∵的顶点横坐标为，且为抛物线顶点横坐标的2倍， ∴， 解得； （2）①∵点在抛物线上，点在抛物线上．， ∴，， ∴； ②∵， ∴ ∵， ∴， 解得， ∵当时，随着m的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为 23．（2024-2025学年九年级上安徽省滁州市东坡中学 期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求点的坐标； (2)当点到轴的距离为时，求的值； (3)当图象的最大值与最小值的差为时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或或或； (3)的取值范围是或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，二次函数几何综合，二次函数的最值，以及二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． （1）利用待定系数法求解二次函数，当时则，即可解题； （2）根据题意得到或，分别解一元二次方程即可求解； （3）根据图象的最大值与最小值的差为，分情况讨论①当点在点上方时，②当点在点下方时，结合二次函数的最值，以及二次函数对称性求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为， 当时则， ∴； （2）解：点的横坐标为， ， ∴或， 当时，整理得， 解得或； 当时，整理得， 解得或； 综上，的值为或或或； （3）解：由（）得， 图象的最大值与最小值的差为， ①当点在点上方时， ， ， ， 解得或（舍去）， ， ②当点在点下方时， 若点在点左侧，不满足题意， 点在点右侧， ， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值范围是或． 考点04与平移有关的二次函数综合问题 24．（2024-2025学年九年级上安徽省芜湖市无为市 11月期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)利用图象回答：当时，请直接写出的取值范围． (2)将该抛物线向右平移个单位长度，该函数图象恰好经过原点，请直接写出的值． (3)将线段绕着点顺时针旋转后，点的对应点恰好是抛物线与轴的交点，求该抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程，平移变换等知识， （1）根据图象直接写出的取值范围即可； （2）设抛物线，再写出抛物线向右平移个单位长度后的解析式，再由函数图象恰好经过原点，列关于m的一元二次方程，解方程即可； （3）由题意得，进而可得，设抛物线，将代入得出a的值，进而可得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：由图象可得，当时，； （2）解：∵抛物线经过点和点， ∴可设抛物线， 将抛物线向右平移个单位长度后得，， ∵平移后的函数图象恰好经过原点， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， 设抛物线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 25．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市G5联考期中）如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．    (1)抛物线表达式为；_______； (2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q． ①若，求的值； ②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，这个定值为6． 【知识点】二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据平移的性质，求出抛物线的解析式即可； （2）①求出点坐标，再求出直线的表达式，求出点坐标即可求解； ②过点P作轴，过点Q作轴于点Q，证明，得出，根据，，，，得出，求出． 【详解】（1）解：∵， ∴将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为： ； （2）解：把代入得，， 点， 令， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去），， 则； ②是定值；过点P作轴，过点Q作轴于点Q，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∵点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q， ∴点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为， ∴，，，， ∴， ∴， 整理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 26．（2024 -2025学年九年级上安徽省淮南市田家庵区淮南第十九中学 期中）如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，； (2)4，； (3)点的坐标为或． 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则进而得到，再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在轴的下方，过D作轴，当为矩形一边时，且点D在轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则，解得： ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为：． 把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则 ， ， ∴当时，有最大值4，此时， 点的坐标为． （3）解：由题意，得， 抛物线的对称轴为直线， ， 当为矩形的一边，且点在轴的下方时，过点作轴，如图所示： 点在抛物线的对称轴直线上， ， ， ，即， 点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点， 则点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点； 当为矩形的一边，且点在轴的上方时，如图所示： 设抛物线的对称轴直线与轴交于点， 点在抛物线的对称轴直线上， ， ，即， 点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 则点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 综上所述，点的坐标为或． 27．（2024—2025学年九年级上安徽省安庆市潜山市学期 期中）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点D在第二象限内抛物线上，连接交于点E，连接．若，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线分别与x轴交于P，Q两点．若，求点H的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，待定系数法求直线的表达式即可； （2）如图，过点D作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G，证明，则，由，，可得．同理（1），直线的表达式为．设，则，．当时，，即，则，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得平移后，则M．设，直线的表达式为．联立，整理得，可得．设直线的表达式为．联立，整理得，则，即，可求，则直线的表达式为．                  当时，，即，同理，，则，由，可得，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的表达式为． 将点代入得，， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：如图，过点D作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 同理（1），直线的表达式为． 设，则，． 当时，，即， ∴， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或． （3）解：∵， ∴平移后， ∴的顶点M的坐标为． 设，直线的表达式为． 联立，整理得， ∴． 设直线的表达式为． 联立，整理得， ∴，即， 解得，， ∴直线的表达式为．                   当时，，即， 同理，， ∴， ∴， 整理得，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 28．（2024-2025学年九年级上安徽省黄山市歙县 期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点． ①求线段的最大值； ②连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式，点的对称性，图形的面积计算，勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将，代入求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点，则点，则，再根据二次函数的性质求解即可； （3）设点，则点，由三角形的面积关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：①如图， 设直线解析式为，把、坐标代入得： ， 解得：， 直线解析式为， 设点，则点， 则， ， 当时，线段有最大值，为； ②设点，则点， 则，， ， ， ， 解得：或5（舍去）， 经检验，是原方程的解， 点． 29．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市五十中学天鹅湖校区 期中）已知函数（其中，是常数）． (1)若，两点在该函数图象上，求此函数的表达式； (2)在（1）的条件下，函数的图象顶点为，与轴正半轴交点为，与轴的交点为，若将该图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围； (3)若，当时，函数的最大值为8，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)2或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）将，代入，即可求出函数表达式； （2）由（1）求得的表达式可得点A、B、C的坐标，平移后顶点坐标为，按照平移后的图象顶点在点A、H之间求解即可； （3）分、、三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）将，代入，得 ， 解得， 此函数的表达式为； （2）由（1）知， 顶点的坐标为， 平移后顶点坐标为， 令，则或， 令，则 ， 过点A作y轴的平行线交于点H， 设直线的解析式为， 把点B的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 故点， 函数图象的顶点落在的内部，则， 解得； （3）若，则， 函数的对称轴为：直线， 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：或（舍去）； 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：或（舍去）； 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述：的值为2或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数的平移问题，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 考点05与线段周长有关的二次函数综合问题 30．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十二中学 期中）已知：抛物线与坐标轴交于、两点，点坐标，点坐标，点，在轴上横坐标分别是和，过点作直线轴交抛物线于点，线段的中点为． (1)求和的值； (2)若点在轴上方且满足，求的值； (3)求点的运动路径所对应的函数解析式． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，表示出各个点的坐标是解决问题的关键． （1）将，代入，得方程组即可求解； （2）由（1）可知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，，可得，可知，求得点的横坐标为，则点的横坐标为，即可求解； （3）由题意可知，，，进而得，令，则，，可知，将其代入中，整理即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：，解得， 即：，； （2）由（1）可知， ∵轴，即， 又∵点为线段的中点， ∴， ∵点，在轴上横坐标分别是和， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点在轴上方， ∴，即，解得：， 即点的横坐标为， ∴点的横坐标为，即； （3）∵点，在轴上横坐标分别是和， ∴，，， ∵点为线段的中点， ∴， 令，则，， ∴，则， 即：点的运动路径所对应的函数解析式为． 31．（2024-2025学年九年级上安徽省六安市霍邱县11月期中）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 32．（2024-2025学年九年级上安徽省芜湖市第二十九中学 期中）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，有最大值，最大值为；②或或 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴抛物线顶点P的坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 （2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线交于点，与直线交于点 ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②设直线与x轴交于H， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图3-1所示，当时， 过点C作于G，则 ∴点G为的中点， 由（2）得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形， ∴，即， ∴点E的纵坐标为5， ∴， 解得或（舍去）， ∴ 如图3-3所示，当时，过点C作于G， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴ 综上所述，点E的坐标为或或 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 考点06与角度有关的二次函数综合问题 33．（2024-2025学年九年级上安徽省芜湖市 期中）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性及对称轴求出、的坐标，再求出的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）利用角平分线及构造全等三角形，求出点坐标，即可求出直线解析式，联立二次函数即可求解； （3）设，求出直线和直线的解析式，当时，求出和，表示出，利用恒为定值即可求解． 【详解】（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，    ∵的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得， 解得：，， 当时，， 则； （3）解：设， 由，， 设直线解析式为：， 则， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则， 解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 34．（2024-2025学年九年级上安徽省徽州名校适应性评估 11月期中）如图，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点P，连接交直线于点D，若，求点P的坐标； (3)若在直线上方的抛物线上存在点Q，使，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于E，过点P作轴于F，由，得到，进而推出；求出直线解析式为，设，则，，，证明，得到，则，解方程即可得到答案； （3）过点作轴交抛物线与点，过点作与于点，证明，即可证明，得到，设，则，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得 ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，过点D作轴于E，过点P作轴于F， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，解得或， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，过点作轴交抛物线与点，过点作与于点， 轴， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：或（舍） ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求出抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 考点07 与面积有关的二次函数综合问题 35．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第三十八中学本部 期中）已知是自变量x的函数，当，称函数为函数的“均衡函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点A，若点B在函数的“均衡函数”的图象上，且点B，点A的横坐标相同，则称点B是点A的“关于的均衡点”．例如：函数，当时，则函数是函数的均衡函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点A，则点B在函数的“均衡函数”的图象上，点B为点A“关于的均衡点”． (1)求函数的“均衡函数”的函数表达式； (2)已知点A在函数的图象上，点A“关于的均衡点”为点B，设点A的横坐标为m． ①若点B在y轴的右侧，且点B与点A不重合，设的面积为y，求y关于m的函数表达式； ②在①的条件下，当直线与函数y的图象的交点有3个时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【知识点】求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了一次函数的新定义，二次函数的图象与性质，二次函数与几何图形， 对于（1），根据定义解答即可； 对于（2）①，先求出点A，B的坐标，即可求出两点重合时m的值，再分两种情况表示，求出关系式即可； 对于②，根据直线与函数y的交点个数求出t的范围即可． 【详解】（1）∵函数， ∴， 即； （2）①根据题意可知点，点， 当点A，点B重合时，， 解得． 当时，即，点B在点A的上方， ∴， ∴； 当时，即，点B在点A的下方， ∴， ∴． 综上所述，； ②． 当与有一个交点时， 直线过抛物线的顶点，与有一个交点， 即． 直线与x轴重合时，与函数y有2个交点， ∴当时，直线与函数y交点有3个． 36．（2024-2025学年九年级上安徽省亳州市利辛县县直初中学 期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)点的坐标为 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）先求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．设点，则点，由，结二次函数的性质求解即可； （3）先求得点D坐标，连接，则轴．过点做交轴于点．根据等底等高的三角形面积相等得到，进而求得点N坐标和直线的解析式为．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线 抛物线过点 设二次函数的解析式为， 把代入，得：． 二次函数的解析式为； （2）解：设的解析式为，把点代入，得． 的解析式为． 如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点． 设点， 则点 ， ∵， 面积的最大值为12． （3）解：点的横坐标为， ，直线的解析式为． 连接，则轴．过点做交轴于点．则 ． ， ，则点的坐标为， ，直线的解析式为， 直线的解析式为． 点为抛物线与直线的在第二象限内的交点， 解方程组，解得或（舍去） 点的坐标为． 37．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学森林城分校 期中）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在最大值，最大值为12． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，用公共三角形表示出，是正确解答此题的关键． (1)把点代入二次函数解析式可得的值，即可求得二次函数的表达式； (2)易得点、、的坐标，设出点的坐标，易得；，①时，易得点的纵坐标和点的纵坐标相等，列出方程，求解即可；②用含的代数式表示出，进而根据二次函数的性质可得的最大值． 【详解】（1）解：的图象过点， ， ， 解得：， 二次函数表达式为：； （2）解：二次函数表达式为：， 二次函数的图象与轴有两个公共点，，与轴交于点， 点，点，点， 设点， ， ， ①， ， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为； ②， 当时存在最大值，最大值为12. 38．（2024-2025学年九年级上安徽省淮南市多校联考 期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)，，，． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）分点在左侧和点在由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图像及性质，进而求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点，    把代入中，得：， ∴点坐标是， 设直线， 把，，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴ 由得：， ∴ 整理得： 解得： ∵， ∴的值为或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； （3）解：存在． 由，，，得， ∴， ①当点在左侧时． 在轴上取点，，延长交抛物线于点． 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴设直线的解析式为， 由得：或， ∴； ②当点在右侧时， 作关于的对称，交二次函数于点，则，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 令中，，则， 解得或， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴ ∴在点抛物线上，即点满足条件． 故存在满足条件的点有两个，分别是，，，．    【点睛】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质，轴对称给的性质，掌握这些知识是解题关键． 39．（2024-2025学年九年级上安徽省舒城第二中学11月期中）如图1，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接，，当的面积最大时，求点坐标． ②如图2，过点作轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接．过点作轴于点，的延长线与的延长线交于点，求的值． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为；② 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点的坐标为，再根据点，求出直线的解析式，即可求得点的坐标为，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）①如图①，过点作轴交于点，先设点的坐标为，则点的坐标为，再根据，列式，再利用二次函数的性质即可求解； ②如图②，由题意，根据点是抛物线上的一点，点的横坐标为，确定，根据抛物线的对称轴为直线，得出点在直线的右侧，点关于直线对称，，即可确定，，据此求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 点的坐标为， 直线经过点， ，即直线的解析式为， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入抛物线中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①如图①，过点作轴交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ∵， ∴当时，有最大值，此时，， 点的坐标为； ②如图②，由题意得， 点是抛物线上的一点，点的横坐标为， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 点在直线的右侧， 轴， 点关于直线对称， ， ， 点在抛物线上， ， ， ． 【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式求解，二次函数图象和性质，一次函数的图象和性质．二次函数与三角形面积综合，解直角三角形等知识点，解题的关键是数形结合思想的运用． 40．（2024--2025学年九年级上安徽省六安皋城中学 期中）抛物线与轴交于A，B两点，点在点的右边，与轴交于点，且过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，点是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点，连接．求面积的最大值． (3)如图2，是定直线上一动点，连接、，直线交抛物线于点．直线交抛物线于点，连接，直线是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，理由见解析 【知识点】求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）由抛物线过点，对称轴为直线，利用待定系数法即可求解； （2）求得，，，得直线的解析式为，直线的解析式为，设点，求得直线的解析式为，进而求得，根据结合二次函数的性质即可求解； （3）设点，，求得直线的解析式为，同理：直线的解析式为，直线的解析式为，直线，的交点在直线上运动，求得，可知，整理得，结合直线的解析式，当时，，进而可知直线经过定点． 【详解】（1）解：由题意可得：对称轴为直线， ∴， ∵抛物线过点， ∴，可得， ∴抛物线的解析式为：； （2）当时，，解得：，， 即：，， 当时，，即：， 设直线的解析式为：，可得，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得直线的解析式为：， 设点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立得，解得：， ∴， 则 ， ∴当时，有最大值； （3）过定点，理由如下： 设点，， 设直线的解析式为：，代入，， 有，解得：， 即直线的解析式为：， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∵直线，的交点在直线上运动， ∴， 解①得：，解②得， 即：，整理得：， 即：直线的解析式为：， 当时，， 即：直线经过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，面积问题，抛物线与直线的交点问题等，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式． 41．（2024~2025学年九年级上安徽省淮南高新区山南第十一中学 期中）如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为点和点B，与y轴交于点，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)取抛物线的一部分（）记为W，将W沿y轴向下移动k个单位长得到，若与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2)存在，最大值为，； (3)或． 【知识点】求一次函数解析式、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）在第一象限内作平行于y轴的直线，交抛物线于点D，交直线于点E．求出的解析式，设，则，则， 然后根据三角形的面积公式即可得出，然后利用二次函数的性质即可得出答案． （3）根据二次函数的平移分别求出当时和当时的k的值，再令，根据根的判别式可得出k的值，进而可得出k的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：存在； 理由：如图，在第一象限内作平行于y轴的直线，交抛物线于点D，交直线于点E． 设直线的解析式为， 将将，代入， 得 解得：， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴， ∴ ∴当时，有最大值，最大值为， 此时； （3）解：k的取值范围为或． 当时，，， 此时； 当时，，， 此时； 令， 整理，得， 若与直线只有一个交点， 则， 解得． ∴当与直线只有一个交点时，k的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数，二次函数平移,二次函数与一次函数的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 考点08与特殊三角形有关的二次函数综合问题 42．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第五十五中学 期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 43．（2024-2025学年九年级上安徽省马鞍山市花园初级中学 期中）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则P为“美好点”． (1)在点，，中，是“美好点”的有 (2)若“美好点”在直线（b为常数）上，求a和b的值； (3)若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与几何综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可； （2）对于点，对应图形的周长为：，面积为，因为点是“美好点”，故，即可求解； （3）根据点是“美好点”确定点的坐标，再分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点不是“美好点”； 对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点是“美好点”； 对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点是“美好点”； 故答案为：； （2）解：对于点，对应图形的周长为，面积为， ∵点是“美好点”， ∴，解得：， 当时，将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 当时，将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 故或； （3）解：存在， 理由： 设点的坐标为， 由题意得：，即， 解得：或（舍去）或0（舍去）， 故点的坐标为； 设点的坐标为， 则， 当时，则，解得：（舍去）或12； 当时，则，解得：； 当时，则，解得：； 综上点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，等腰三角形的定义，两点之间距离公式，解一元二次方程等知识点，这种新定义的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般比较容易． 44．（2024—2025学年九年级上安徽省滁州市第五中学 期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）或或或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：（ⅰ）， 当时，， 点坐标为， 当时，， 解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形；     （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用． 45．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市部分学校 期中）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点D在第二象限内抛物线上，连接交于点E，连接．若，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线分别与x轴交于P，Q两点．若，求点H的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、一元二次方程的根与系数的关系、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，待定系数法求直线的表达式即可； （2）如图，过点D作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G，证明，则，由，，可得．同理（1），直线的表达式为．设，则，．当时，，即，则，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得平移后，则M．设，直线的表达式为．联立，整理得，可得．设直线的表达式为．联立，整理得，则，即，可求，则直线的表达式为．                  当时，，即，同理，，则，由，可得，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的表达式为． 将点代入得，， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：如图，过点D作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 同理（1），直线的表达式为． 设，则，． 当时，，即， ∴， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或． （3）解：∵， ∴平移后， ∴的顶点M的坐标为． 设，直线的表达式为． 联立，整理得， ∴． 设直线的表达式为． 联立，整理得， ∴，即， 解得，， ∴直线的表达式为．                   当时，，即， 同理，， ∴， ∴， 整理得，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 46．（2024--2025学年九年级上安徽省六安市金安区智恒学校 期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为． ①求面积S与的函数表达式，并求S的最大值； ②当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)①，S的最大值6；②满足条件的t的值为或或． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，再由即可求解； ②分三种情况讨论：当时，；当时，过点C作交于M，则M为的中点；当时，过点P作交于N，则N是的中点；分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与x轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值6； ②过点C作交于M， 则，， ∴ 分三种情况讨论： 当时，， 解得或（舍）； 当时，则M为的中点，如图1， ∴， 解得或（舍）； 当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述：满足条件的t的值为或或． 考点09 与特殊四边形有关的二次函数综合问题 47．（2024-2025学年九年级上安徽省阜阳市颍东区 期中）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，此时 (3)存在，或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可； （3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， 方法一：如图1， 连接， 设点， ∴， ∴ ， ∴当时，，此时； 方法二：如图2， 作于Q，交于点D，设解析式为： ∵，则，解得 ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，此时； （3）解：如图3， 当四边形为平行四边形时，， ∵抛物线对称轴为直线：， ∴点的坐标： 如图4，当四边形为平行四边形时，， 作于G， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴，， 综上所述：或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 48．（2024-2025学年九年级上安徽省长丰县部分学校 期中）如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标． (3)如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)点N的坐标为或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，设，则，．得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）设，，根据矩形的性质，表示出，分当N点在y轴上和点N在x轴负半轴上时，两种情况讨论，列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设． 又∵， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为． ∵，在直线上 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 设，则，． ∴． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时的 （3）设，， 设的中点为． ∵四边形是矩形， ∴的中点为K， ∴． ∵点N在坐标轴上， ∴或， 当时，，轴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴；    当时，点N在x轴上，如图， 过点Q作轴于点H． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， ∴点Q在直线上方， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点N的坐标为或． 考点10 与新定义有关的二次函数综合问题 49．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学 期中）阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，若，且开口方向相间，则称互为“致真二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“致真二次函数”______； (2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数互为“致真二次函数”，求a的值； (3)在（2）的条件下，若直线与和图象分别交于点E和点F，当时，求线段的最大值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)1 (3)3 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的性质．解题关键是读懂“致真二次函数”的定义，将函数化为顶点式求解． （1）根据“致真二次函数”的定义解答即可； （2）根据“致真二次函数”的定义可得，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，再由二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴其“致真二次函数”的顶点是， ∵它们开口方向相同， ∴其“致真二次函数”可以为：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：根据题意得：二次函数和二次函数的顶点分别为和， ∵函数互为“致真二次函数”， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为3． 50．（2024-2025学年九年级上安徽省阜阳市太和县 11月期中）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围． 【答案】(1)“三倍点”坐标为； (2)当时，；当时，； (3)的取值范围为． 【来源】数学试题 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，理解“三倍点”是的定义是解题的关键． （1）把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标； （2）由（1）可知，分为①当即时，②当即时，分别求解即可． （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 抛物线的解析式为． 设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入，得， 整理，得，解得， “三倍点”坐标为． （2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线． 当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则； 当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则． 综上，当时，；当时，． （3）由题意，得“三倍点”所在的直线为． 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点， 令，整理得， 则，解得； 把代入，得，代入，得， 则，解得； 把代入，得，代入，得， 则，解得． 综上，的取值范围为． 51．（2024—2025学年九年级上安徽省合肥市包河区滨湖寿春中学 期中）下面是九（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． “黄金n点”的研究总结【一般概念】 若抛物线C上存在一点P，P的纵坐标与横坐标之差为n，则称点P为抛物线C上的“黄金n点” 例如：点就叫做抛物线的“黄金1点” 【求抛物线C上的“黄金n点”的方法】 例如：求抛物线上的“黄金8点”的点P．设点P的坐标为 ∵，∴，∴，整理得， 解得， ∴点P的坐标为▲或． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________； (2)按照材料中的方法，求抛物线上的“黄金1点”的点； (3)若抛物线上存在“黄金5点”的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）将代入，求得值，即可求解； （2）设点的坐标为，根据题意建立方程求解即可； （3）设点的坐标为，根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入，， “▲”处空缺的内容为； （2）解：， 设点的坐标为， ， ， ， 解得：或， 则或， 即或； （3）解：抛物线上存在“黄金5点”的点， 设点的坐标为， ， ， ∴， 即， ， 解得：． 52．（2024-2025学年九年级上安徽省淮北市第二中学 期中）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 【答案】（1）和；（2）；（3）或； 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了抛物线的图象性质，抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点问题．熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）由抛物线与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标； （2）由抛物线经过点，代入抛物线的解析式，可用m表示出n，将函数解析式中的n用m表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点D的坐标； （3）①设与对称轴交于点G，若，则，由此可得关于m的绝对值方程，解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案． 【详解】解：（1）∵抛物线的极限分割线为， ∴， ∴，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 又∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴点D的纵坐标为， ∵ ， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）①由（2）知：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点P坐标为，点， 设与对称轴交于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴ ∴ ∵直线垂直平分， ∴， ∴， 解得：或． ∴当时， ，点P的坐标为； 当时， ，点P的坐标为， ∴点P的坐标为或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $